Streckenlängen in Figuren berechnen

Hallo und herzlich willkommen! Mein Name ist Jonathan und ich nehme dich heute mit in die wunderbare Welt der Mathematik. Vielleicht kommt dir diese Aufgabe bekannt vor: Bestimme die Raumdiagonale eines Würfels mit einer Seitenlänge von 10 Zentimetern. Oder auch diese: Die Grundfläche einer Pyramide hat die Seitenlänge a. Die Entfernung von der Spitze zu einer Ecke der Grundfläche hat die Länge b. Wie hoch ist die Pyramide. Bei diesen und vielen anderen Textaufgaben geht es darum, Streckenlängen in Figuren zu berechnen. Ich möchte dir heute zeigen, wie du dabei vorgehen kannst. Ich gebe dir gleich eine kurze Übersicht über die Satzgruppe des Pythagoras. Diese beinhaltet drei wichtige Sätze über rechtwinklige Dreiecke. Sie solltest du schon kennen und auch anwenden können. Anschließend werde ich dir an einem Beispiel die Vorgehensweise beim Berechnen von Strecken in Figuren verdeutlichen. Am Ende werden wir das Gelernte zusammenfassen. Fangen wir also mit der Übersicht über die Satzgruppe des Pythagoras an. Die folgenden Sätze gelten in jedem rechtwinkligen Dreieck. Die Seiten a und b sind die Katheten und die Seite c ist die Hypotenuse. Die Höhe h, die senkrecht auf der Hypotenuse steht, teilt diese in die beiden Hypotenusenabschnitte p und q. Der Satz des Pythagoras besagt: Das Quadrat der Hypotenuse entspricht der Summe der beiden Kathetenquadrate. Mit der Beschriftung, die ich gewählt habe, gilt also, c²=a²+b². Laut Kathetensatz gilt für jede der beiden Katheten: Das Quadrat der Kathete ist gleich dem Produkt aus der Hypotenuse und dem an die Kathete grenzenden Hypotenusenabschnitt. Für dieses Dreieck bedeutet dies a²=c×p und b²=c×q. Der Höhensatz lautet: Das Quadrat der Höhe entspricht genau dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte. Auf dieses Dreieck angewendet lautet die Formel h²=p×q. Kommen wir nun zur Vorgehensweise bei der Berechnung von Strecken in Figuren. Es sind drei Schritte, die du durchführen kannst. Als Erstes machst du dir eine Skizze, in der du die Strecken, die bekannt sind und die, die du suchst, einzeichnest. Danach musst du eine Strategie entwickeln, wie du die gesuchte Strecke bestimmen kannst. In Figuren, wie zum Beispiel der Pyramide, dem Würfel oder dem Kegel, suchst du rechtwinklige Dreiecke, mit deren Hilfe du die Unbekannten bestimmen kannst. Im letzten Schritt musst du die Sätze über rechtwinklige Dreiecke richtig anwenden, um die gesuchte Strecke bestimmen zu können. Wir wollen diese drei Schritte nun an einem Beispiel üben. Lisa verbringt ihren Sommerurlaub in Ägypten. An einem sonnigen Tag macht sie einen Ausflug zu den Pyramiden von Gizeh. Sie hat gehört, dass die Cheops-Pyramide, eine der Pyramiden von Giseh, die höchste Pyramide der Welt ist. Sie möchte gerne wissen, wie hoch diese ist, aber sie kann ja nicht einfach von der Spitze bis zur Mitte der Pyramide messen, da sie nicht in die Pyramide hineinkommt. Aber Lisa weiß sich zu helfen. Sie besorgt sich ein sehr langes Maßband und misst zunächst eine Seite der quadratischen Grundfläche, diese ist 230 Meter lang. Dann geht sie zu einer Ecke der Pyramide und läuft die Strecke vom dort bis zur Spitze. Diese Seitenkante mißt eine Länge von 214 Metern. Lisa weiß, dass diese Angaben reichen, damit sie sich die Höhe der Cheops-Pyramide ausrechnen kann und macht sich ans Werk. Kannst du ihr bei der Berechnung helfen? Als Erstes fertigen wir eine Skizze von der Pyramide an. Die Cheops-Pyramide ist eine gerade quadratische Pyramide, das heißt, dass die Höhe von der Spitze genau senkrecht auf der quadratischen Grundfläche steht. Die Höhe berührt diese genau im Mittelpunkt. Die Grundseite ist 230 Meter lang, ich nenne sie a. Die Seitenkante nenne ich s, sie ist 214 Meter lang. Wir wollen die Höhe h in Metern ausrechnen. Damit haben wir unsere Skizze mit den bekannten Strecken a und s und der gesuchten Strecke h. Jetzt müssen wir uns überlegen, wie wir die Länge von h berechnen können. Wenn ich diese Ecke mit dem Mittelpunkt des Quadrats verbinde, entsteht hier ein rechtwinkliges Dreieck, weil die Höhe senkrecht auf der Grundfläche steht. Ich nenne diese Strecke d. Wir könnten h also mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen, wenn wir die Strecke d kennen würden. Wie können wir die Länge von d ausrechen? Ich zeichne eine Strecke von dem Mittelpunkt des Quadrats zur vorderen Grundseite ein, die parallel zu den seitlichen Grundseiten ist. Da die Grundfläche ein Quadrat ist, entsteht wieder ein rechtwinkliges Dreieck. Weil die Höhe über den Mittelpunkt der Grundfläche steht, entsprechen sowohl diese, als auch diese Seite, genau der Hälfte der Grundseite a. Wir kennen also die Längen dieser beiden Seiten und können d mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen. Wir können diesen nun anwenden und so die Höhe der Cheops-Pyramide ausrechnen. Für dieses rechtwinklige Dreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras s²=h2+d². Den Wert für d² kennen wir nicht, können ihn aber mit Hilfe dieses rechtwinkligen Dreiecks berechnen. Wir wenden wieder den Satz des Pythagoras an. d²=(a/2)²+(a/2)². (a/2)²+(a/2)² ist 2×(a/2)². (a/2)² können wir auch schreiben als a²/2², also a²/4 . Wir können 2 kürzen und das ergibt d² = a²/2. In der ersten Formel können wir den Term d² nun also ersetzen durch a²/2. Wir stellen nach h² um, indem wir auf beiden Seiten a²/2 subtrahieren. Nun ziehen wir noch die Wurzel, dann haben wir eine Formel für h gefunden, in der nur die bekannten Strecken a und s vorkommen. h = √(s² - a²/2). In die Formel setze wir für die Seitenkante s 214 Meter und für die Grundseite a 230 Meter ein. Den Term unter der Wurzel rechnen wir aus. (214m)² - (230m)²/2 ergibt 19346 m². Wir ziehen die Wurzel und das Ergebnis ist rund 139 Meter. Die Cheops-Pyramide ist also ungefähr 139 Meter hoch. Lisa freut sich, dass sie die Höhe der Cheops-Pyramide nur mit Hilfe von rechtwinkligen Dreiecken ausrechnen konnte und dass du ihr dabei geholfen hast. Ich fasse die Vorgehensweise beim Berechnen von Streckenlängen in Figuren zusammen. Als Erstes machst du dir eine Skizze mit allen bekannten und gesuchten Streckenlängen. Dann überlegst du dir, wie du vorgehen musst, um die gesuchten Strecken zu bestimmen. Anschließend musst du die Sätze über rechtwinklige Dreiecke anwenden, um die gesuchten Strecken zu bestimmen. Damit sind wir am Ende dieses Videos. Ich hoffe, es hat dir geholfen und du weißt jetzt, wie man Streckenlängen in Figuren berechnen kann. Mein Name ist Jonathan. Hoffentlich sehen wir uns bald wieder. Bis dahin wünsche ich dir viel Freude an der Mathematik.