Primfaktorzerlegung
Bei der Primfaktorzerlegung werden natürliche Zahlen als Produkt von Primzahlen dargestellt. Sie hilft dabei, eine Zahl in ihre Grundbausteine zu zerlegen. Erfahre, wie man sie berechnet und was ihre Bedeutung ist. Interessiert? All das und mehr erfährst du im ausführlichen Text!
- Primfaktorzerlegung – Definition
- Primfaktorzerlegung berechnen
- Primfaktorzerlegung – Beispiele
- Bedeutung und Anwendung der Primfaktorzerlegung
- Primfaktorzerlegung – Übungen
- Ausblick – das lernst du nach Primfaktorzerlegung
- Primfaktorzerlegung – Zusammenfassung
- Häufig gestellte Fragen zum Thema Primfaktorzerlegung
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Grundlagen zum Thema Primfaktorzerlegung
Primfaktorzerlegung – Definition
Warum beschäftigen sich die Mathematiker so gerne mit Primzahlen und versuchen immer wieder neue zu finden? Eine ganz wichtige Anwendung der Primzahlen ist die Primfaktorzerlegung. Schau mal, welche Wörter darin stecken:
- Prim: Das kennst du bereits von den Primzahlen.
- Faktor: Du weißt: Faktor mal Faktor gleich Produkt. Ein Faktor ist ein Term bei der Multiplikation.
- Zerlegung: Das Ziel der Primfaktorzerlegung ist, eine Zahl in möglichst kleine Faktoren zu zerlegen. Dies sind gerade die Primzahlen, denn diese kannst du nicht weiter in Faktoren zerlegen.
Die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl ist ein Produkt aus Primzahlen, dessen Wert der Zahl entspricht.
Jede natürliche Zahl, die größer als $1$ ist und keine Primzahl ist, lässt sich als Produkt von mindestens zwei Primzahlen schreiben. Die Faktoren einer solchen Zerlegung nennen wir deshalb auch Primfaktoren.
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler besitzt: $1$ und die Zahl selbst.
- Die $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen Teiler, sich selbst, hat.
- Die kleinste Primzahl ist die Zahl $2$. Die $2$ ist die einzige gerade Primzahl.
- $3$, $5$ und $7$ sind beispielsweise Primzahlen.
- Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Primfaktorzerlegung berechnen
Kennst du das?
Vielleicht hast du schon einmal bemerkt, dass es einfacher ist, große Aufgaben in kleinere Schritte zu zerlegen? Zum Beispiel, wenn du ein riesiges Puzzle machst und zuerst die Randstücke heraussuchst. In der Mathematik hilft die Primfaktorzerlegung dabei, große Zahlen in kleinere, einfachere Teile, nämlich Primzahlen, zu zerlegen. Das macht es einfacher, mit diesen Zahlen zu rechnen.
Das können wir uns an einem Beispiel gut verdeutlichen. Wir wollen nun die Primfaktorzerlegung von $72$ ermitteln.
Da $72$ eine gerade Zahl ist teilen wir durch $2$ und erhalten:
$72 = 2 \cdot 36$
Die $2$ ist bereits ein Primfaktor. Den verbleibenden Faktor $36$ zerlegen wir weiter.
Wir können die $36$ erneut durch $2$ teilen:
$72 = 2 \cdot 36 = 2 \cdot 2 \cdot 18$
Den Faktor $18$ können wir ein weiteres mal durch $2$ teilen:
$72 = 2 \cdot 36 = 2 \cdot 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9$
Die $9$ ist nicht durch $2$ teilbar. Wir können sie durch die nächstgrößere Primzahl $3$ teilen:
$72 = 2 \cdot 36 = 2 \cdot 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$
Das Ergebnis ist ein Produkt, in dem alle Faktoren Primzahlen sind.
Die gleichen Faktoren können wir noch als Potenz zusammenfassen:
$72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2$
Allgemeines Vorgehen:
- Zahl auf Teilbarkeit durch $2$ (kleinste Primzahl) prüfen.
- Falls möglich, durch $2$ teilen und überprüfen, ob das Ergebnis erneut durch $2$ teilbar ist.
- Vorgang so oft wiederholen, bis die Zahl nicht mehr durch $2$ teilbar ist.
- Zahl auf Teilbarkeit durch die nächste Primzahl $(3)$ überprüfen.
- Vorgang mit der nächstgrößeren Primzahl wiederholen, bis ausschließlich Primzahlen als Faktoren übrig bleiben.
- Gleiche Faktoren zu Potenzen zusammenfassen.
Primfaktorzerlegung mit Tabelle
Um dir bei der Primfaktorzerlegung Schreibarbeit zu sparen und den Überblick zu behalten, kannst du die Schritte auch in Form einer Tabelle notieren.
Wir ermitteln die Primfaktorzerlegung der Zahl $350$:
| Primfaktor | Quotient | Rechnung |
|---|---|---|
| $2$ | $175$ | $350 : 2 = 175$ |
| $5$ | $35$ | $175 : 5 = 35$ |
| $5$ | $7$ | $35 : 5 = 7$ |
| $7$ | $1$ | $7 : 7 = 1$ |
Die Primfaktorzerlegung können wir direkt in der ersten Spalte ablesen und müssen nur noch Potenzen zusammenfassen:
$350 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$
Oft wird so eine Tabelle als Nebenrechnung genutzt, dann ist auch eine vereinfachte Darstellung ohne Beschriftung und Rechenschritte ausreichend.
$\begin{array}{c|r} & 195 \\ \hline 3 & 65 \\ \hline 5 & 13 \\ \hline 13 & 1 \end{array}$
Wir lesen die Primfaktorzerlegung von $195$ ab:
$195 = 3 \cdot 5 \cdot 13$
Primfaktorzerlegung bei großen Zahlen
Wir haben bisher in jedem Schritt der Zerlegung einen Primfaktor gefunden. Diese Vorgehensweise funktioniert für beliebige Zahlen. Bei großen Zahlen sind allerdings häufig eine Vielzahl von Einzelschritten erforderlich. Hier kannst du in einigen Fällen durch geschicktes Vorgehen schneller zum Ziel gelangen. Wir nutzen dabei die Schreibweise als Rechenbaum.
Wir teilen dabei die Zahl in jeder Stufe in zwei Faktoren, die keine Primzahlen sein müssen. Wenn keine weitere Unterteilung mehr möglich ist, sind wir bei den Primfaktoren angelangt, da Primzahlen keine Teiler (außer sich selbst und $1$) haben.
Die Primfaktorzerlegung kann dann an den Enden der Pfade im Rechenbaum abgelesen werden.
Hier siehst du als Beispiel eine Zerlegung der Zahl $3\,500$, die zunächst in die Faktoren $100$ und $35$ aufgespalten wird, die dann in jeder Stufe weiter unterteilt werden.
Wir lesen die Primfaktorzerlegung ab, ordnen sie und fassen Potenzen zusammen:
$3\,500 = 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 2^2 \cdot 5^3 \cdot 7$
Fehleralarm
Es wird oft angenommen, dass zusammengesetzte Zahlen mehrere Primfaktorzerlegung haben. In Wirklichkeit haben alle Zahlen eine eindeutige Primfaktorzerlegung, die zu keiner anderen Zahl passt.
Primfaktorzerlegung – Beispiele
Hier siehst du das allgemeine Vorgehen zur Primfaktorzerlegung am Beispiel der Zahlen $108$ und $450$.
Primfaktorzerlegung von $108$
- $108$ ist gerade, denn die letzte Ziffer ist durch $2$ teilbar: $108=2\cdot 54$
- $54$ ist wieder gerade: $108=2\cdot 2\cdot 27$
- $27$ ist durch $3$ teilbar: $108=2\cdot 2\cdot 3 \cdot 9$
- $9$ ist erneut durch $3$ teilbar: $108=2\cdot 2\cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
- Mehrfach auftretende Faktoren können als Potenzen zusammengefasst werden:
$108=2^2\cdot 3^3$
Primfaktorzerlegung von $450$
- $450$ ist gerade: $450=2\cdot 225$
- $225$ ist nicht mehr durch $2$ teilbar, denn die letzte Ziffer ist nicht gerade.
Die nächstgrößere Primzahl ist $3$. Die Quersumme von $225$ ist $2+2+5=9$. Da diese durch $3$ teilbar ist, ist auch $225$ durch $3$ teilbar: $450=2\cdot 3\cdot 75$ - Auch $75$ ist durch $3$ teilbar, da $7+5=12$ durch $3$ teilbar ist: $450=2\cdot 3\cdot 3\cdot 25$
- $25=5\cdot 5$ und damit $450=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5=2\cdot 3^2\cdot 5^2$.
Bedeutung und Anwendung der Primfaktorzerlegung
Die Primfaktorzerlegung hat aufgrund ihrer Eigenschaften eine besondere Bedeutung bei der Betrachtung von Teilern und Vielfachen natürlicher Zahlen.
- Die Primfaktorzerlegung einer Zahl ist (abgesehen von der Reihenfolge der Faktoren) eindeutig.
- Jedes Produkt aus Primfaktoren einer Zahl ist Teiler der Zahl.
- Jeder Teiler einer Zahl kann als Produkt ihrer Primfaktoren geschrieben werden.
- Die Primfaktorzerlegung eines Vielfachen einer Zahl enthält stets alle Primfaktoren der Zahl.
Beispiele für wichtige Anwendungen der Primfaktorzerlegung
Primfaktorzerlegung – Übungen
Bilde die Primfaktorzerlegung der Zahlen.
Ausblick – das lernst du nach Primfaktorzerlegung
Weiter geht’s mit einer Übung zur Primfaktorzerlegung, wo du dein Wissen noch einmal vertiefen kannst. Mit den Themen wie größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches kannst du herausfinden, wofür die Primfaktorzerlegung nützlich ist.
Primfaktorzerlegung – Zusammenfassung
- Die Primfaktorzerlegung bezeichnet die Schreibweise einer natürlichen Zahlen als Produkt aus Primzahlen.
- Für die Zerlegung werden nach und nach (Prim-)Faktoren von der Zahl abgespalten, bis das Produkt nur noch Primfaktoren enthält.
- Die Primfaktoren der Zerlegung werden der Größe nach geordnet und gleich Faktoren werden zu Potenzen zusammengefasst.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Primfaktorzerlegung
Transkript Primfaktorzerlegung
Ein Neandertaler der Mathe kann?! Bei der Betrachtung der natürlichen Zahlen, die größer als 1 sind, ist Primo, dem Neandertaler, etwas ganz besonderes aufgefallen. Er hat nämlich die Primfaktorzerlegung entdeckt. Wie man an dem Wort schon erahnen kann, hängt die Primfaktorzerlegung stark mit den Primzahlen zusammen. Eine Primzahl ist eine Zahl die genau zwei Teiler hat: eins und sich selbst. Die Zahlen 2,3, 5, 7 und 11 sind zum Beispiel Primzahlen. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Primo hat herausgefunden, dass man jede natürliche Zahl größer als 1, die keine Primzahl ist, als Produkt von Primzahlen schreiben kann. Eine solche Zerlegung einer Zahl nennt sich Primfaktorzerlegung. Schauen wir uns das doch mal an einem Beispiel an und betrachten die 60. 60 ist durch 10 teilbar, da sie auf der Ziffer 0 endet. Teilen wir 60 durch 10, erhalten wir 6 als Ergebnis. 60 ist also das gleiche wie 6 mal 10. Aber dies können wir noch weiter zerlegen. Sowohl die 6, als auch die 10 sind gerade Zahlen, das heißt, sie sind beide durch 2 teilbar. 6 geteilt durch 2 ergibt 3. Wir können also 6 als Produkt von 2 und 3 schreiben. 10 geteilt durch 2 sind 5 und dies können wir ebenfalls als Produkt schreiben. 6 mal 10 ist also das gleiche wie 2 mal 3 mal 2 mal 5. Dies sind alles Primzahlen, wir haben also die Primfaktorzerlegung dieser Zahl gefunden. Zur besseren Übersicht ordnen wir die Zahlen aber der Größe nach und fassen gleiche Zahlen in Potenzen zusammen. Man kann die Zahl 60 also als dieses Produkt von Primzahlen schreiben. Jeder einzelne Faktor wird übrigens Primfaktor genannt. Diese Primfaktorzerlegung ist eindeutig, denn dieses Produkt steht nur für die 60 und nicht für eine andere Zahl. Schauen wir uns doch noch ein weiteres Beispiel an: Kann man die 450 ebenfalls als Produkt von Primzahlen schreiben? Durch 2 ist sie auf jeden Fall teilbar, da sie eine gerade Zahl ist. 450 geteilt durch 2 ist 225. 450 ist also das Gleiche wie 2 mal 225. Die 2 kann nicht mehr aufgeteilt werden, da sie schon eine Primzahl ist. Weil die Quersumme von 225 9 ist, ist 225 durch 3 teilbar. 225 geteilt durch 3 ergibt 75. Also erhalten wir 2 mal 3 mal 75. Und 75 kann man wieder durch 3 teilen und man erhält 25. Wir haben also nun insgesamt 2 mal 3 mal 3 mal 25. Die 2 und die 3 sind Primzahlen, aber die 25 kann noch weiter aufgeteilt werden. Da sie auf 5 endet, können wir sie durch 5 teilen und wir erhalten 5. 5 mal 5 ist also 25. Insgesamt haben wir nun also 2 mal 3 mal 3 mal 5 mal 5. Fassen wir die gleichen Werte wieder in Potenzen zusammen, ergibt sich für die Primfaktorzerlegung also 2 mal 3 hoch 2 mal 5 hoch 2. Aller guten Dinge sind drei und deshalb gibt es auch noch ein drittes Beispiel: nämlich 1350. Da 1350 eine gerade Zahl ist, ist sie durch 2 teilbar. 1350 kann also als Produkt von 2 und 675 dargestellt werden. 675 ist durch 5 teilbar und dies ergibt 135. Auch 135 ist durch 5 teilbar und das ist 27. 27 ist Teil der Dreierreihe und daher durch 3 teilbar und die entstandene 9 ist wieder durch 3 teilbar. Es ergibt sich also 2 mal 3 mal 3 mal 3 mal 5 mal 5 und zusammengefasst 2 mal 3 hoch 3 mal 5 hoch 2. Bei der Betrachtung der letzten beiden Primfaktorzerlegungen, fällt Primo etwas auf. Die Primfaktorzerlegung der 1350 enthält ja alle Primfaktoren, die auch in der Zerlegung der 450 sind. Und dies zeigt uns, dass die 450 ein Teiler der 1350 ist. Eine Zahl ist genau dann ein Teiler einer anderen Zahl, wenn alle ihre Primfaktoren auch in der Primfaktorzerlegung der anderen Zahl enthalten sind. Rechnen wir die gemeinsamen Primfaktoren nämlich zusammen, so sehen wir, dass 1350 gerade dreimal 450 ist. Fassen wir zusammen: Man kann jede natürliche Zahl größer 1, die selbst keine Primzahl ist, als Produkt von Primzahlen schreiben. Dieses Produkt heißt die Primfaktorzerlegung der Zahl. Die einzelnen Faktoren heißen Primfaktoren. Gruppiert man die Zahlen und schreibt sie dann als Potenzen, kann man die Anzahl der Faktoren noch besser erkennen. Die Primfaktorzerlegung ist für jede Zahl eindeutig. Mithilfe dieser Methode kann man außerdem herausfinden, ob eine Zahl Teiler einer anderen Zahl ist. Eine Zahl ist nämlich genau dann ein Teiler einer anderen Zahl, wenn alle ihre Primfaktoren in der anderen Zahl vorkommen. Und Primo? Ob er seine Rechnungen wohl für die Nachwelt festgehalten hat?
Primfaktorzerlegung Übung
-
Definiere die Primfaktorzerlegung.
TippsUngerade Zahlen sind nicht durch $2$ teilbar.
Das Ergebnis einer Multiplikation nennt man Produkt; die Zahlen, die multipliziert werden, sind die Faktoren des Produkts.
Die Potenz einer Zahl ist die abkürzende Schreibweise für die mehrfache Multiplikation der Zahl mit sich selbst.
LösungEine Primzahl ist eine Zahl, die genau zwei Teiler hat: die Zahl selbst und die $1$. Diese beiden Teiler sind verschieden, sonst wäre es nur ein Teiler. Die Zahl $1$ ist daher keine Primzahl, denn sie hat nur einen Teiler. Die einzige gerade Primzahl ist $2$, denn $2$ hat genau zwei Teiler. Jede gerade Zahl $> 2$ ist außer durch sich selbst und durch $1$ auch noch durch $2$ teilbar. Sie kann daher keine Primzahl sein.
Die Primfaktorzerlegung bedeutet: Jede natürliche Zahl $>1$ kann man als Produkt von Primzahlen schreiben. Die Faktoren dieser Zerlegung heißen Primfaktoren. Die Primfaktorzerlegung einer Zahl ist eindeutig.
Um die Primfaktorzerlegung einer Zahl zu bestimmen, sucht Primo zuerst Teiler der Zahl, die größer als $1$ sind. Wenn die Teiler selbst nicht weiter teilbar sind, sind sie bereits die gesuchten Primfaktoren.
Dass die Zahl $60$ durch $10$ teilbar ist, erkennst du daran, dass ihre letzte Ziffer $0$ ist. Die Division durch $10$ liefert:
$60 : 10 = 6$.
Rückwärts erhält Primo daraus die Zerlegung
$60 = 6 \cdot 10$.
Diese Faktoren sind aber noch keine Primzahlen, denn sie sind beide gerade und größer als $2$. Primo teilt diese Teiler jeweils durch $2$ und findet:
$60 = 3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2$.
Dies ist die Primfaktorzerlegung der Zahl $60$. Primo ordnet die Primfaktoren nach der Größe und schreibt mehrfach vorkommende Primfaktoren als Potenzen:
$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.
-
Beschreibe die Primfaktorzerlegung.
TippsSchreibe die ersten Primzahlen der Größe nach auf und prüfe die Aussagen daran.
Jede Zahl hat (bis auf die Reihenfolge der Primfaktoren) nur eine Primfaktorzerlegung.
Ein Teiler einer Zahl enthält keine anderen Primfaktoren als die Zahl selbst.
LösungEine Primzahl ist eine Zahl, die genau zwei Teiler hat, nämlich die Zahl selbst und $1$. Jede Zahl $>1$, die nicht selbst eine Primzahl ist, kann man als Produkt von Primzahlen schreiben. Das nennt man Primfaktorzerlegung.
Hier sind die korrekten Sätze:
- „Jede natürliche Zahl $\geq 2$ ... hat eine Primfaktorzerlegung.“ Die Primfaktorzerlegung kannst du ausrechnen, indem du die Zahl durch ihre Teiler dividierst. Sind die Teiler Primzahlen, so hast du die Primfaktorzerlegung gefunden. Andernfalls teilst du die Teiler weiter. Die Zahl $1$ hat keine Primfaktorzerlegung: $1$ kann nicht das Produkt von Primzahlen sein, da jede Primzahl bereits größer als $1$ ist. Der Primfaktor einer Primzahl ist die Primzahl selbst.
- „Die Primfaktorzerlegung ... ist eindeutig.“ Die Primfaktoren sind durch das sukzessive Teilen eindeutig festgelegt.
- „Jeder Primfaktor einer Zahl ... ist ein Teiler der Zahl.“ Ein Primfaktor einer Zahl ist ein Teiler der Zahl und ist eine Primzahl.
- „Keine ungerade Zahl ... enthält den Primfaktor $2$.“ Der Primfaktor $2$ tritt in der Primfaktorzerlegung genau bei den geraden Zahlen auf, denn genau die geraden Zahlen sind durch $2$ teilbar.
-
Erschließe die Teiler.
TippsBestimme die Primfaktorzerlegungen der Zahlen.
Produkte der Faktoren aus der Primfaktorzerlegung einer Zahl sind Teiler der Zahl.
$18 = 2 \cdot 3^2$ ist ein Teiler von $450$, denn die Primfaktorzerlegung von $450$ lautet:
$450 = 45 \cdot 10 = (9 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$.
LösungIndem du die Primfaktorzerlegung der Zahlen bestimmst, kannst du leicht erkennen, welche Produkte von Primzahlen Teiler der Zahlen sein können. Wir berechnen also zuerst die Primfaktorzerlegungen:
- $330 = 10 \cdot 33 = (2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 11) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$
- $420 = 10 \cdot 42 = (2 \cdot 5) \cdot (6 \cdot 7) = 2 \cdot 5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$
- $735 = 5 \cdot 147 = 5 \cdot (3 \cdot 49) = 5 \cdot 3 \cdot (7 \cdot 7) = 3 \cdot 5 \cdot 7^2$
- $945 = 5 \cdot 189 = 5 \cdot (3 \cdot 63) = 5 \cdot 3 \cdot (7 \cdot 9) = 5 \cdot 3 \cdot 7 \cdot (3 \cdot 3) = 3^3 \cdot 5 \cdot 7$
- $594 = 2 \cdot 297 = 2 \cdot (3 \cdot 99) = 2 \cdot 3 \cdot (9 \cdot 11) = 2 \cdot 3 \cdot (3 \cdot 3) \cdot 11 = 2 \cdot 3^3 \cdot 11$
- $5 \cdot 11$ teilt $330$ und keine der anderen Zahlen.
- $2^2 \cdot 7$ ist ein Teiler von $420$, aber kein Teiler der anderen Zahlen.
- $5 \cdot 7^2$ lässt sich aus der Primfaktorzerlegung von $735$ erzeugen, aus den Primfaktorzerlegungen der anderen Zahlen aber nicht.
- $3^3 \cdot 7$ teilt die Zahl $945$, aber keine der anderen Zahlen.
- $3^3 \cdot 11$ ist ein Teiler von $594$ und teilt die anderen Zahlen nicht.
-
Bestimme alle Primfaktoren.
TippsEine Zahl ist durch $10$ teilbar, wenn ihre letzte Ziffer $0$ ist und durch $100$ teilbar, wenn ihre beiden letzten Ziffern $0$ sind.
Ist eine Zahl durch $100$ teilbar, so enthält die Primfaktorzerlegung mindestens die Primzahl-Potenzen $2^2$ und $5^2$.
Die Primfaktorzerlegung von $1080$ lautet:
$1\,080 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5$.
Die Potenzen $2^1$, $2^2$, $3^1$ und $3^2$ sind ebenfalls Teiler von $1080$, sind aber nicht maximal und deshalb nicht die Potenzen aus der Primfaktorzerlegung.
LösungUm die Primfaktoren zu bestimmen, teilst du die Zahlen. Sind die Teiler nicht weiter teilbar, so sind sie Primfaktoren. Andernfalls teilst du die Teiler weiter und findest so nach und nach alle Primfaktoren. Dann schreibst du gleiche Primfaktoren aus Potenzen.
Hier sind die Zerlegungen:
$\begin{array}{ll} 3\,920 &= 392 \cdot 10 \\ &= (2 \cdot 196) \cdot (2 \cdot 5) \\ &= 2 \cdot ( 2 \cdot 98) \cdot 2 \cdot 5 \\ &= 2 \cdot 2 \cdot (2 \cdot 49) \cdot 2 \cdot 5 \\ &= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5 \\ &= 2^4 \cdot 5 \cdot 7^2 & \\ & \\ 45\,000 &= 45 \cdot 1\,000 \\ &= (5 \cdot 9) \cdot (10 \cdot 10 \cdot 10) \\ &= (5 \cdot 3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \\ &= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^4 & \\ & \\ 47\,250 &= 4725 \cdot 10 \\ &= (25 \cdot 189) \cdot (2 \cdot 5) \\ &= (5 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 63) \cdot (2 \cdot 5) \\ &= 5 \cdot 5 \cdot 3 \cdot (7 \cdot 9) \cdot 2 \cdot 5 \\ &= 5 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 7 \cdot (3 \cdot 3) \cdot 2 \cdot 5 \\ &= 2 \cdot 3^3 \cdot 5^3 \cdot 7 & \\ & \\ 64\,800 &= 648 \cdot 100 \\ &= (2 \cdot 324) \cdot (10 \cdot 10) \\ &= 2 \cdot (2 \cdot 162) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \\ &= 2 \cdot 2 \cdot (2 \cdot 81) \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \\ &= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot (9 \cdot 9) \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \\ &= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \\ &= 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \end{array}$
-
Gib die Primfaktorzerlegung an.
TippsTeile zuerst die Zahl $60$ durch $10$ und trage das Ergebnis ein.
Wenn du eine Zahl mit sich selbst multiplizierst, kannst du das Ergebnis als Quadrat schreiben.
Die Primfaktorzerlegung von $20$ lautet:
$20 = 4 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$.
LösungUm die Primfaktorzerlegung einer Zahl zu bestimmen, kannst du erst einen Teiler suchen und die Division ausführen. Die Zahl $60$ ist durch $6$ teilbar und $60:6=10$. Aus der Division erhältst du die Zerlegung $60 = 6 \cdot 10$.
Die Faktoren $6$ und $10$ kannst du nun weiter in Teiler zerlegen und erhältst $6 = 2 \cdot 3$ und $10 = 2 \cdot 5$. Zusammengesetzt ist das:
$60 = 6 \cdot 10 = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5$.
Diese Faktoren sind alle bereits Primzahlen und nicht weiter teilbar. Du kannst sie umsortieren und erhältst:
$2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$.
Nun fasst du die beiden ersten Faktoren zur zweiten Potenz zusammen und erhältst:
$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.
Dies ist die Primfaktorzerlegung der Zahl $60$. Ihre Faktoren dieser Zerlegung heißen Primfaktoren.
-
Analysiere die Aussagen.
TippsAus der Primfaktorzerlegung einer Zahl kannst du die Primfaktorzerlegung ihrer Quadratzahl unmittelbar ablesen.
LösungFolgende Aussagen sind richtig:
- „Das Produkt der einstelligen Primzahlen $+1$ ist wieder eine Primzahl.“ Die einstelligen Primzahlen sind $2$, $3$, $5$ und $7$. Das Produkt dieser Zahlen ist $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$. Die Zahl $210 +1 = 211$ ist eine Primzahl. Um das nachzuprüfen, musst du nur die Primzahlen bis $13$ als mögliche Teiler ausschließen, denn $17 \cdot 17 = 289$ ist bereits größer als $211$.
- „Der größte echte Primfaktor einer Zahl ist nicht größer als die Hälfte der Zahl.“ Andernfalls wäre der Quotient aus der Zahl und ihrem Primfaktor kleiner als $2$.
- „Die Primfaktorzerlegung einer Quadratzahl enthält von jedem Primfaktor eine gerade Anzahl.“ Ist eine Zahl das Quadrat einer anderen, so kannst du für diese andere Zahl die Primfaktorzerlegung bestimmen. Das Quadrat enthält dann jeden dieser Primfaktoren doppelt.
- „Die größte Primzahl erhältst du, indem du alle Primzahlen multiplizierst und dann $1$ dazuzählst.“ Gäbe es nur endlich viele Primzahlen, so könntest du sie alle multiplizieren. Wenn du zu dem Ergebnis $1$ dazuzählst, findest du eine Zahl, die bei Division durch alle diese Primzahlen den Rest $1$ hat. Diese Zahl muss also selber prim sein, und sie ist größer als alle Primzahlen, die du multipliziert hast. Dieses Argument, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, stammt übrigens von Euklid.
- „Zwischen $0$ und $10$ gibt es genauso viele Primzahlen wie zwischen $10$ und $20$. Dasselbe gilt für jeden Zehnerbereich.“ Zwischen $1$ und $10$ liegen die vier Primzahlen $2$, $3$, $5$ und $7$, zwischen $10$ und $20$ die Primzahlen $11$, $13$, $17$ und $19$. Das sind jeweils vier. Aber zwischen $20$ und $30$ liegen nur die beiden Primzahlen $23$ und $29$. Je größer die Zahlen werden, desto weniger Primzahlen gibt es.
- „Eine Quadratzahl ist genau dann eine Primzahl, wenn die Zahl ihrer Primteiler gerade ist.“ Eine Quadratzahl ist niemals eine Primzahl, denn sie ist das Produkt einer natürlichen Zahl mit sich selbst.
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