Teiler und Vielfache – Einführung
Was sind Teiler einer Zahl? Wie findet man Vielfache? Erfahre, wie man ohne Rest durch bestimmte Zahlen teilbar ist und lerne, wie man Vielfache von Zahlen berechnet. Interessiert? Das und vieles mehr findest du im folgenden Text und Video!
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Grundlagen zum Thema Teiler und Vielfache – Einführung
Teiler und Vielfache (Einführung) – Mathematik
In der Mathematik kommen Teiler vor, wenn wir herausfinden wollen, wie wir Zahlen teilen können. Damit ist gemeint, dass beim Teilen oder Aufteilen jeder Teil gleich groß ist. Du kannst zum Beispiel sechs Brötchen gut auf drei Kinder verteilen: Jedes Kind bekommt dann zwei Brötchen. In diesem Text und Video erklären wir dir, was das Teilen mit Vielfachen und Teilern zu tun hat.
Teiler – Definition
Was ist der Teiler einer Zahl? Die Zahl $6$ lässt sich ohne Rest nur durch ganz bestimmte Zahlen teilen, nämlich durch $6$, durch $3$, durch $2$ und durch $1$.
$6:6=1 \qquad 6:3=2 \qquad 6:2=3 \qquad 6:1=6$
Bei allen anderen Divisionen der Zahl bleibt immer ein Rest übrig. Wir nennen die Zahlen $1$, $2$, $3$ und $6$ die Teiler der Zahl $6$. Das sind genau die Zahlen, durch die $6$ ohne Rest teilbar ist. Teilst du $6$ durch $5$, so bleibt der Rest $1$, bei $6:4$ bleibt der Rest $2$. Die Zahlen $5$ und $4$ sind also keine Teiler der Zahl $6$.
- Ein Teiler einer Zahl ist eine weitere Zahl, durch die die erste Zahl ohne Rest teilbar ist.
Teiler bestimmen – Beispiel
Jede Zahl hat sich selbst und die Zahl $1$ als Teiler. Denn jede Zahl kann ohne Rest durch sich selbst geteilt werden, zum Beispiel $6:6=1$. Das Ergebnis dieser Division ist immer $1$. Jede Zahl kann auch ohne Rest durch $1$ geteilt werden. Das Ergebnis dieser Division ist die Zahl selbst, zum Beispiel $6:1=6$. Es hat also jede
Der größte Teiler einer Zahl ist immer die Zahl selbst. Durch eine größere Zahl als die Zahl selbst kann man keine Zahl schön teilen. Ein echter Teiler einer Zahl ist ein Teiler, der kleiner ist als die Zahl selbst. Zum Beispiel ist $6$ zwar ein Teiler der Zahl $6$, aber kein echter Teiler.
Vielfache – Definition
Was sind Vielfache einer Zahl? Statt Zahlen zu teilen, kannst du sie auch vervielfachen. Zum Beispiel die Vielfachen der Zahl $6$ erhalten wir, indem wir die Zahl $6$ mit anderen Zahlen multiplizieren. Das gilt natürlich nicht nur für die Zahl $6$, sondern allgemein:
- Ein Vielfaches einer Zahl erhält man durch Multiplikation der Zahl mit einer
natürlichen Zahl $>0$ .
Weil es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, hat jede Zahl unendlich viele Vielfache. Das kleinste Vielfache ist die Zahl selbst. Zum Beispiel ist $6$ das kleinste Vielfache von $6$, denn $1 \cdot 6=6$. Ein echtes Vielfaches einer Zahl ist ein Vielfaches, das größer ist als die Zahl selbst. Die Zahl $6$ ist zwar ein Vielfaches von $6$, aber kein echtes Vielfaches.
Vielfache bestimmen – Beispiel
Sehen wir uns nun ein Beispiel zum Thema Vielfache bestimmen an. Nimmst du eine Gruppe von $6$ Personen, so hast du insgesamt $6$ Personen. Zwei Gruppen ergeben $2 \cdot 6 = 12$ Personen, drei Gruppen ergeben $3 \cdot 6 = 18$ Personen. Und bei sieben Gruppen hast du schon $7 \cdot 6 = 42$ Personen. Die Ergebnisse dieser Multiplikationen heißen Vielfache der Zahl $6$. Du kannst beliebige Vielfache einer Zahl bestimmen, indem du die Zahl mit beliebigen natürlichen Zahlen multiplizierst.
Viele Zahlen, wie zum Beispiel die Zahlen $9$ und $17$, kommen in dieser Folge nicht vor. Sie sind keine Vielfachen der Zahl $6$. Du kannst sie nicht als Ergebnisse einer Multiplikation von $6$ mit einer natürlichen Zahl erhalten.
Teiler und Vielfache
In der Multiplikation $18=6 \cdot 3$ ist $18$ das Produkt der Faktoren $6$ und $3$. Insbesondere ist $18$ ein Vielfaches sowohl von $6$ als auch von $3$.
- Ein Produkt ist ein Vielfaches jedes seiner Faktoren.
Die Zahlen $6$ und $3$ sind beide Teiler der Zahl $18$. Denn du kannst $18$ ohne Rest durch $6$ und ebenso durch $3$ teilen: $18:6=3$ und $18:3=6$.
- Faktoren eines Produkts sind stets Teiler des Produkts.
Wir können eine ähnliche Beziehung auch für Geteiltaufgaben aufschreiben. In der Division
- Der Dividend ist ein Vielfaches von Divisor und Quotient.
Wir können aus der Geteiltaufgabe aber auch Teiler ablesen: Der Divisor $6$ und der Quotient $3$ sind Teiler des Dividenden $18$, denn die Division geht ohne Rest auf.
- Bei einer Division ohne Rest sind Divisor und Quotient jeweils Teiler des Dividenden.
Dieses Video
In diesem Video werden dir Teiler und Vielfache in der Mathematik einfach erklärt. Willst du die neu gelernten Begriffe gleich üben? Dann findest du hier auf der Seite interaktive Übungen und Arbeitsblätter zu Teilern und Vielfachen.
Transkript Teiler und Vielfache – Einführung
Oberkopfhaut-Hauptlaus Klaus plant mit seiner lausigen Truppe den nächsten Angriff. Neue Territorien wollen erobert werden! Das Ziel: Köpfe! Und wie es sich für einen ordentlich ausgeführten Lausbefall gehört, werden die Kräfte gleichmäßig verteilt. Klaus hat sechs Läuse unter seinem Kommando. Auf drei Köpfe kann er die gut verteilen, dann landen auf jedem Kopf genau zwei Läuse. Aber bei vier Köpfen würden zwei Läuse übrig bleiben. Für die Planung des Lausbefalls muss sich Klaus deshalb gut mit Teilern und Vielfachen auskennen. In diesem Video beschränken wir uns dabei auf die natürlichen Zahlen ohne die Null. Fangen wir bei den Teilern an. Vielleicht hast du schon erraten, dass DIE etwas mit dem Geteilt-Rechnen zu tun haben. Die Zahl 6 lässt sich ohne Rest durch 6, 3, 2 und 1 teilen. Eine gleichmäßige Verteilung ist also offenbar nur bei 6 Köpfen, 3 Köpfen, 2 Köpfen oder einem Kopf möglich. Diese Zahlen heißen Teiler der Zahl 6. Auf fünf oder vier Köpfen kann Klaus seine Läuse aber nicht gleichmäßig verteilen, denn dann bleiben Läuse übrig. Die 5 und die 4 sind also keine Teiler der 6. Teilt man eine Zahl durch einen ihrer Teiler, bleibt kein Rest übrig. Jede Zahl hat sich selbst und 1 als Teiler, denn jede Zahl kann ohne Rest durch sich selbst und durch 1 geteilt werden. Daher haben alle Zahlen größer 1 mindestens zwei Teiler, die 1 hat nur einen - sich selbst. Außerdem ist der größte Teiler einer Zahl immer die Zahl selbst. Denn auf mehr als 6 Köpfe kann Klaus seine 6 Läuse nicht aufteilen, dann würden immer einige Köpfe leer ausgehen. Und das wäre doch sehr schade! Ein echter Teiler einer Zahl ist ein Teiler, der kleiner ist als die Zahl selbst. Deshalb ist die 6 zwar ein Teiler von 6, aber kein echter Teiler. Aber Klaus denkt schon weiter. Wenn er diesen Lausbefall gut organisiert, dann wird er befördert - zum Kratzinal! Eine Truppe besteht immer aus sechs Läusen. Bei zwei Truppen wären das schon 12. Bei drei Truppen 18. Und bei sieben Truppen sogar 42! Diese Zahlen heißen Vielfache der Zahl 6. Aber beispielsweise die 9 oder die 17 kommen in dieser Folge nicht vor. Wie auch viele andere Zahlen. Die sind also keine Vielfachen von 6. Man erhält ein Vielfaches einer Zahl, wenn man sie mit einer beliebigen natürlichen Zahl größer Null multipliziert. Weil es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, hat jede Zahl auch unendlich viele Vielfache. Das kleinste Vielfache ist die Zahl selbst, in unserem Beispiel also die 6. Ein echtes Vielfaches einer Zahl ist ein Vielfaches, das größer ist als die Zahl selbst. Deshalb ist die 6 zwar ein Vielfaches von 6, aber kein echtes Vielfaches. Schauen wir uns noch einmal eine Rechnung an: 18 ist sowohl ein Vielfaches von 6 als auch von 3. Ein Produkt ist immer ein Vielfaches von jedem der Faktoren. 6 und 3 sind beides Teiler der 18. Die Faktoren sind also Teiler des Produkts. Eine ähnliche Beziehung finden wir auch bei der Division: Hier ist der Dividend Vielfaches von Divisor und Quotient. Divisor und Quotient sind Teiler des Dividenden. Fassen wir das noch einmal zusammen: Teilt man eine Zahl durch einen ihrer Teiler, bleibt kein Rest übrig. Für die 6 haben wir diese Teiler gefunden. Ein echter Teiler einer Zahl ist außerdem kleiner als die Zahl selbst. Dies sind also die echten Teiler der 6. Jede Zahl hat endlich viele Teiler. 1 und die Zahl selbst sind immer Teiler. Ein Vielfaches einer Zahl erhält man, wenn man sie mit einer beliebigen natürlichen Zahl größer Null multipliziert. Einige Vielfache der 6 sind diese hier. Ein echtes Vielfaches ist größer als die Zahl selbst. Dies sind also einige der echten Vielfachen der 6. Jede Zahl hat unendlich viele Vielfache. Das wird durch diese Punkte veranschaulicht. Dann sieht man, dass es noch mehr Vielfache gibt. Wie kommt eigentlich der Lausbefall voran? Verjuckt und aufgekratzt! Da wird die Beförderung wohl noch etwas warten müssen.
Teiler und Vielfache – Einführung Übung
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Bestimme die Teiler.
TippsBei der Division durch einen Teiler bleibt kein Rest.
$1$, $2$, $3$ und $6$ sind Teiler von $6$.
$4$ ist kein Teiler von $6$. Daher bleibt bei der Division ein Rest.
LösungOberkopfhaut-Hauptlaus Klaus verteilt seine lausigen Truppen auf die Köpfe: Jede Truppe besteht aus $6$ Läusen und soll gleichmäßig ohne Rest auf die Köpfe verteilt werden.
Das geht nicht bei jeder beliebigen Anzahl von Köpfen, sondern nur bei solchen Anzahlen, die Teiler der Zahl $6$ sind. Eine Zahl ist Teiler der Zahl $6$, wenn sich $6$ ohne Rest durch diese Zahl teilen lässt. Die Teiler der Zahl $6$ sind $1$, $2$, $3$ und $6$. Die Zahlen $4$ und $5$ sind keine Teiler der Zahl $6$, da beim Teilen jeweils ein Rest bleibt. Zahlen $>6$ sind ebenfalls keine Teiler der Zahl $6$, da jeder Teiler einer Zahl höchstens so groß wie die Zahl selbst ist. Anderenfalls müsste Klaus seine Läuse ja zerteilen, statt sie zu verteilen.
Um die Aufteilung vorzunehmen, rechnet Klaus die Divisionen aus und kommt auf folgende Ergebnisse:
- $6:3 = 2$, denn $3$ ist ein echter Teiler von $6$.
- $6:4 = 1 \text{ Rest }2$, denn $4$ ist kein Teiler von $6$ und $6-2=4$ und $4:4=1$.
- $6:5 = 1 \text{ Rest }1$, denn $5$ ist kein Teiler von $6$. Es ist $5:5=1$ und $6 = 5+1$.
- $6:6 =1$, denn $6$ ist ein Teiler von $6$, wenn auch kein echter Teiler.
$4$ kann nicht Ergebnis einer Division des Dividenden $6$ sein, da $4$ kein Teiler von $6$ ist. Der Rest $3$ kann bei Divisionen von $6$ nicht als Rest auftreten, da $3$ ein Teiler von $6$ ist.
-
Gib die Eigenschaften von Teilern an.
TippsIn der Rechnung $6=2\cdot 3$ heißen $2$ und $3$ die Faktoren und $6$ das Produkt.
In der Rechnung $6 : 2 = 3$ ist $6$ der Dividend, $2$ der Divisor und die $3$ der Wert des Quotienten.$3$ ist ein Teiler von $6$, aber kein Teiler von $7$. Denn bei der Verteilung von $7$ Läusen auf $3$ Köpfe bleibt eine Laus übrig.
$4$ ist ein Teiler jeder durch $4$ teilbaren Zahl, da beim Teilen dann kein Rest bleibt.
LösungFindet Klaus eine Division, die ohne Rest aufgeht, so sind Divisor und Quotient notwendig Teiler des Dividenden. Das ist z. B. bei der Division $6:3=2$ der Fall. Umgekehrt sind Faktoren stets Teiler des Produkts, beispielsweise sind $2$ und $3$ Teiler von $2 \cdot 3 =6$.
Klaus kann auch jede Zahl durch sich selbst teilen: Hat er genauso viele Läuse wie Köpfe vor sich, so landet auf jedem Kopf eine Laus. Außerdem kann Klaus jede Zahl durch $1$ teilen: $6$ Läuse verteilt auf nur einen Kopf macht $6$ Läuse pro Kopf. Es gibt Zahlen, die nur diese beiden Teiler haben, wie etwa $2$ und $3$. Das bedeutet: Jede Zahl hat mindestens zwei Teiler (nämlich $1$ und sich selbst). Es gibt zudem Zahlen, die nicht mehr als diese beiden Teiler haben.
Folgende Aussagen sind richtig:
- Jede Zahl ist Teiler von sich selbst.
- Faktoren sind immer Teiler ihres Produkts.
- Der Dividend ist ein Vielfaches von Divisor und Quotient.
Folgende Aussagen sind falsch:
Wir beschränken uns auf die natürlichen Zahlen ohne die Null.
- Jede Zahl besitzt mindestens $3$ Teiler.
- Produkte sind Teiler ihrer Faktoren.
- Dividieren wir eine Zahl durch einen ihrer Teiler, bleibt immer ein Rest übrig.
-
Bestimme die vier kleinsten echten Vielfachen der gegebenen Zahlen.
TippsEin Vielfaches einer Zahl ergibt sich, wenn du die Zahl mit einer anderen Zahl multiplizierst. Je kleiner die andere Zahl, desto kleiner ist danach auch das Vielfache.
Das kleinste echte Vielfache einer Zahl ist das Doppelte der Zahl.
Die vier kleinsten echten Vielfachen einer Zahl erhältst du, indem du die Zahl mit den vier kleinsten natürlichen Zahlen, die größer sind als $1$, multiplizierst.
LösungAls echte Vielfache einer Zahl bezeichnet man alle Vielfachen einer Zahl, die nicht die Zahl selbst sind. Obwohl also zum Beispiel die $2$ ein Vielfaches von $2$ ist, ist sie kein echtes Vielfaches.
Alle echten Vielfachen einer Zahl werden wir niemals angeben können, da es davon unendlich viele gibt. Hier sind allerdings nur die vier kleinsten echten Vielfachen gesucht. Diese können wir berechnen, indem wir die jeweilige Zahl nacheinander mit $2$, $3$, $4$ und $5$ multiplizieren. Dadurch erhalten wir das Doppelte, das Dreifache, das Vierfache und das Fünffache der Zahl. Ein kleineres echtes Vielfaches gibt es nicht. Denn dafür müssten wir die Zahl mit einer natürlichen Zahl multiplizieren, die kleiner ist als $2$. Das ist nur die $1$. Doch Multiplikation mit $1$ liefert kein echtes Vielfaches, sondern die Zahl selbst!
Damit ergeben sich für obige Zahlen die folgenden echten Vielfachen:
Echte Vielfache von $4$:
$8\,(=2\cdot 4)$, $12\,(=3\cdot 4)$, $16\,(=4\cdot 4)$, $20\,(=5\cdot 4)$, ...
Echte Vielfache von $9$:
$18$, $27$, $36$, $45$, ...
Echte Vielfache von $12$:
$24$, $36$, $48$, $60$, ...
Echte Vielfache von $7$:
$14$, $21$, $28$, $35$, ...
-
Bestimme alle echten Teiler.
TippsEin echter Teiler einer Zahl ist ein Teiler, der größer als $1$ und kleiner als die Zahl selbst ist.
Teilst du eine Zahl durch einen ihrer Teiler, bleibt kein Rest übrig.
$65$ hat weniger echte Teiler als $36$. Denn die einzigen echten Teiler von $65$ sind $5$ und $13$, die von $36$ sind $2$, $3$, $4$, $6$, $9$, $12$ und $18$.
LösungVergrößert man eine Zahl, indem man sie mit einer anderen Zahl $>1$ multipliziert, so hat das Produkt mehr Teiler als die Faktoren. Aber nicht jede große Zahl hat viele Teiler. Z. B. hat die Zahl $97$ nur die Teiler $1$ und $97$.
Die Teiler einer Zahl kannst du bestimmen, indem du ausprobierst, durch welche Zahlen sie ohne Rest teilbar ist. Außerdem ist jeder Teiler eines Teilers einer Zahl wieder ein Teiler dieser Zahl. Z. B. ist $2$ ein Teiler von $4$ und $4$ ein Teiler von $12$. Daher ist auch $2$ ein Teiler von $12$.
Hier erhältst du folgende echten Teiler:
Teiler von $64$:
- $32$, denn $64: 32 = 2$.
- $16$, denn $16$ ist ein Teiler von $32$ und damit auch von $64$. Direkt gerechnet ist $64:16=4$.
- $8$ ist ein Teiler von $64$, da $8 \cdot 8 = 64$.
- $4$ ist ebenfalls ein Teiler von $64$, denn $4$ ist der Quotient der Division $64:16$ und damit ein Teiler des Dividenden $64$.
- $2$ ist ebenfalls ein Teiler von $64$, da $64$ eine gerade Zahl ist.
- Die Zahlen $3$, $5$, $7$, $11$ und $25$ sind keine Teiler von $64$.
- Die Zahl $17$ hat nur die Teiler $1$ und $17$, also keine echten Teiler.
- $5$ ist ein Teiler, da $75:5=15$.
- Damit ist auch $15$ ein Teiler von $75$, denn $15$ ist ein Quotient zu dem Dividenden $75$.
- Die Teiler von $15$ sind ebenfalls Teiler der Vielfachen von $15$, also insbesondere Teiler von $75$. Daher ist auch $3$ ein Teiler von $75$.
- Teilt man $75$ durch den Teiler $3$, erhält man den weiteren Teiler $75:3 = 25$.
- Keine gerade Zahl ist Teiler von $75$, da $75$ ungerade ist. Die Zahlen $7$, $11$ und $17$ sind ebenfalls keine Teiler von $75$.
- $11$ und $7$ sind Teiler von $77$, da $1 1 \cdot 7 = 77$ bzw. $77:11 = 7$.
- $77$ hat keine weiteren echten Teiler: Jede Zahl zwischen $2$ und $6$ ist kein Teiler von $77$. Die Zahlen $8$, $9$ und $10$ sind ebenfalls keine Teiler von $77$. Größere Zahlen als $11$ müssen wir nicht betrachten. Denn wäre eine Zahl $>11$ ein echter Teiler von $77$, müsste der Quotient ein echter Teiler sein, der kleiner als $77:11=7$ ist. Solche gibt es aber nicht, wie wir uns gerade überlegt haben.
-
Bestimme die Vielfachen.
TippsDie Gesamtzahl der Läuse mehrerer Truppen ist ein Vielfaches von $6$, da jede Truppe aus $6$ Läusen besteht.
Echte Vielfache von $6$ sind z. B. $12$, $24$, $36$ und $60$.
$6 \cdot 6=36$ und $7 \cdot 6$ ist um $6$ mehr als $36$.
LösungJede Laustruppe besteht aus $6$ Läusen. Daher ist die Anzahl der Läuse mehrerer Truppen ein Vielfaches von $6$. Klaus hat verschiedene Anzahlen von Laustruppen vor sich und bestimmt jeweils die Anzahl der Läuse:
- Eine Truppe besteht aus $6$ Läusen, d. h. aus insgesamt $1 \cdot 6 = 6$ Läusen.
- Zwei Truppen sind doppelt so viele wie eine Truppe, also insgesamt $2 \cdot 6 = 12$ Läuse.
- Drei Truppen enthalten sechs Läuse mehr als zwei Truppen. Das macht insgesamt $3 \cdot 6 = 18$ Läuse.
- Sieben Truppen von jeweils $6$ Läusen sind $7 \cdot 6 = 42$ Läuse.
-
Bestimme den Rest bei Division.
TippsBei der Division $27:4$ bleibt der Rest $3$, denn $24 = 6 \cdot 4$ und $27 -24 = 3$.
Daher ist $27:4 = 6 \text{ Rest } 3$.
LösungBei der Division durch einen Divisor, der kein Teiler des Dividenden ist, entsteht ein Rest. Für die Division mit dem Rest bestimmst du das größtmögliche Vielfache des Divisors, das kleiner oder gleich dem Dividenden ist. Die Differenz des Dividenden zu diesem Vielfachen ist der Rest.
Teilst du z. B. $27:4$, so ist $24 = 6 \cdot 4$ das größte Vielfache von $4$, das nicht größer ist als $27$. Das nächste Vielfache wäre $28 = 7 \cdot 4$, aber $28>27$. Der Rest ist $27-24=3$.Der Rest muss immer kleiner als der Divisor sein, sonst ist ein größeres Vielfaches des Divisors kleiner oder gleich dem Dividenden. So wäre $29:4 = 6 \text{ Rest }5$ nicht richtig: In diesem Fall ist nämlich $28 = 7 \cdot 4$ das größte Vielfache von $4$, das nicht größer als $29$ ist. Daher ist $29:4 = 5\text{ Rest }1$.
In der Aufgabe gibt es viele Divisionen mit den Resten $1$, $2$, $3$ und $5$, darüber hinaus einige Divisionen ohne Rest und solche mit anderen Resten.
Rechnen wir sie alle aus:
- $4:3 = 1\text{ Rest }1$
- $4:2=2$
- $5:3=1\text{ Rest }2$
- $5:4=1\text{ Rest }1$
- $7:4=1\text{ Rest }3$
- $7:5=1\text{ Rest }2$
- $7:7=1$
- $9:5=1\text{ Rest }4$
- $12:4=3$
- $14:9=1\text{ Rest }5$
- $14:11=1\text{ Rest }3$
- $19:5=3\text{ Rest }4$
- $23:7=3\text{ Rest }2$
- $28:9=3\text{ Rest }1$
- $34:8=4\text{ Rest }2$
- $41: 6=6\text{ Rest }5$
- $42:7=6$
- $45: 11=4\text{ Rest }1$
- $48:9=5\text{ Rest }3$
- $55:7=7\text{ Rest }6$
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