Streckenlängen in Figuren berechnen – Anwendung in Sachaufgaben

Streckenlängen in Figuren berechnen – Anwendung in Sachaufgaben Übung

• Schildere, wie man überprüfen kann, ob der LKW durch den Tunnel fahren kann.

  Tipps

  Der Satz des Thales besagt, dass jedes Dreieck, das aus den Eckpunkten eines Kreisdurchmessers und einem beliebigen Punkt auf dem Halbkreis gebildet wird, einen rechten Winkel in dem Punkt des Halbkreises hat.

  Verwende einen der Sätze aus der Satzgruppe des Pythagoras:

  Der Satz des Pythagoras ... besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist. In diesem Dreieck $a^2+b^2=c^2$.

  Der Kathetensatz ... besagt, dass das Quadrat einer Kathete gleich ist dem Produkt aus Hypotenuse und angrenzendem Hypotenusenabschnitt. In diesem Dreieck

  • $a^2=c\cdot p$ sowie
  • $b^2=c\cdot q$.

  Der Höhensatz ... besagt, dass das Quadrat der Höhe gleich ist dem Produkt der Hypotenusenabschnitte. Das bedeutet in diesem Dreieck $h^2=p\cdot q$.

  Lösung

  In einem Halbkreis gilt der Satz des Thales: Jedes Dreieck, das aus den Eckpunkten des Kreisdurchmessers und einem beliebigen Punkt auf dem Halbkreis gebildet wird, hat einen rechten Winkel in dem Punkt des Halbkreises.

  Somit erhält man ein rechtwinkliges Dreieck, in welchem die Hypotenusenabschnitte bekannt sind, wie man in der Skizze erkennen kann, und die Höhe gesucht ist.

  Hier wird der Höhensatz verwendet, welcher besagt, dass das Quadrat der Höhe gleich dem Produkt der Hypotenusenabschnitte ist:

  $h^2=8\cdot 2=16$.

  Nun wird die Wurzel gezogen:

  $h=4$.

  Das bedeutet, dass an der niedrigsten Stelle, also am Rand, der Tunnel $4~m$ hoch ist. Da der LKW $3,5~m$ hoch ist und der Sicherheitsabstand $0,3~m$ beträgt, kann der LKW durch den Tunnel durchfahren.

• Berechne die Höhe des Edelsteins.

  Tipps

  Wende zweimal den Satz des Pythagoras an:

  In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.

  Beachte die beiden Rechenregeln für Potenzen:

  • $(a\cdot b)^2=a^2\cdot b^2$ sowie
  • $\left(\frac ab\right)^2=\frac{a^2}{b^2}$.

  Du musst nicht nach $b$ umformen. Da du $b^2$ nochmal benötigst, reicht es auch, nach $b^2$ aufzulösen.

  Lösung

  Das Oktader besteht aus zwei geraden Pyramiden mit quadratischer Grundfläche. Die gesuchte Höhe ist das Doppelte der Höhe von einer der Pyramiden.

  In der Pyramide wird eine Hilfslinie, die Höhe eines Seitendreiecks, $b$ eingezeichnet. Diese Höhe bildet mit der halben Seitenlänge, $\frac a2$, sowie der Hälfte der gesuchten Höhe ein rechtwinkliges Dreieck, dies ist das obere der beiden Dreiecke. In diesem gilt

  $\left(\frac 12h\right)^2+\left(\frac 12 a\right)^2=b^2$.

  In dem unteren Dreieck gilt

  $b^2+\left(\frac 12 a\right)^2=a^2$.

  Diese Gleichung wird nach $b^2$ umgestellt:

  $\begin{align*} b^2+\left(\frac 12 a\right)^2&=a^2\\ b^2+\frac14a^2&=a^2&|&-\frac14a^2\\ &=a^2-\frac14 a^2\\ &=\frac34 a^2. \end{align*}$

  Diese $b^2$ kann in der oberen Gleichung eingesetzt werden zu

  $\left(\frac 12h\right)^2+\left(\frac 12 a\right)^2=\frac34a^2$.

  Diese wird wie folgt nach $h$ aufgelöst:

  $\begin{align*} \left(\frac 12h\right)^2+\left(\frac 12 a\right)^2&=\frac34a^2\\ \frac14h^2+\frac14a^2&=\frac34a^2&|&-\frac14a^2\\ \frac14h^2&=\frac12a^2&|&\cdot 4\\ h^2&=2a^2&|&\sqrt{}\\ h&=\sqrt2\cdot a. \end{align*}$

  Das bekannte $a$ kann nun eingesetzt werden und man erhält

  $h=\sqrt 2\cdot 3~cm\approx 4,3~cm$.

  Das Oktaeder ist somit ungefähr $4,3~cm$ hoch.

• Entscheide, welcher Satz der Satzgruppe des Pythagoras angewendet werden kann.

  Tipps

  Mache dir in jedem Dreieck klar, welche Größen gegeben und welche gesucht sind. Die gesuchten sind mit einem Fragezeichen versehen.

  Es wird jeweils einer der drei oben genannten Sätze verwendet.

  Übertrage das jeweilige Dreieck auf ein Blatt Papier und notiere den ensprechenden Satz.

  Die Grundfigur siehst du oben.

  Du kannst jeweils deine Formel an dem gegebenen Ergebnis, dieses ist auf eine Nachkommastelle gerundet, überprüfen.

  Lösung

  Mit Hilfe der Sätze aus der Satzgruppe des Pythagoras können fehlende Strecken eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet werden.

  Dafür müssen jeweils zwei Größen bekannt sein, um eine dritte, fehlende zu berechnen.

  • In der oberen Skizze sind die beiden Katheten bekannt und gesucht ist die Länge der Hypotenuse. Dies ist die Situation des Satzes von Pythagoras: $c^2=4^2+12^2$. Die rechte Seite kann berechnet werden $4^2+12^2=160$ und dann die Wurzel gezogen werden zu $c=\sqrt{160}\approx 12,6~cm$.
  • In der mittleren Skizze ist die Länge der Hypotenuse bekannt sowie der Hypotenusenabschnitt, welcher an der gesuchten Kathete anliegt. Dies ist die Situation des Kathetensatzes: $b^2=4\cdot 6=24$. Nun kann die Wurzel gezogen werden zu $b=\sqrt{24}\approx 4,9~cm$.
  • In der unteren Skizze sind die beiden Hypotenusenabschnitte bekannt und die Höhe gesucht. Dies ist die Situation des Höhensatzes: $h^2=2\cdot 4=8$. Nun kann die Wurzel gezogen werden zu $h=\sqrt{8}\approx 2,8~cm$.

• Ermittle die jeweilige Höhe der Leiter.

  Tipps

  Fertige dir eine Skizze an.

  Die Höhe des Baumes muss nicht berechnet werden.

  Die Hypotenuse ist die Summe der Hypotenusenabschnitte.

  Der Satz des Pythagoras

  ... besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist. In dem abgebildeten Dreieck

  $a^2+b^2=c^2$.

  Der Kathetensatz

  ... besagt, dass das Quadrat einer Kathete gleich ist dem Produkt aus Hypotenuse und angrenzendem Hypotenusenabschnitt. In dem abgebildeten Dreieck

  • $a^2=c\cdot p$ sowie
  • $b^2=c\cdot q$.

  Der Höhensatz

  ... besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich ist dem Produkt der Hypotenusenabschnitte. Das bedeutet in dem abgebildeten Dreieck

  $h^2=p\cdot q$.

  Lösung

  Diese Skizze stellt die in der Aufgabe beschriebene Situation dar.

  Die Abstände der beiden Leitern zu dem Baum sind die Hypotenusenabschnitte $p=3~cm$ für Lisas und $q=4~m$ für Pauls Leiter. Die Summe dieser Hypotenusenabschnitte ist die Hypotenuse $c=3~m+4~m=7~m$.

  Nun kann der Kathetensatz für jede der beiden Katheten angewendet werden. Dieser besagt, dass das Quadrat einer Kathete gleich dem Produkt von Hypotenuse und angrenzendem Hypotenusenabschnitt ist:

  • $a^2=3\cdot c=3\cdot 7=21$. Durch Ziehen der Wurzel erhält man $a=\sqrt{21}\approx4,6$.
  • $b^2=4\cdot c=4\cdot 7=28$. Durch Ziehen der Wurzel erhält man $a=\sqrt{28}\approx5,3$.

  Das bedeutet, dass Lisas Leiter ungefähr $4,6~m$ und Pauls Leiter ungefähr $5,3~m$ lang ist.

• Beschreibe das allgemeine Vorgehen beim Berechnen von Streckenlängen in Figuren.

  Tipps

  Die Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck heißen Hypotenuse oder Kathete.

  Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusequadrat ist.

  Es ist wichtig, sich bei Textaufgaben klarzumachen, was gegeben ist und was gesucht. Wenn du weißt, was gesucht ist, kannst du dir überlegen, welche Zusammenhänge du kennst, zum Beispiel in rechtwinkligen Dreiecken.

  Lösung

  Die allgemeine Vorgehensweise sieht wie folgt aus:

  1. Man fertigt eine Skizze an und trägt die bekannten und fehlenden Größen ein.
  2. Dann überlegt man sich eine Strategie, wie die gesuchte Größe berechnet werden kann.
  3. Zuletzt wendet man Sätze an, um die gesuchte Größe zu berechnen.

  In einem rechtwinkligen Dreieck verwendet man die Satzgruppe des Pythagoras, um bei gegebenen Seitenlängen fehlende zu berechnen:

  Der Satz des Pythagoras ... besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist. In dem abgebildeten Dreieck $a^2+b^2=c^2$.

  Der Kathetensatz ... besagt, dass das Quadrat einer Kathete gleich ist dem Produkt aus Hypotenuse und angrenzendem Hypotenusenabschnitt. In dem abgebildeten Dreieck

  • $a^2=c\cdot p$ sowie
  • $b^2=c\cdot q$.

  Der Höhensatz ... besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich ist dem Produkt der Hypotenusenabschnitte. Das bedeutet in dem abgebildeten Dreieck $h^2=p\cdot q$.

• Arbeite alle fehlenden Größen heraus.

  Tipps

  Du kannst die gerundeten Werte in die Lücken eintragen, rechne jedoch mit den Quadraten weiter.

  Andernfalls können die Rundungsfehler immer größer werden.

  Die Berechnung des fehlenden Hypotenusenabschnittes erfolgt durch Subtraktion zweier bekannter Größen.

  Verwende die Sätze der Satzgruppe des Pythagoras:

  Der Satz des Pythagoras

  $a^2+b^2=c^2$.

  Der Kathetensatz

  • $a^2=c\cdot p$ sowie
  • $b^2=c\cdot q$.

  Der Höhensatz

  $h^2=p\cdot q$.

  Lösung

  Der Hypotenusenabschnitt ergibt sich durch Subtraktion von $p$ von $c$: $q=12-2=10$.

  Unter Verwendung des Kathetensatzes kann die Länge der Kathete $a$ berechnet werden:

  $a^2=2\cdot 12=24$.

  Durch Ziehen der Wurzel erhält man $a=\sqrt{24}\approx 4,9$.

  Die andere Kathete kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

  $a^2+b^2=c^2$.

  Hier wird nicht der gerundete Wert von $a$, sondern $a^2=24$ eingesetzt:

  $\begin{align*} 24+b^2&=12^2&|&-24\\ b^2&=120&|&\sqrt{~}\\ b&=\sqrt{120}\\ &\approx 11 \end{align*}$

  Zuletzt kann noch die fehlende Höhe berechnet werden, zum Beispiel mit dem Höhensatz:

  $h^2=2\cdot 10=20$.

  Durch Ziehen der Wurzel erhält man $h=\sqrt{20}\approx 4,5$.