Gleichungsumformungen mit den Grundrechenarten

Gleichungsumformungen mit den Grundrechenarten Übung

• Gib an, wie du die Gleichung löst.

  Tipps

  Die Umkehroperation für die Addition ist die Subtraktion und umgekehrt.

  Die Umkehroperation für die Multiplikation ist die Division und umgekehrt.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $\begin{array}{llll} 2x+8 &=& 12 & \vert -8 \\ 2x &=& 4 & \vert :2 \\ x &=& 2 & \end{array}$

  Lösung

  Wenn wir erst einmal wissen, in welcher Reihenfolge wir einen Term berechnen, können wir diese Rechenoperationen rückgängig machen, um eine Gleichung zu lösen. Wir betrachten im Folgenden die Gleichung:

  $\begin{array}{ll} & 3x+5 = 17 \end{array}$

  Um den Term $3x+5$ zu lösen, würden wir aufgrund der Regel „Punkt- vor Strichrechnung“ die Unbekannte zuerst mit $3$ multiplizieren und dann zu diesem Produkt $5$ addieren. Beim Umstellen der Gleichung machen wir diese Rechenoperationen nun in umgekehrter Reihenfolge rückgängig. Wir subtrahieren also zuerst $5$, denn die Umkehroperation für die Addition ist die Subtraktion:

  $\begin{array}{lllll} & 3x+5 &=& 17 & \vert -5 \\ & 3x &=& 12 & \end{array}$

  Die Umkehroperation für die Multiplikation ist die Division, also dividieren wir jetzt durch $3$:

  $\begin{array}{lllll} & 3x &=& 12 & \vert :3 \\ & x &=& 4 & \end{array}$

  Die Lösung der Gleichung ist also $x=4$.

  Übrigens: Die ermittelte Lösung einer Gleichung kannst du mit einer Probe leicht auf Richtigkeit prüfen. Hierzu setzt du in der ursprünglichen Gleichung für die Unbekannte deine Lösung ein und prüfst, ob du eine wahre Aussage erhältst. Also:

  $\begin{array}{ll} & 3\cdot 4+5 = 12+5 = 17 \ \checkmark \end{array}$

• Bestimme die Lösungen der Gleichungen.

  Tipps

  Tritt die Unbekannte $x$ in einer Gleichung mehrfach auf, ist es hilfreich, die Glieder mit der Unbekannten $x$ auf einer Seite und die Glieder ohne Unbekannte $x$ auf der anderen Seite der Gleichung zu sammeln.

  Beim Umstellen einer Gleichung darfst du Glieder mit der Unbekannten $x$ nur addieren und subtrahieren!

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $\begin{array}{rcll} 2\cdot (\frac{x}{4}-1)+10 &=& 12&\vert -10 \\ 2\cdot (\frac{x}{4}-1) &=& 2&\vert :2 \\ \frac{x}{4}-1 &=& 1&\vert +1 \\ \frac{x}{4} &=& 2&\vert \cdot 4 \\ x &=& 8 & \end{array}$

  Du kannst auch mithilfe von Einsetzen von Werten für $x$ überprüfen, ob du eine wahre Aussage erhältst.

  Zum Beispiel kannst du $x=3$ bei der Gleichung $4x=6x$ einsetzen:

  $\begin{array}{rcll} 4x&=&6x \\ 4 \cdot 3 &=& 6 \cdot 3 \\ 12&=&18 \end{array}$

  Das ist keine wahre Aussage, also kann $x=3$ nicht Lösung der Gleichung sein.

  Lösung

  Wenn wir wissen, in welcher Reihenfolge wir einen Term berechnen, können wir diese Rechenoperationen rückgängig machen, um eine Gleichung zu lösen. Genauso gehen wir in den folgenden Beispielen vor:

  Beispiel 1: $~4x-3=13$

  Auf der linken Seite wird die Unbekannte $x$ zunächst mit $4$ multipliziert und von diesem Produkt wird die $3$ abgezogen. Um diese Rechenoperationen rückgängig zu machen, müssen wir zuerst $3$ addieren und anschließend durch $4$ dividieren:

  $\begin{array}{rcll} 4x-3 &=& 13 & \vert +3 \\ 4x &=& 16 & \vert :4 \\ x &=& 4 & \end{array}$

  Damit ist die Lösung dieser Gleichung $x=4$. Die Probe $4\cdot 4-3=16-3=13$ zeigt, dass unsere Lösung stimmt.

  Beispiel 2: $~3\cdot (\frac{x}{3}-4)+8 = 11$

  Beim Lösen des linken Terms gehen wir wie folgt vor: Die Unbekannte $x$ wird hier zunächst durch $3$ geteilt. Davon wird die $4$ abgezogen. Die Differenz wird mit $3$ multipliziert und zu diesem Produkt wird die $8$ addiert. Wir müssen also folgendermaßen umstellen:

  $\begin{array}{rcll} 3\cdot (\frac{x}{3}-4)+8 &=& 11 &\vert -8 \\ 3\cdot (\frac{x}{3}-4) &=& 3 &\vert :3 \\ \frac{x}{3}-4 &=& 1 &\vert +4 \\ \frac{x}{3} &=& 5 &\vert \cdot 3 \\ x &=& 15 & \end{array}$

  Die Probe $3\cdot (\frac {15}3-4)+8=3\cdot (5-4)+8=3\cdot 1+8=3+8=11$ zeigt, dass die Lösung $x=15$ korrekt ist.

  Beispiel 3: $~5x-6=2x+3$

  Tritt die Unbekannte $x$ in einer Gleichung mehrfach auf, ist es hilfreich, die Glieder mit der Unbekannten $x$ auf einer Seite und die Glieder ohne Unbekannte $x$ auf der anderen Seite der Gleichung zu sammeln. Beachte dabei: Beim Umstellen einer Gleichung darfst du Glieder mit der Unbekannten $x$ nur addieren und subtrahieren! Wir erhalten:

  $\begin{array}{rcll} 5x-6 &=& 2x+3 & \vert -2x \\ 5x-2x-6 &=& 3 & \vert +6 \\ 5x-2x &=& 3+6 & \\ 3x &=& 9 & \vert :3 \\ x &=& 3 & \end{array}$

  Diese Lösung ist korrekt, denn die Probe lautet: $\underbrace{5\cdot 3-6 = 15-6}_{\text{linke Seite}}=9=\underbrace{6+3 = 2\cdot 3+3}_{\text{rechte Seite}}$

  Beispiel 4: $~4x=6x$

  Auch hier müssen wir beachten, dass wir Glieder mit der Unbekannten $x$ nur addieren und subtrahieren dürfen. Es folgt:

  $\begin{array}{rcll} 4x &=& 6x & \vert -4x \\ 0 &=& 2x & \vert :2 \\ 0 &=& x & \end{array}$

  Die Probe liefert: $\underbrace{4\cdot 0}_{\text{linke Seite}}=0=\underbrace{2\cdot 0}_{\text{rechte Seite}}$.

• Erschließe die Lösungen der Gleichungen mittels einer Probe.

  Tipps

  $x=6$ ist die korrekte Lösung der Gleichung $2x+12=4x$, denn die Probe liefert folgende wahre Aussage:

  $\underbrace{2\cdot 6+12}_{\text{linke Seite}}=24=\underbrace{4\cdot 6}_{\text{rechte Seite}}$

  Beachte die Rechenregeln:

  • Klammern zuerst
  • Punkt- vor Strichrechnung

  Lösung

  In dieser Aufgabe können wir mithilfe der Probe die richtige Lösung einer Gleichung ermitteln. Hierzu setzen wir die gegebenen Lösungen in die Gleichungen ein und überprüfen, für welche Lösungen wir jeweils eine wahre Aussage erhalten. Damit erhalten wir die folgenden Rechnungen:

  Lösung: $~x=3$

  Diese Lösung liefert für folgende Gleichungen eine wahre Aussage:

  • $2x=6$, denn $2\cdot 3=6$
  • $2(x+5)+2=6x$, denn $2(3+5)+2=18=6\cdot 3\\$

  Lösung: $~x=5$

  Diese Lösung liefert für folgende Gleichungen eine wahre Aussage:

  • $x+5=2x$, denn $5+5=10=2\cdot 5$
  • $8(x-4)+1=9$, denn $8(5-4)+1=9\\$

  Lösung: $~x=9$

  Diese Lösung liefert für folgende Gleichungen eine wahre Aussage:

  • $3x-5=22$, denn $3\cdot 9-5=22$

• Ermittle die Lösungen der linearen Gleichungen und führe die Probe durch.

  Tipps

  Überlege dir im ersten Beispiel, in welcher Reihenfolge du den Term auf der linken Seite lösen würdest. Zum Umstellen der Gleichung musst du diese Rechenoperationen rückgängig machen.

  Die nächste Zeile der Rechnung gibt dir einen Hinweis dazu, welche Rechenoperation in der vorigen Zeile ausgeführt wurde.

  Bei der Durchführung einer Probe setzt du die Lösung der Gleichung anstelle von $x$ ein und berechnest den Term. Erhältst du auf beiden Seiten der Gleichung denselben Wert, ist die Lösung für $x$ korrekt.

  Lösung

  Wir stellen beide Gleichungen so um, dass $x$ allein auf einer Seite der Gleichung steht. Die Lösung überprüfen wir, indem wir jeweils eine Probe durchführen. Hierzu setzen wir die Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein. Liefern beide Seiten der Gleichung denselben Wert, so ist die Lösung korrekt.

  Beispiel 1

  $\begin{array}{rcll} 3(\frac x8+5)-11 &=& 10 & \vert +11\\ 3(\frac x8+5) &=& 21 & \vert :3 \\ \frac x8+5 &=& 7 & \vert -5 \\ \frac x8 &=& 2 & \vert \cdot 8 \\ x &=& 16 & \end{array}$

  Die Probe liefert: $~3(16:8+5)-11=3\cdot 7-11=21-11=10$

  Damit liefert die Gleichung für $x=16$ eine wahre Aussage.

  Beispiel 2

  $\begin{array}{rcll} 9x-6 &=& 5x+2 & \vert +6 \\ 9x &=& 5x+8 & \vert -5x \\ 4x &=& 8 & \vert :4 \\ x &=& 2 & \end{array}$

  Die Probe liefert für die ...

  • ... linke Seite: $~9\cdot 2-6= 18 -6= 12$.
  • ... rechte Seite: $ 5\cdot 2 +2= 10 +2= 12$.

  Damit liefert die Gleichung für $x=2$ eine wahre Aussage.

• Bestimme die korrekten Aussagen.

  Tipps

  Damit die Waage im Gleichgewicht bleibt, muss man rechts und links jeweils den gleichen Körper wegnehmen oder hinzufügen.

  Die Umkehroperation der Multiplikation ist die Division.

  Lösung

  Um eine Gleichung nach der Unbekannten aufzulösen, ist es sinnvoll, sich die Reihenfolge, in der gerechnet wird, anzugucken. Um zur Unbekannten zurückzukehren, muss man dann alle Rechenoperationen rückgängig machen. Dazu nutzt man die folgenden Umkehroperationen:

  • Die Umkehroperation der Addition ist die Subtraktion.
  • Die Umkehroperation der Subtraktion ist die Addition.
  • Die Umkehroperation der Multiplikation ist die Division.
  • Die Umkehroperation der Division ist die Multiplikation.

  Das bedeutet zum Beispiel: Um eine Multiplikation mit $4$ rückgängig zu machen, muss durch $4$ geteilt werden.

  Dabei ist es ganz wichtig, dass beim Umstellen einer Gleichung die Umformung auf beiden Seiten der Gleichung gleichermaßen erfolgen muss.

  Die Unbekannte kann in einer Gleichung auch mehrfach auftreten. Dann ist es hilfreich, die Glieder mit der Unbekannten auf der einen Seite und die Glieder ohne die Unbekannte auf der anderen Seite zu sammeln.

• Bestimme die Reihenfolge der Rechenoperationen beim Umstellen der Gleichung.

  Tipps

  Überlege, wie du den Term auf der linken Seite der Gleichung berechnen würdest. Mache dann alle Rechenoperationen in umgekehrter Reihenfolge rückgängig, um die Gleichung nach $x$ aufzulösen.

  Beachte, dass du beim Umstellen einer Gleichung immer die jeweilige Umkehroperation nutzen musst. Wird in einem Term zum Beispiel mit $4$ multipliziert, so musst du durch $4$ dividieren, um diese Operation rückgängig zu machen.

  Lösung

  Wir untersuchen den Term auf der linken Seite der Gleichung: $~ \dfrac{(5(2x+3)-5)}{2}-3=17$.

  Dieser wird in folgender Reihenfolge berechnet:

  1. Die Unbekannte wird mit $2$ multipliziert.
  2. Zu diesem Produkt wird $3$ addiert.
  3. Diese Summe wird mit $5$ multipliziert.
  4. Von diesem Produkt wird $5$ subtrahiert.
  5. Diese Differenz wird durch $2$ dividiert.
  6. Von diesem Quotienten wird $3$ subtrahiert.

  Zum Umstellen der Gleichung werden nun diese Rechenoperationen in umgekehrter Reihenfolge rückgängig gemacht. Es folgt:

  1. Es wird auf beiden Seiten $3$ addiert.
  2. Beide Seiten werden mit $2$ multipliziert.
  3. Es wird auf beiden Seiten $5$ addiert.
  4. Beide Seiten werden durch $5$ dividiert.
  5. Es wird von beiden Seiten $3$ subtrahiert.
  6. Beide Seiten werden durch $2$ dividiert.