Kathetensatz

Kathetensatz Übung

• Bestimme die Terme.

  Tipps

  Je länger eine Kathete ist, desto länger ist auch der zugehörige Hypotenusenabschnitt.

  Den Satz des Pythagoras kannst du mit diesen Bezeichnungen auch wie folgt formulieren:

  $a^2+b^2 = c^2 = c \cdot (p+q)$

  Der Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge $c$ ist:

  $A=c^2$

  Lösung

  Die Höhe der Hypotenuse teilt die Hypotenuse in die beiden Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$. Wir bezeichnen mit $p$ den Hypotenusenabschnitt, der der Kathete $a$ anliegt und $q$ den Hypotenusenabschnitt bei der Kathete $b$. Das Quadrat über der Kathete $a$ hat den Flächeninhalt $a^2$, das Quadrat über der Kathete $b$ den Flächeninhalt $b^2$. Der Kathetensatz besagt, dass der Flächeninhalt des Quadrates über eine Kathete dem Flächeninhalt des Rechteckes aus dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt und der gesamten Hypotenuse entspricht. In Formeln ausgedrückt bedeutet dies:

  $ \begin{array}{rcl} a^2 &=& c \cdot p \\ b^2 &=& c \cdot q \end{array} $

  Im Bild siehst du die korrekt bezeichneten Flächen und die vervollständigten Formeln.

• Beschrifte die Bilder.

  Tipps

  Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist das Produkt der Grundseite mit der Höhe.

  Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt seiner beiden nicht parallelen Seiten.

  Nach dem Kathetensatz ist der Flächeninhalt des Quadrates der Hypotenuse:

  $A=c\cdot(p+q) $

  Lösung

  Diese vier Bilder zeigen verschiedene Flächen, die im Kathetensatz vorkommen. Die Hypotenuse $c$ wird von der Höhe in die zwei Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$ geteilt: $c=p+q$

  Die beiden oberen Bilder zeigen jeweils das Quadrat über einer Kathete und das Rechteck über dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt. Die längere Seite des Rechtecks entspricht der Länge der Hypotenuse. Der Kathetensatz besagt, dass die beiden gezeigten Flächeninhalte übereinstimmen. In Formeln ausgedrückt:

  $a^2 = c \cdot p~$ und $~b^2 =c \cdot q$

  Die beiden Rechtecke der beiden oberen Bilder ergeben zusammen das Quadrat über der Hypotenuse. Damit ergibt sich die folgende Formel:

  $c^2 =c \cdot c= c \cdot (p+q) =c \cdot p + c\cdot q$

  Die unteren beiden Bilder illustrieren die Beweisidee des Kathetensatzes: Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist $A = g \cdot h$. Das Bild unten rechts zeigt ein Parallelogramm mit der Grundseite $g=c$ und der Höhe $h=p$. Die zugehörige Formel für den Flächeninhalt lautet:

  $g \cdot h = c \cdot p$.

  Das Bild unten links zeigt eine Scherung des Parallelogramms aus dem Bild zuvor. Das Parallelogramm hat nach der Scherung denselben Flächeninhalt wie vor der Scherung. Da das Parallelogramm nun ein Quadrat ist, kannst du $g=a$ und $h=a$ wählen. Die passende Formel für den Flächeninhalt lautet in diesem Falle:

  $g \cdot h = a^2$.

• Bestimme den Hypotenusenabschnitt.

  Tipps

  Der Kathetensatz besagt für die Kathete $a$:

  $a^2 = c \cdot p$

  Du kannst die Formel aus dem Kathetensatz nach dem Hypotenusenabschnitt auflösen.

  In einem Dreieck mit $a=15$ und $p=9$ ist

  $c=\frac{a^2}{p} =\frac{225}{9} =25$

  und

  $q=c-p=25-9=16$

  Lösung

  Nach dem Höhensatz gilt für die Kathete $b$ und den zugehörigen Hypotenusenabschnitt $q$ die Formel:

  $b^2 = c \cdot q$

  Da $b$ und $q$ bekannt sind, kannst du die Formel nach $c$ auflösen:

  $c = \frac{b^2}{q}$

  Nun kannst du die vorgegebenen Werte für $b$ und $q$ einsetzen und den Wert für $c$ berechnen:

  $c= \frac{(30~\text m)^2}{15~\text m} = 60~\text m$

  Da die Hypotenuse $c$ die Summe der Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$ ist, erhältst du:

  $p = c-q = 60~\text m - 15~\text m = 45~\text m$

• Erschließe die dazugehörigen geometrischen Größen.

  Tipps

  Nach dem Kathetensatz ist

  $a^2=c \cdot p$

  Für die Hypotenuse gilt:

  $c=p+q$

  In einem Dreieck mit der Kathete $a=15$ und dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt $p=9$ ist $a^2 = 15^2 = 225$. Daher ist $c = \frac{a^2}{p} = \frac{225}{9} = 25$.

  Lösung

  Nach dem Kathetensatz gilt für die Katheten $a$ und $b$ und die zugehörigen Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$:

  $a^2 = c \cdot p~$ und $~b^2 = c \cdot q$

  Für die Hypotenuse und die beiden Hypotenusenabschnitte gelten die beiden Formeln:

  $c=p+q~$ und $~c^2 =c \cdot p + c \cdot q$

  Da die meisten der vorgegebenen Werte ganzzahlige sind, findest du die passenden Zuordnungen, indem du nach Teilern der Quadrate suchst. So ist z. B. $p=9$ ein Teiler von $a^2=144$. Der Quotient $\frac{a^2}{p} =\frac{144}{9} =16 = c$ ist ebenfalls vorgegeben, und der Wert $q=c-p=7$ passt auch dazu.

  So findest du folgende Zuordnungen:

  $a^2 = 144$:

  • $p= 9$
  • $c= 16$
  • $q=7$

  $b^2 = 256$:

  • $q=8$
  • $c=32$
  • $p=24$

  $c^2 = 625$:

  • $c= 25$
  • $p=7,5$
  • $q=17,5$

• Gib die korrekten Definitionen der Begriffe wieder.

  Tipps

  Katheten und Hypotenusen gibt es nur bei rechtwinkligen Dreiecken.

  Der rechte Winkel liegt der Hypotenuse gegenüber.

  Benutze die binomische Formel, um $(a+b)^2$ auszurechnen.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „In einem rechtwinkligen Dreieck heißen die beiden kürzeren Seiten Katheten.“ Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hypotenuse.

  • „Der Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge $a$ ist $a^2$.“ Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt zweier nicht paralleler Seiten: $A = a \cdot b$. Bei einem Quadrat sind diese beiden Seiten gleich, also $a = b$. Daher ist der Flächeninhalt $A = a \cdot b = a \cdot a = a^2$.

  • „Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks stehen aufeinander senkrecht.“ Die Katheten sind diejenigen Seiten, die den rechten Winkel bilden. Daher stehen sie aufeinander senkrecht.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Die Hypotenuse ist die längste Seite eines Dreiecks.“ Katheten und Hypotenusen gibt es nur bei rechtwinkligen Dreiecken. Korrekt wäre die Aussage: Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks.

  • „Der Satz des Pythagoras besagt $(a+b)^2 = c^2$.“ Nach dem Satz des Pythagoras ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse, also $a^2+b^2=c^2$. Beachte, dass das Quadrat der Summe nicht dasselbe ist wie die Summe der Quadrate: Nach der binomischen Formel ist nämlich $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \neq a^2+b^2$.

  • „Eine Höhe in einem Dreieck verläuft durch den Mittelpunkt einer Seite.“ Jede Höhe verläuft von einem Eckpunkt des Dreiecks zur gegenüberliegenden Seite und steht senkrecht auf dieser. Nur in einem gleichschenkligen Dreieck verläuft die Höhe der Basis durch den Mittelpunkt der Basis. Nur in einem gleichseitigen Dreieck verläuft jede Höhe durch den Mittelpunkt einer Seite.

• Prüfe die Aussagen.

  Tipps

  Setze für ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck $a=b$ in die Formeln des Kathetensatzes ein.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Den Kathetensatz kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras und des Höhensatzes beweisen.“ In dem gegebenen Dreieck ist nämlich $a^2+b^2 =c^2 =c\cdot(p+q) $. In dem Dreieck mit Hypotenuse $a$ und Katheten $h$ und $p$ ist dann $a^2 = h^2 +p^2$. Und nach dem Höhensatz ist $h^2=p\cdot q$. Eingesetzt ergibt dies: $b^2 =c^2 - a^2 =(p+q)^2 - (pq+p^2) = q^2 +pq = (q+p) \cdot q = cq$. Die Formel $a^2 = cp$ kannst du ganz analog beweisen.

  • „Die Formel des Pythagoras folgt aus den Formeln des Kathetensatzes für beide Katheten.“ Denn $a^2 + b^2 = c \cdot p + c\cdot q=c \cdot (p+q) = c^2$.

  • „In einem rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreieck folgt aus dem Kathetensatz und dem Satz des Pythagoras: $c^2 = 2 \cdot c \cdot p$.“ Denn in einem rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreieck gilt für die Katheten $a =b$. Nach dem Kathetensatz ist dann $c \cdot p = a^2 = b^2 = c \cdot q$. Zusammen mit dem Satz des Pythagoras folgt daraus: $c^2 = a^2+b^2 = 2 \cdot c \cdot p$.

  • „In einem rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreieck besagt der Kathetensatz: $a^2 = \frac{c}{2} \cdot c$.“ Aus $a =b$ folgt auch $p=q$, denn die beiden Teildreiecke sind ähnlich und haben die beiden Seiten $a$ bzw. $b$ sowie $h$ gemeinsam. Daher ist $c = p+q = 2p$ und daher $p=q=\frac{c}{2}$. Daher ist nach dem Kathetensatz $a^2 * c \cdot p = c \cdot \frac{p}{2}$. Die Formel folgt aber auch direkt aus dem Satz des Pythagoras. Denn mit $a=b$ ist $a^2=b^2$, also $c^2=2a^2$ und $a^2 = \frac{c^2}{2}$.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Aus dem Kathetensatz und dem Satz des Pythagoras folgt: $p^2+q^2 = c\cdot p+ c \cdot q$.“ Nach dem Kathetensatz ist $a^2 = c\cdot p$ und $b^2=c\cdot q$. Nach dem Satz des Pythagoras gilt dann: $c^2 =a^2 + b^2=c\cdot p+c\cdot q$. Außerdem gilt: $c^2 = (p+q)^2 = p^2 +2pq +q^2$, wobei im zweiten Schritt die erste binomische Formel angewendet wurde. Zusammengefasst ergibt sich: $c\cdot p+c\cdot q= p^2 +2pq +q^2$. Das stimmt aber nicht mit der behaupteten Formel überein.

  • „Gilt für die Katheten $a = 2b$, so gilt nach dem Kathetensatz: $a^2 = c \cdot p = c \cdot (2q) = 2 \cdot c \cdot q = 2 \cdot b^2$.“ Aus $a=2b$ folgt nicht $p=2q$. Die beiden Teildreiecke und das gesamte Dreieck sind ähnlich zueinander, da sie jeweils die gleichen Winkel haben. In den beiden Teildreiecken sind $a$ und $b$ die Hypotenusen. Ist $a$ doppelt so lang wie $b$, so müssen auch die Katheten $p$ und $h$ doppelt so lang sein wie die Katheten $h$ und $q$. Das geht nur, wenn $p=2h$ und $h=2q$ ist. Denn aus $p=2q$ würde ja für die jeweils verbleibenden Katheten $h=2h$ folgen, was offensichtlich falsch ist.