Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Übung

• Beschreibe die Ungleichungen.

  Tipps

  Ist eine Zahl $f$ nicht kleiner als die Zahl $g$, so kannst du schreiben:

  $f \geq g$

  Das Vergleichszeichen $<$ zeigt mit der Spitze zu der kleineren Zahl.

  Fünf Äpfel sind mehr als drei Äpfel. Die passende Ungleichung lautet:

  $5 > 3$

  Lösung

  Mit den verschiedenen Vergleichszeichen

  • $<$, $>$, $=$, $\leq$ und $\geq$

  kannst du Gleichungen und Ungleichungen beschreiben.

  Bei strikten Ungleichungen verwendest du die Zeichen $>$ und $<$. Ist bei den Ungleichungen auch die Gleichheit zulässig, so kannst du die verschiedenen Relationen mit den kombinierten Zeichen $\leq$ und $\geq$ beschreiben.

  Strikte Ungleichung

  • $<$ weniger als

  Bei Knuts Fischfang dürfen pro Monat nicht mehr als $999~\text{kg}$ gefangen werden. Wiegt der Fang weniger als $999~\text{kg}$, so muss Knut keine Strafe zahlen, denn dann ist die Regel erfüllt. Fängt Knut z. B. $800~\text{kg}$ Fisch, so lautet die passende Ungleichung $800 < 999$, denn $800$ ist weniger als $999$.

  • $>$ mehr als

  Wiegt Knuts Fang mehr als $999~\text{kg}$, so muss er eine Strafe zahlen. Bei einem Fang von $1 250~\text{kg}$ schreibt Knut die Ungleichung $1 250 > 999$, denn $1 250$ ist mehr als $999$ und die Spitze des Vergleichszeichens zeigt immer zur kleineren Zahl. Ist der Fang gleich $999~\text{kg}$, so kommt Knut ebenfalls straffrei aus, denn er hat nicht mehr als $999~\text{kg}$ Fisch gefangen.

  Kombinierte Relationszeichen

  Diese kannst du verwenden, um Ungleichungen und Gleichungen zu kombinieren. Sie finden Verwendung, wenn die Ausdrücke nicht mehr als oder nicht weniger als in mathematischen Zeichen geschrieben werden sollen:

  • $\leq$ weniger oder gleich

  Die Ungleichung $f \leq 999$ besagt, dass weniger als $999~\text{kg}$ Fisch gefangen werden dürfen oder genau gleich $999~\text{kg}$. Nicht erlaubt ist, mehr als $999~\text{kg}$ Fisch zu fangen. Du kannst den Sachverhalt durch die Ungleichung $f~\text{kg} \leq 999~\text{kg}$ ausdrücken. Das Zeichen $\leq$ bedeutet also dasselbe wie nicht mehr als.

  • $\geq$ mehr oder gleich

  Umgekehrt bedeutet das Zeichen $\geq$ dann nicht weniger als. Eine Ungleichung mit diesem Zeichen ist genau dann falsch, wenn die linke Seite weniger beträgt als die rechte Seite.

• Gib die Relation der Zahlen an.

  Tipps

  Bei dem Vergleichszeichen kannst du an den Schnabel eines Vogels denken, der immer zur größeren Beute hin geöffnet ist.

  Die Zahl $33$ ist kleiner als die Zahl $44$, daher schreibst du:

  $33<44$

  Die Zahl $76$ ist größer als die Zahl $67$, daher lautet die Ungleichung:

  $76 > 67$

  Lösung

  Die Vergleichszeichen $<$ und $>$ verwendest du, um die Verschiedenheit von Zahlen genauer anzugeben. Sind zwei Zahlen verschieden, so ist immer eine größer als die andere. Die Vergleichszeichen $<$ und $>$ kannst du dir wie den Schnabel eines Vogels oder das Maul eines Krokodils vorstellen, das immer zu der größeren Beute hin geöffnet ist. Umgekehrt zeigt die Spitze des Vergleichszeichens immer zur kleineren Zahl.

  Für die Zahlen oben findest du folgende Relationen:

  • $21>12$, denn zwölf ist kleiner als einundzwanzig.
  • $999 = 999$, denn die beiden Zahlen links und rechts sind gleich groß.
  • $49<51$, denn die Zahl links ist um $2$ kleiner als die Zahl rechts.
  • $1 250>999$, denn die Zahl links hat mehr Stellen als die Zahl rechts und ist daher größer.
  • $800>999$: Die Zahl links ist größer als die Zahl rechts, denn $900$ liegt zwischen den beiden Zahlen $999$ und $800$.

• Prüfe die Ungleichungen.

  Tipps

  Rechne die Terme aus und vergleiche sie dann.

  Je mehr Stellen eine Zahl hat, desto größer ist sie.

  Lösung

  Mit den Zeichen $<$ und $>$ kannst du Ungleichungen von Zahlen beschreiben. Sind zwei Zahlen verschieden, so ist eine Zahl zwangsläufig größer als die andere. Das Zeichen $=$ darfst du nur setzen, wenn der Wert auf beiden Seiten gleich ist. Du kannst aber den Wert auf den beiden Seiten einer Gleichung auf verschiedene Weise hinschreiben. So ist z. B. $2+3=5$, denn die beiden Seiten sind nicht Term für Term identisch, haben aber denselben Wert.

  Folgende (Un-)Gleichungen sind richtig:

  • $2+3 \leq 2+5$, denn addierst du zu $2$ links eine kleinere Zahl als rechts, so erhältst du links eine kleinere Summe als rechts.

  • $1+2+3 \leq 3+2+1$: Die Summe auf beiden Seiten ist $6$ und der Gleichheitsfall ist bei dem Vergleichszeichen $\leq$ nicht ausgeschlossen.

  • $12 345 < 123 456$: Die Zahl links hat weniger Stellen als die Zahl rechts, daher ist sie kleiner.

  Folgende (Un-)Gleichungen sind falsch:

  • $2\cdot ({-12}) \leq 3\cdot ({-12})$: Bei der Multiplikation muss man die Vorzeichen beachten. Multipliziert man beide Seiten mit derselben positiven Zahl, so bleibt das Relationszeichen erhalten. Aus $2 \leq 3$ folgt also: $2 \cdot 12 \leq 3 \cdot 12$. Multipliziert man aber beide Seiten mit derselben negativen Zahl, dreht sich das Relationszeichen um. Richtig ist also: $2\cdot ({-12}) \geq 3\cdot ({-12})$.

  • $4-1 = 1-4$: Vertauscht man in einer Differenz Minuend und Subtrahend, sind die Ergebnisse in der Regel nicht gleich.

  • $0 \cdot 17 \geq 0+17$: Du kannst beide Seiten ausrechnen und erhältst $0 \cdot 17=0$ links und $0+17=17$ rechts. Aber es gilt: $0 < 17$.

• Vervollständige die Sätze.

  Tipps

  Ist die Ungleichung $a \geq b$ richtig, so ist die Ungleichung $a<b$ falsch.

  Die kombinierten Ungleichungen kannst du durch nicht mehr als und durch nicht weniger als ausdrücken.

  Ist das Vergleichszeichen $>$ zur kleineren Zahl hin geöffnet, so ist die Ungleichung falsch.

  Lösung

  Ungleichungen kannst du für verschiedene Zahlen aufstellen. Anstelle der konkreten Zahlen kannst du auch die Buchstaben $a$ und $b$ schreiben. Welche Ungleichung für die Buchstaben $a$ und $b$ gilt, hängt dann davon ab, welche Zahlen du für die Buchstaben einsetzt. Umgekehrt kannst du auch aus einer Ungleichung mit Buchstaben erschließen, welche Zahlen du für die Buchstaben einsetzen kannst und welche nicht.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Gilt die Ungleichung $a \leq b$, ... so ist $a$ nicht größer als $b$.“ Denn die Ungleichung besagt, dass die Zahl $a$ kleiner als die Zahl $b$ ist oder gleich groß wie $b$.

  • „Ist die Ungleichung $a < b$ falsch, ... so ist $b$ kleiner als $a$ oder $b=a$.“ Das Vergleichszeichen in der falschen Ungleichung ist zu $b$ hin geöffnet. Also ist $b$ nicht größer als $a$. Daher ist $b$ kleiner als $a$ oder die beiden Zahlen $a$ und $b$ sind gleich, also $b=a$.

  • „Ist die Ungleichung $a \geq b$ richtig, ... so ist die Ungleichung $a<b$ falsch.“ Die Ungleichung bedeutet, dass $a$ größer als $b$ ist oder dass die beiden Zahlen gleich groß sind. In keinem Fall kann dann $a$ kleiner als $b$ sein.

  • „Ist die Ungleichung $a \geq b$ falsch, ... so ist die Ungleichung $a < b$ richtig.“ Zwei Zahlen $a$ und $b$ können gleich oder verschieden sein. Sind sie verschieden, so ist entweder $a$ größer als $b$ oder $a$ kleiner als $b$. Die beiden ersten Möglichkeiten werden ausgeschlossen, wenn die Ungleichung $a \geq$ falsch ist. Daher muss $a$ kleiner als $b$ sein.

• Vervollständige die Sätze.

  Tipps

  Verwende die kombinierten Relationszeichen für Beschreibungen, in denen die Gleichheit und eine der beiden Ungleichungen zulässig ist.

  Eine strikte Ungleichung ist falsch, wenn die umgekehrte Ungleichung mit Gleichheit richtig ist.

  Weil $123$ kleiner ist als $1 234$, ist auch die folgende Ungleichung richtig:

  $123 \leq 1 234$

  Lösung

  Folgende Sätze sind richtig:

  • „Rechts und links des Zeichens $=$ ... sind die Zahlen gleich groß.“ Nur bei einer Gleichung verwendest du das Zeichen „$=$“. Die Gleichung bedeutet, dass die beiden Zahlen rechts und links denselben Wert haben, d. h., dass sie gleich groß sind.
  • „Bei einer Ungleichung mit dem Zeichen $<$ ... ist die Zahl links kleiner als die Zahl rechts.“ Denn die Spitze des Vergleichszeichens zeigt immer zur kleineren Zahl.
  • „Bei einer Ungleichung mit dem Zeichen $\geq$ ... können die beiden Zahlen gleich groß sein.“ Das kombinierte Vergleichszeichen lässt ungleiche und gleiche Zahlen zu. Sind die Zahlen ungleich, so muss die Zahl links größer sein als die Zahl rechts.
  • „Sind bei einer Ungleichung mit dem Zeichen $<$ die Zahlen rechts und links gleich groß, so ... ist die Ungleichung falsch.“ Die Relationszeichen $<$ und $>$ stehen nur zwischen verschiedenen Zahlen. Werden sie zwischen zwei gleiche Zahlen gesetzt, so ist diese Ungleichung falsch.
  • „Steht zwischen den Zahlen $1 250$ und $999$ das Zeichen $>$, so ... ist die Ungleichung richtig.“ Die Zahl $999$ ist nämlich kleiner als die Zahl $1 250$ und die Spitze des Vergleichszeichens zeigt immer zur kleineren Zahl.

• Prüfe die Aussagen.

  Tipps

  Setze für die Buchstaben $a$ und $b$ konkrete Zahlen ein. Wird die Aussage mit konkreten Zahlen falsch, so ist auch die Aussage mit den Buchstaben $a$ und $b$ falsch.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Addierst du auf beiden Seiten einer Ungleichung dieselbe Zahl, so bleibt die Ungleichung erhalten.“ Die Addition derselben Zahl macht beide Zahlen nämlich um dasselbe Maß größer (oder kleiner). Ist die linke Zahl größer als die rechte, so gilt dasselbe für die Summen. Für die anderen Ungleichungen gilt das ebenso.

  • „Ist $a \geq b$ und $a\leq b$, so sind $a$ und $b$ gleich.“ Wenn beide Ungleichungen richtig sind, können $a$ und $b$ nur gleich groß sein. Die Ungleichungen $a>b$ und $a<b$ können nämlich nicht beide richtig sein. Genauso können die Gleichung $a=b$ und die Ungleichung $a<b$ nicht beide richtig sein.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Multiplizierst du beide Seiten einer Ungleichung mit derselben Zahl, so bleibt die Ungleichung erhalten.“ Das gilt nur, wenn die Zahl, mit der du multiplizierst, positiv ist. Bei Multiplikation mit einer negativen Zahl dreht sich das Vergleichszeichen um.

  • „Für zwei Zahlen $a$ und $b$ ist genau eine der beiden Ungleichungen $a \leq b$ und $b \geq a$ richtig und die andere falsch.“ Die Ungleichungen können auch beide richtig sein, nämlich genau dann, wenn $a=b$. Sie können aber nicht beide falsch sein.

  • „Subtrahierst du auf beiden Seiten einer Ungleichung dieselbe Zahl, so bleibt die Ungleichung nicht erhalten.“ Das Subtrahieren einer Zahl ist dasselbe wie das Addieren der Gegenzahl. Für die Addition hatten wir schon gesehen, dass sie die Ungleichung erhält.