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Gleichungsumformungen mit den Grundrechenarten

Es ist wichtig, Gleichungen mithilfe der Grundrechenarten umzuformen, um den Wert einer gesuchten Größe herauszufinden. Du kannst die Gleichung umstellen, indem du Äquivalenzumformungen mit Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführst. Tauche in interaktiven Übungen in die Welt der Gleichungen ein! Du interessierst dich? All das und noch mehr erwartet dich im folgenden Text.

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Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen?

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Team Digital
Gleichungsumformungen mit den Grundrechenarten
lernst du in der Primarschule 5. Klasse - 6. Klasse - Sekundarstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Gleichungsumformungen mit den Grundrechenarten

Gleichungen umformen

Um den Wert einer unbekannten Größe zu bestimmen, ist meistens eine Gleichung gegeben, in der diese unbekannte Größe vorkommt. Meistens bezeichnet man die Unbekannte mit xx. Eine Gleichung sieht dann zum Beispiel so aus:

3x+5=173x+5=17

Die Gleichung zu lösen bedeutet, eine Zahl zu finden, die, anstelle von xx eingesetzt, die Gleichung erfüllt. Da man einer Gleichung ihre Lösung nicht immer direkt ansieht, muss man die Gleichung nach der unbekannten Größe xx umstellen. Und genau das geht mit Gleichungsumformungen mithilfe der Grundrechenarten.

Umformen von Gleichungen einfach erklärt

Die Gleichung 3x+5=173x+5=17 kannst du dir symbolisch wie eine Waage im Gleichgewicht vorstellen. Auf der linken Waagschale liegen drei Stück der unbekannten Größe xx und zusätzlich 55 bekannte, gleich große Klötzchen. Auf der rechten Waagschale liegen 1717 derselben Klötzchen. Dass diese beiden Werte genau gleich sind, wird durch das Gleichheitszeichen ausgedrückt. Im Bild entspricht das Gleichheitszeichen der Tatsache, dass die Waage im Gleichgewicht ist.

Gleichungsumformungen

Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn wir auf jeder Waagschale dasselbe wegnehmen oder hinzufügen. Wir können zum Beispiel auf beiden Seiten 55 wegnehmen. Dann bleiben auf der linken Seite 3x3x, auf der rechten Seite 1212. Dasselbe können wir statt mit den Waagschalen auch mit der Gleichung machen: Wir subtrahieren auf beiden Seiten 55. Das bedeutet, wir rechnen auf der linken Seite der Gleichung 3x+55=3x3x+5-5=3x und auf der rechten Seite 175=1217-5=12. Wir erhalten dadurch die neue Gleichung 3x=123x=12. Die linke Seite entspricht der linken Waagschale, die rechte Seite der rechten Waagschale. Wir haben die Gleichung durch Subtraktion umgestellt.

Wir wollen nun den Wert für xx bestimmen. Auf der linken Seite der Gleichung steht 3x3x, auf der rechten Seite der Wert, den diese 3x3x haben. Den Wert für xx finden wir heraus, indem wir die Gleichung durch Division umstellen: Der Wert für 3x3x ist dreimal so groß wie der Wert für xx. Diesen finden wir heraus, wenn wir den Wert für 3x3x durch 33 dividieren. Anders gesagt: Wir teilen beide Seiten der Gleichung durch 33. Auf der linken Seite rechnen wir also 3x:3=x3x:3=x, auf der rechten Seite 12:3=412:3=4. Wir erhalten die neue Gleichung x=4x=4. Wir haben also den Wert der Unbekannten xx herausgefunden.

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Vorschaubild einer Übung

Gleichungen umformen mit Grundrechenarten

Die Waage ist ein Symbol dafür, was bei Gleichungsumformungen zu tun ist: Jede Rechenoperation muss auf beiden Seiten der Gleichung in derselben Weise ausgeführt werden. Du kannst Gleichungen umformen, indem du auf beiden Seiten die Grundrechenarten anwendest: Du darfst also auf beiden Seiten einer Gleichung:

  • dieselbe Zahl addieren
  • dieselbe Zahl subtrahieren
  • mit derselben Zahl – außer null – multiplizieren
  • durch dieselbe Zahl – außer null – dividieren

Diese Umformungen können beliebig angewendet werden.

Gleichungen durch Umformen lösen – Vorgehensweise

Um eine Gleichung mithilfe der Umformungen mit den Grundrechenarten zu lösen, ist eine bestimmte Reihenfolge der Umformungen zielführend. Um das zu erklären, schauen wir uns die Gleichung 4x3=134x-3=13 an. Wie kommt der Term auf der linken Seite zustande? Zuerst wird die Unbekannte xx mit 44 multipliziert, danach wird 33 subtrahiert. Um aus dem Term 4x34x-3 auf die Unbekannte xx zu kommen, müssen wir also diese Rechenoperationen rückgängig machen. Dabei müssen wir die Reihenfolge der Operationen beachten. Um die einzelnen Schritte rückgängig zu machen, kehren wir die Reihenfolge um und beginnen mit dem letzten Schritt: Wir addieren 33, um die Subtraktion von 33 rückgängig zu machen. Da wir eine Gleichung umstellen, müssen wir diese Operation auf beiden Seiten in derselben Weise durchführen:

4x3=13    +34x=164x-3=13 ~ ~ | \; +3 \newline 4x = 16

Nun machen wir die Multiplikation mit 44 rückgängig: Wir teilen beide Seiten der Gleichung durch 44.

4x=16    :4x=44x=16 ~ ~ | \; : 4 \newline x = 4

Gleichungen umformen vorwärts rückwärts

Gleichungen umformen – Beispiel

Wir schauen uns noch ein kompliziertes Beispiel an und lösen die Gleichung:

3(x34)+8=113 \cdot \left( \frac{x}{3}-4 \right)+8=11

Hier kommen alle vier Grundrechenarten vor – aber in welcher Reihenfolge? Den Term auf der linken Seite erhalten wir, indem wir die Unbekannte xx zuerst durch 33 dividieren, als Nächstes davon 44 subtrahieren, dann das Ergebnis mit 33 multiplizieren und schließlich 88 addieren. Um die Gleichung nach xx aufzulösen, machen wir jeden einzelnen dieser Schritte rückgängig – und zwar in umgekehrter Reihenfolge: Wir subtrahieren 88, dividieren dann durch 33, addieren 44 und multiplizieren schließlich mit 33. Als Gleichungsumformung mit den Grundrechenarten sieht das so aus:

Gleichungsumformungen alle Grundrechenarten

Gleichungen mit einer Unbekannten – mehrfaches Auftreten

Tritt die Unbekannte in einer Gleichung mehrfach auf, so ist es nützlich, zuerst alle Terme mit der Unbekannten auf einer Seite der Gleichung zu sammeln und zusammenzufassen. Das machen wir wieder mit Umformungen mithilfe der Grundrechenarten. Bei der Gleichung 5x6=2x+35x-6=2x+3 subtrahieren wir auf beiden Seiten 2x2x, um die Terme mit der Unbekannten auf der linken Seite der Gleichung zu sammeln. Analog sammeln wir alle Terme ohne die Unbekannte auf der rechten Seite der Gleichung:

5x6=2x+3    2x5x62x=35x62x=3    +65x2x=95x-6=2x+3 ~ ~ | \; -2x \newline 5x-6-2x = 3 \newline 5x-6-2x = 3 ~ ~ | \; +6 \newline 5x-2x = 9

Die beiden Terme mit der Unbekannten fassen wir zusammen, indem wir die Vorfaktoren der Unbekannten verrechnen: 5x2x=3x5x-2x = 3x. Wir erhalten also die Gleichung:

3x=93x=9

Division durch 33 auf beiden Seiten ergibt die Lösung x=3x=3. Du kannst also auch Glieder mit der Unbekannten in Gleichungsumformungen verwenden. Aber Achtung:

  • Glieder mit der Unbekannten dürfen nur addiert oder subtrahiert werden. Du darfst nicht mit xx multiplizieren und nicht durch xx dividieren.

Warum das so ist, können wir an einem Beispiel zeigen: Dividierst du in der Gleichung 4x=6x4x=6x durch die Unbekannte xx, so erhältst du die falsche Gleichung 4=64=6. Hat die Gleichung 4x=6x4x=6x also etwa keine Lösung? Um das herauszufinden, verwenden wir wieder die Grundrechenarten zum Umstellen: Wir subtrahieren auf beiden Seiten 4x4x und erhalten:

4x=6x    4x0=2x    :20=x4x=6x ~ ~ | \; -4x \newline 0 = 2x ~ ~ | \; :2 \newline 0=x

An der Lösung x=0x=0 erkennen wir auch, warum wir nicht durch xx dividieren durften: Denn durch null kann man nicht dividieren!

Dieses Video über das Umformen von Gleichungen mit Grundrechenarten ...

... erklärt einfach und verständlich, wie man in Mathe Gleichungen durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division umstellt und löst. Du findest interaktive Übungen zum Umformen von Gleichungen mit Grundrechenarten hier auf dieser Seite.

Transkript Gleichungsumformungen mit den Grundrechenarten

Gleichungen, Umformungen - so viele Regeln - da kann man schnell den Überblick verlieren. Zum Glück bist du jetzt auf DAS ultimative Video zu „Gleichungsumformungen mit den Grundrechenarten gestoßen."

Oft hat man eine Größe gegeben, deren Wert unbekannt ist. Aber man hat eine Gleichung vorliegen, die die unbekannte Größe enthält. Was muss man denn für x einsetzen, damit die Gleichung erfüllt ist? Das kann man einer Gleichung nicht immer auf den ersten Blick ansehen. Und wie kommt man dann an den Wert der gesuchten Größe? Stellen wir uns dazu eine Waage vor. Auf der linken Seite liegen 3 x und 5. Rechts liegen 17. Die Waage ist im Gleichgewicht. Sie BLEIBT im Gleichgewicht, wenn wir auf beiden Seiten 5 ... wegnehmen. Jetzt liegen links noch 3 x und rechts 12. Wir wollen links aber nur EIN x haben, denn das ist ja die gesuchte Größe. Wenn wir links die Menge auf ein Drittel reduzieren, müssen wir das auch rechts tun. Und damit haben wir die Lösung: x gleich 4.

Du musst jetzt aber nicht bei jeder Gleichung so eine Waage hinzeichnen. Die soll nur verdeutlichen, was bei Gleichungsumformungen zu tun ist: Jede Rechenoperation muss AUF BEIDEN SEITEN gleichermaßen durchgeführt werden. Und welche Gleichungsumformungen sind ERLAUBT? Nun, wir dürfen auf BEIDEN Seiten die Grundrechenarten anwenden: Das heißt, die gleiche Zahl addieren, die gleiche Zahl subtrahieren, mit der gleichen Zahl, außer Null, multiplizieren und durch die gleiche Zahl, außer Null, dividieren. Wichtig ist hier, dass die Umformung AUF BEIDEN SEITEN gleichermaßen erfolgt und dass man weder mit Null multipliziert, noch durch Null teilt. Kommen wir nun zur Anwendung dieser erlaubten Umformungen: Natürlich kannst du jede der erlaubten Umformungen beliebig anwenden. Um am Ende aber eine Lösung zu erhalten, solltest du nach einer bestimmten Reihenfolge vorgehen. Schauen wir uns dazu DIESE Gleichung an und speziell den Term mit der Unbekannten. In welcher Reihenfolge wird hier gerechnet? Offenbar wird die Unbekannte x zunächst mit 4 multipliziert und davon werden dann 3 abgezogen. So kommt man auf den Term, der HIER steht. Um zur UNBEKANNTEN zurückzukehren, müssen wir also DIESE Rechenoperationen rückgängig machen. Und das in der umgekehrten Reihenfolge. Um die Subtraktion der 3 rückgängig zu machen, müssen wir 3 addieren auf beiden Seiten. Dann steht da noch '4 x ist gleich 16'. Um die Multiplikation mit 4 rückgängig zu machen, teilen wir durch 4 auf beiden Seiten. So erhalten wir 'x gleich 4'. Das ist das Ergebnis.

Betrachten wir zur Übung noch ein etwas komplizierteres Beispiel. Die Unbekannte wird hier zunächst durch 3 geteilt, dann werden 4 abgezogen, das Ganze wird mit 3 multipliziert und dazu werden 8 addiert.

Diese Schritte müssen wir jetzt rückwärts durchführen. Also subtrahieren wir zunächst 8, teilen durch 3, addieren 4 und multiplizieren mit 3. Das Ergebnis ist also 'x gleich 15'.

Nun müssen wir noch einen weiteren Fall besprechen: Die Unbekannte x kann in einer Gleichung nämlich auch MEHRFACH auftreten. Dann ist es hilfreich, die Glieder MIT der Unbekannten auf EINER Seite zu sammeln und die Glieder OHNE Unbekannte auf der ANDEREN Seite. Die Glieder MIT der Unbekannten kannst du zusammenbringen, indem Du die VORFAKTOREN verrechnest. 5x minus 2x ergibt also 3x.

Indem wir durch 3 teilen, erhalten wir das Ergebnis 'x gleich 3'.

Dabei muss man beachten, dass man Glieder mit der Unbekannten NUR addiert und subtrahiert! Man darf mit der Unbekannten nicht multiplizieren und nicht durch die Unbekannte dividieren. Um das zu verstehen, schauen wir uns DIESES Beispiel an. Wenn man hier durch die Unbekannte x teilt, kommt die Gleichung 4 gleich 6 heraus. Das ist natürlich falsch. Hat diese Gleichung also keine Lösung?

Doch, es wurde nur falsch gerechnet. Wenn man stattdessen 4x subtrahiert und durch 2 teilt, erhält man die Lösung. x gleich 0.

16 Kommentare
  1. Alles in deisem viedeo war 1/1 in unserem Mathebuch

    Von Maxim, vor 5 Tagen
  2. Könntet ihr vielleicht mehr zu deutsch die vier Fälle mach? Aber super tolles Video😁;-)

    Von Marie, vor etwa 2 Monaten
  3. Das ist der beste Sprecher nimmt ihn vielleicht öfter dran

    Von Mehmet Mustafa Yelken, vor 3 Monaten
  4. Vielen Dank, ich hab es endlich verstanden

    Von Janne, vor etwa einem Jahr
  5. Ich hab es jetzt endlich verstanden!

    Von LEON, vor mehr als einem Jahr
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