Verschiedene Zahlenfolgen bilden
Erfahre, wie Zahlenfolgen aufgebaut sind und wie man sie fortsetzt. Lerne die Regeln, um fehlende Zahlen zu ergänzen. Entdecke Beispiele und verbessere deine Fähigkeiten im Umgang mit Zahlenfolgen. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Verschiedene Zahlenfolgen bilden
Zahlenfolgen und Zahlenreihen
In Rätseln oder auch in Tabellen und Daten begegnen uns häufig Zahlenfolgen. Wer gerne knobelt, kann die Regelmäßigkeiten dahinter erkennen. Aber was für Zahlenfolgen gibt es?
Was ist eine Zahlenreihe bzw. was sind Zahlenfolgen?
Eine Zahlenfolge besteht aus mehreren Zahlen, die in einer festen Reihenfolge angeordnet sind. Jede Zahlenfolge kann durch eine Vorschrift beschrieben werden. Um eine Zahlenfolge zu ergänzen, müssen wir die Regel erkennen, die die Zahlenfolge bildet. Dabei ist es auch möglich, dass es verschiedene Regeln gibt, die die Zahlenfolge bilden.
Zahlenfolgen vervollständigen
Wir betrachten als Beispiel eine Zahlenschlange. Die Schlange hat Zahlen und Lücken auf dem Rücken. Wir wollen die Lücken ergänzen, um die Zahlenfolge auf der Schlange zu vervollständigen.
Wie erkennt man Zahlenfolgen? Kannst du die Zahlenreihe fortsetzen?
Wir untersuchen zuerst, welche Regel dahintersteckt. Dazu überlegen wir, wie man von der $5$ zur $14$ kommt. Wir können $+9$ rechnen, denn $5+9=14$. Genauso können wir die nächste Zahl in der Folge erreichen: $14+9=23$. Wir haben eine passende Regel gefunden:
Regel: $+9$
Damit können wir die fehlenden Zahlen bestimmen, um die Zahlenfolge zu ergänzen:
In die erste Lücke müssen wir eine $32$ setzen, denn $23+9=32$. In die zweite Lücke schreiben wir eine $59$, denn $50+9=59$. Genauso können wir die übrigen Lücken auffüllen und erhalten so die Zahlenfolge:
$5 \quad 14 \quad 23 \quad 32 \quad41 \quad 50 \quad 59 \quad 68 \quad 77 \quad 86 \quad 95 \quad 104 \quad 113 \quad 122 \quad 131 \quad 140$
Zahlenfolgen Beispiele
Wir schauen uns eine weitere Aufgabe zu Zahlenfolgen an:
$2 \quad 4 \quad 8 \quad 16 \quad …$
Diese Zahlenfolge hat ein offenes Ende. Wie geht die Zahlenfolge weiter? Dazu ermitteln wir wieder zuerst die Regel, die die Zahlenfolge bildet. Wir können eine Zahl mit $2$ multiplizieren, um die nächste Zahl zu erhalten.
Denn: $2 \cdot 2=4$ und $4 \cdot 2 = 8$ usw.:
Regel: $\cdot 2$
Damit können wir weitere Zahlen der Zahlenfolge bestimmen:
$2 \quad 4 \quad 8 \quad 16 \quad 32 \quad 64 \quad 128 …$
Manchmal gibt es verschiedene Möglichkeiten, eine Regel zum Bilden der Zahlenfolge zu formulieren. Auch hier können wir noch eine andere Regel formulieren:
Wenn wir zu einer Zahl die gleiche Zahl addieren, erhalten wir die nächste Zahl.
Denn: $2+2=4$ und $4+4=8$ usw.
Wir haben hier zwei Regeln gefunden, um die Zahlen aus der Zahlenfolge fortsetzen zu können. Wir halten dies in einer Tabelle fest:
| Zahl | Regel $1$ | Regel $2$ |
|---|---|---|
| $4$ | $=2+2$ | $=2 \cdot 2$ |
| $8$ | $=4+4$ | $=4 \cdot 2$ |
| $16$ | $=8+8$ | $=8 \cdot 2$ |
| $32$ | $=16+16$ | $=16 \cdot 2$ |
| $64$ | $=32+32$ | $=32 \cdot 2$ |
| $128$ | $=64+64$ | $=64 \cdot 2$ |
In diesem Video zu Zahlenfolgen …
… wird eine Zahlenfolge einfach erklärt. Dazu betrachten wir zunächst verschiedene Zahlenfolgen und Zahlenreihen als Beispiele. Wir ermitteln anschließend Regeln zum Weiterführen von Zahlenfolgen. Schließlich vervollständigen wir verschiedene Zahlenfolgen mithilfe der Regeln.
Damit du Zahlenfolgen noch besser verstehen kannst, findest du auf dieser Seite noch weitere Übungen zum Thema Zahlenfolgen.
Kennst du außerdem schon den Zahlenstrahl? Auch hier stehen die Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge.
Transkript Verschiedene Zahlenfolgen bilden
Hallo, schön, dass du wieder mit dabei bist.
Lilli und Niko spielen gerade ein Schlangenspiel. Das hat Lilli von ihrer Tante geschenkt bekommen. Diese meint nämlich, sie müsse ihrer Nichte immer etwas Sinnvolles schenken. Diesmal ist es ein Spiel, das bei Mathe helfen soll. Die Pappschlangen haben Zahlen auf dem Rücken. Diese weisen immer wieder Lücken auf. Dafür gibt es kleine runde Holzsteinchen mit Zahlen, die man auf die Lücken stellen kann, um die Zahlenfolge auf der Schlange zu vervollständigen.
Wer zuerst seine Schlange richtig gefüllt hat, hat gewonnen.
Die erste Schlange sieht so aus:
5 14 23 ... 41 50 ... 68 77... 95 ... 113 122 131 ...
Du musst zunächst einmal die Regel finden, die dahinter steckt.
Überlege, wie man von der 5 zur 14 kommt. Ja, du rechnest plus 9. Gilt das auch für den nächsten Schritt? Ja, 14 + 9 = 23. Dann wirst du bis zur nächsten fehlenden Zahl auch 9 dazurechnen müssen.
23 + 9 = 32, also gehört die 32 auf die freie Stelle der Schlange. Dann geht es ganz leicht weiter. Die fehlende Zahl zwischen 50 und 68 muss dann 59 heißen. Die fehlende Zahl zwischen 77 und 95 ist 86. Zwischen 95 und 113 fehlt 104 und das Schlangenende ist 140.
Es gibt aber auch Schlangen, die haben ein offenes Ende. Daher kann es sein, dass sich die Anfangszahlen, die auf ihr stehen, unterschiedlich fortsetzen. Das werden wir uns genauer ansehen.
Beide Schlangen beginnen mit 2 4 6 8
Die erste Regel zur Fortsetzung heißt:
2 + 0; 2 + 2; 2 + 4; 2 + 6 u. s. w.
Setze damit die zweite Schlange fort:
2 4 6 8 10 12 14 ...
Findest du eine zweite Regel, so dass sich die zweite Schlange so wie die erste fortsetzt? Die zweite Regel zur Fortsetzung heißt:
2 x 1; 2 x 2; 2 x 3; 2 x 4 u. s. w.
Setze damit die erste Schlange fort.
2 4 6 8 10 12 14 ...
Du siehst, dass man durch zwei verschiedene Regeln dieselbe Zahlenfolge bilden kann.
Aber welche Regel steckt dahinter, wenn die Schlange mit 2 4 anfängt, aber weiter geht mit 8 16 32 .....? Fangen wir bei der 4 an. 4 = 2 + 2 oder 2 x 2 8 = 4 + 4 oder 4 x 2 16 = 8 + 8 oder 8 x 2 32 = 16 + 16 oder 16 x 2 Dann kannst du schnell die beiden nächsten Zahlen ermitteln. 32 + 32 oder 32 x 2 = 64 64 + 64 oder 64 x 2 = 128
Jetzt wirst du sicher auch diese Regel heraus finden. Dann kannst du auch die fehlenden Zahlen in der Schlange einfügen. 5 11 18 35 45 68 95 110
So sieht die Lösung aus: 5 + 6 = 11; 11 + 7 = 18; 18 + 8 = 26; 26 + 9 = 35; 35 + 10 = 45; 45 + 11 = 56; 56 + 12 = 68; 68 + 13 = 81; 81 + 14 = 95 und 95 + 15 = 110 Das hast du toll gemacht!
Fassen wir zusammen. Wenn du Zahlenschlangen vervollständigen willst, musst du die Regeln erkennen, die die Zahlenfolgen bilden. So ist es ein Leichtes die Zahlenreihe zu vervollständigen. Lilli und Niko sind von dem Spiel begeistert. Lillis Tante ist toll! Die beiden spielen noch ein bisschen weiter. Ich hoffe, du bist beim nächsten Mal wieder mit dabei. Tschüss!
Verschiedene Zahlenfolgen bilden Übung
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Welche Zahlen fehlen? Bestimme.
TippsSchau dir die Zahlen in der Zahlenschlange an. Überlege, wie du von der ersten zur zweiten Zahl kommst.
Überlege nun, wie du von der zweiten zur dritten Zahl kommst. Hierbei ergibt sich eine Regel, also eine Art Rechenanleitung.
Um von der 5 zur 14 zu kommen, addierst du 9.
5 + 9 = 14
Um von der 14 zur 23 zu kommen, addierst du wieder 9.
14 + 9 = 23
Die Regel für diese Zahlenschlange lautet also: Addiere 9.LösungLilli und Niko freuen sich. Mit deiner Hilfe haben sie die Zahlenschlange vervollständigt.
Zu jeder Zahlenschlange gehört eine Regel. Das ist eine Art Rechenanleitung. Wenn du die Regel kennst, kannst du die fehlenden Zahlen ausrechnen.Zuerst haben Lilli und Niko überlegt, wie sie von der ersten Zahl zur zweiten Zahl kommen. Was müssen sie rechnen, um von der 5 zur 14 zu kommen? Niko weiß es:
5 + 9 = 14.
Lilli überprüft, ob die Regel dieser Zahlenschlange Addiere 9 lautet. Sie addiert 9 zur zweiten Zahl:
14 + 9 = 23.
Lilli hat die dritte Zahl der Zahlenschlange erhalten!
Also lautet die Regel zu dieser Zahlenschlange: Addiere 9.Lilli und Niko finden mit dieser Regel die fehlenden Zahlen. Sie erhalten diese Zahlenschlange:
5, 14, 23, 32, 41, 50, 59, 68, 77, 86, 95, 104. -
Welche Regeln passen zu dieser Zahlenschlange? Gib an.
TippsNimm dir ein Blatt Papier und einen Stift.
Lies dir jede Rechenregel genau durch. Folge der Regel und schreibe die ersten 4 Zahlen auf. Du beginnst immer mit der Zahl 2.
Überprüfe jetzt, bei welcher Regel du die Zahlenschlange im Bild erhalten hast.
LösungZu dieser Zahlenschlange gibt es nicht nur eine Regel. Es gibt zwei Möglichkeiten, die fehlenden Zahlen auszurechnen. Um herauszufinden, welche Regeln passen, gibt es einen Trick. Nimm dir ein Blatt Papier. Folge dann jeder Regel und schreibe die Zahlenreihen auf. Du beginnst immer mit der zwei.
Wenn du die Zahlen herausbekommst, die auch in der Zahlenschlange stehen, dann passt diese Regel zur Zahlenschlange.- Erste Regel: Addiere 2. Zwischen den Zahlen 2 ,4, 6, 8 ist jeweils ein Abstand von 2. Du kannst also immer 2 zur vorherigen Zahl hinzufügen und kommst so auf die nächste Zahl.
- Zweite Regel: Du kannst auch die 2er-Reihe aufschreiben. Die beginnt mit der Zahl 2. Dann springst du immer in 2er-Sprüngen zur nächsten geraden Zahl. Du rechnest also 2 $\cdot$ 1 = 2, dann 2 $\cdot$ 2 = 4, nun 2 $\cdot$ 3 = 6 und 2 $\cdot$ 4 = 8.
-
Welche Zahlen fehlen in der Zahlenschlange? Berechne.
TippsFinde die Regel heraus, die zu der Zahlenschlange gehört.
Die Zahlen werden immer kleiner.
Du musst hier subtrahieren.
LösungDu musst zuerst die Regel erkennen, die die Zahlenfolge bildet. Dann kannst du die Zahlenschlange vervollständigen. Dafür untersuchst du die gegebenen Zahlen genau. Sehen wir uns die ersten Zahlen dieser Zahlenfolge an:
28, 25, 22, ...
Der Abstand zwischen den Zahlen ist immer gleich groß. Der Abstand beträgt immer 3. Hast du bemerkt, dass die Zahlen immer kleiner werden? Also musst du hier subtrahieren. Die Regel zu dieser Zahlenfolge lautet: Subtrahiere 3.
Dann sieht die Zahlenfolge so aus:
28, 25, 22, 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1. -
Wie gehen die Zahlenfolgen weiter? Bestimme.
TippsUntersuche die Anfänge der Zahlenfolgen genau.
- Ist der Abstand zwischen den Zahlen immer gleich groß?
- Musst du addieren oder subtrahieren?
- Musst du die vorherige Zahl verdoppeln?
Nimm dir ein Blatt Papier und einen Stift. Berechne die nächste Zahl der Zahlenfolge auf der linken Seite.
LösungBei dieser Aufgabe musst du zuerst die Regel herausfinden, die zu den Zahlenfolgen gehört.
Dafür siehst du dir die Zahlen links genau an. Überlege, ob die Abstände zwischen den Zahlen immer gleich groß sind. Das war bei dieser Zahlenfolge so:
17, 15, 13, 11, ...
Der Abstand zwischen den Zahlen beträgt immer 2. Außerdem werden die Zahlen immer kleiner. Das heißt, du musst hier immer 2 subtrahieren. Die Regel lautet also: Subtrahiere 2.
Dann geht die Zahlenfolge so weiter:
17, 15, 13, 11, 9, 7, 5, 3.Auch bei dieser Zahlenfolge ist der Abstand zwischen den Zahlen immer gleich groß:
8, 12, 16, 20, ...
Der Abstand zwischen zwei Zahlen ist immer 4. Die Zahlen werden immer größer. Die Regel lautet also: Addiere 4. Die vollständige Zahlenfolge sieht so aus:
8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36.Bei einer Zahlenfolge war der Abstand zwischen den Zahlen immer unterschiedlich:
3, 6, 12, 24, ...
Die Zahlen dieser Zahlenfolge werden immer größer. Hier wurde aber nicht addiert, sondern verdoppelt. Die Regel lautet also: Verdopple die vorherige Zahl. Die Zahlenfolge geht so weiter:
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. -
Wie heißt die nächste Zahl der Zahlenschlange? Bestimme.
TippsSchau dir die einzelnen Zahlen in der Zahlenschlange genau an. Die Abstände zwischen den Zahlen sind immer unterschiedlich.
Was musst du mit der ersten Zahl machen, um die zweite Zahl zu erhalten?
Sieh dir diese Zahlen an:
2 und 4
4 und 8
8 und 16
16 und 32Die Zahl 4 ist doppelt so groß wie die Zahl 2.
LösungWas für eine besondere Zahlenschlange!
Hier sind die Schritte zwischen den Zahlen unterschiedlich groß. Das macht es besonders schwierig, die passende Regel zu finden.Sieh dir die Zahlen der Zahlenschlange genau an:
2 und 4
4 und 8
8 und 16
16 und 32Hast du es bemerkt? Die zweite Zahl ist immer doppelt so groß wie die erste Zahl. Die Regel zu dieser Zahlenschlange lautet also: Nimm die vorherige Zahl und verdopple sie.
Wir wollen die Zahl nach der 32 berechnen. Also nehmen wir die 32 und verdoppeln sie:
32 + 32 = 64.
Du kannst auch 32 $\cdot$ 2 = 64 rechnen.
Also ist die 64 die nächste Zahl der Zahlenschlange! -
Welche Zahlenfolgen werden beschrieben? Ermittle.
TippsWenn du eine Zahl halbierst, dann dividierst du durch 2.
Hier siehst du ein Beispiel:
6 : 2 = 3.
3 ist also die Hälfte von 6.
LösungLilli und Niko sind begeistert! Zahlenfolgen heraus zu finden macht ihnen richtig viel Spaß.
Bei der ersten Zahlenfolge mussten sie immer 3 addieren. Die vollständige Zahlenfolge sieht dann so aus:
7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28.Wir sehen uns die zweite Zahlenfolge an. Die Regel lautet: Halbiere die vorherige Zahl.
Die erste Zahl ist die 32. Wenn du eine Zahl halbieren willst, dann dividierst du die Zahl durch 2. Du rechnest also
32 : 2 = 16.
Die zweite Zahl der Zahlenfolge ist also die 16. Jetzt halbieren wir die 16, da sie die zweite Zahl in der Zahlenfolge ist.
16 : 2 = 8
Wenn du immer so weiter machst, dann erhältst du diese Zahlenreihe:
32, 16, 8, 4, 2, 1.Bei der dritten Zahlenfolge sollten Lilli und Niko immer die vorherige Zahl mit 5 multiplizieren. Da kamen richtig große Zahlen heraus:
1, 5, 25, 125, 625.
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