Prozentzahlen in Brüche umwandeln

Prozentzahlen in Brüche umwandeln Übung

• Beschreibe, wie du von einer Prozentzahl zu einem gemeinen Bruch kommst.

  Tipps

  Eine Dezimalzahl wird auch als Kommazahl bezeichnet.

  Ein Dezimalbruch ist ein spezieller Bruch. Bei diesem steht eine Zehnerpotenz (also $10$, $100$, $1000$, ...) im Nenner.

  • Erweitern bedeutet, in einem Bruch den Zähler und den Nenner mit der gleichen Zahl zu multiplizieren.
  • Kürzen bedeutet, in einem Bruch den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl zu dividieren.

  Lösung

  Die Prozentzahl $80~\%$ soll in einen gemeinen Bruch umgewandelt werden.

  1. Dividiere die Prozentzahl durch $100$. Alternativ kannst du das Komma um zwei Stellen nach links verschieben. So erhältst du die Dezimalzahl $0,8$.
  2. Durch Erweitern mit $10$ kannst du die Dezimalzahl als Dezimalbruch schreiben. Dieser lautet $\frac8{10}$. Das Besondere an einem Dezimalbruch ist, dass im Nenner eine Zehnerpotenz (also $10$, $100$, $1000$, ...) steht.
  3. Schließlich kannst du noch durch $2$ kürzen. Du erhältst $\frac{8}{10}=\frac{8:2}{10:2}=\frac45$. Dies ist der gesuchte gemeine Bruch.

• Bestimme den gemeinen Bruch der gegebenen Prozentzahl.

  Tipps

  Statt durch $100$ zu dividieren, kannst du auch das Komma um zwei Stellen nach links verschieben.

  Schaue dir die Abfolge für ein anderes Beispiel an:

  $75~\%~\rightarrow~0,75~\rightarrow~\frac{75}{100}~\rightarrow~\frac34$

  Lösung

  Hier siehst du das Vorgehen, wie du eine Prozentzahl in einen gemeinen Bruch umwandeln kannst:

  1. Prozentzahl $\rightarrow$ Dezimalzahl – Dividiere durch $100$ oder verschiebe das Komma um zwei Stellen nach links.
  2. Dezimalzahl $\rightarrow$ Dezimalbruch – Erweitere mit einer Zehnerpotenz ($10$, $100$, ...) so, dass das Komma nicht mehr benötigt wird.
  3. Dezimalbruch $\rightarrow$ gemeiner Bruch – Kürze soweit wie möglich.

  Das bedeutet für unser Beispiel mit der Prozentzahl $54~\%$:

  1. Verschiebe das Komma um zwei Stellen nach links. So erhältst du die Dezimalzahl $0,54$.
  2. Da die Dezimalzahl zwei Nachkommastellen hat, musst du mit $100$ erweitern. Dies führt zu dem Dezimalbruch $\frac{54}{100}$.
  3. Da sowohl im Zähler als auch im Nenner der Faktor $2$ vorkommt, kannst du durch diesen kürzen. Du erhältst $\frac{54}{100}=\frac{54:2}{100:2}=\frac{27}{50}$.

• Ordne die Prozentzahl dem gemeinen Bruch zu.

  Tipps

  Hier siehst du das Vorgehen, um eine Prozentzahl schrittweise in einen gemeinen Bruch umzuwandeln:

  1. Prozentzahl $\rightarrow$ Dezimalzahl – Dividiere durch $100$ oder verschiebe das Komma um zwei Stellen nach links.
  2. Dezimalzahl $\rightarrow$ Dezimalbruch – Erweitere mit einer Zehnerpotenz ($10$, $100$, ...), sodass kein Komma mehr benötigt wird.
  3. Dezimalbruch $\rightarrow$ gemeiner Bruch – Kürze soweit wie möglich.

  Schau dir ein Beispiel an:

  $40~\%~\rightarrow~0,4~\rightarrow~\frac4{10}~\rightarrow~\frac25$

  Da „Prozent“ „von Hundert“ heißt, kannst du auch direkt so vorgehen:

  $45~\%=\frac{45}{100}=\frac{45:5}{100:5}=\frac9{20}$

  Lösung

  Wenn du eine Prozentzahl als gemeinen Bruch schreiben willst, gehst du wie folgt vor:

  1. Prozentzahl $\rightarrow$ Dezimalzahl – Dividiere durch $100$ oder verschiebe das Komma um zwei Stellen nach links.
  2. Dezimalzahl $\rightarrow$ Dezimalbruch – Erweitere mit einer Zehnerpotenz ($10$, $100$, ...), sodass kein Komma mehr benötigt wird.
  3. Dezimalbruch $\rightarrow$ gemeiner Bruch – Kürze soweit wie möglich.

  Hier siehst du die Lösungen der Aufgaben:

  • $10~\%=0,1=\frac1{10}$
  • $25~\%=0,25=\frac{25}{100}=\frac{25:25}{100:25}=\frac14$
  • $30~\%=0,3=\frac3{10}$
  • $50~\%=0,5=\frac5{10}=\frac{5:5}{10:5}=\frac12$
  • $60~\%=0,5=\frac6{10}=\frac{6:2}{10:2}=\frac35$
  • $75~\%=0,75=\frac{75}{100}=\frac{75:25}{100:25}=\frac34$

• Ermittle zu der jeweils gegebenen Zahl die entsprechende Darstellung.

  Tipps

  Von einer Prozentzahl kommst du zu einer Dezimalzahl durch Verschieben des Kommas um zwei Stellen nach links. Beispielsweise gilt $55~\%=0,55$.

  Von einer Dezimalzahl kommst du zu einer Prozentzahl durch Verschieben des Kommas um zwei Stellen nach rechts. Es gilt beispielsweise $0,55=55~\%$.

  Schau dir das Beispiel an, um zu sehen, wie man eine Dezimalzahl in einen Dezimalbruch umwandeln kann:

  $0,45=\frac{45}{100}$

  Dabei steht im Nenner $10^2 = 100$, da du $2$ Nachkommastellen bei der Dezimalzahl hast.

  Lösung

  Je nach Aufgabenstellung ist es wichtig, von der einen Darstellung in die andere umzurechnen.

  Von der Prozentzahl zum gemeinen Bruch

  $35~\%=\frac{35}{100}=\frac{35:5}{100:5}=\frac7{20}$

  Von der Dezimalzahl zur Prozentzahl

  $0,69=\frac{69}{100}=69~\%$

  Vom gemeinen Bruch zur Prozentzahl

  $\frac75=\frac{7\cdot 20}{5\cdot 20}=\frac{140}{100}=140~\%$

  Vom gemeinen Bruch zur Dezimalzahl

  $\frac52=5:2=2$ Rest $1$. Da $\frac12=0,5$ ist, erhältst du als Ergebnis $2,5$.

• Gib die Eigenschaften der verschiedenen Arten von Brüchen an.

  Tipps

  Ein echter Bruch ist ein gemeiner Bruch, bei dem der Zähler kleiner ist als der Nenner.

  Zum Beispiel ist $294~\%=2,94$.

  Du kannst $2,94$ als Dezimalbruch schreiben. Du erhältst:

  $\frac{294}{100}$

  Es ist $294:100=2$ Rest $94$.

  Lösung

  Im Folgenden gehen wir die Aussagen schrittweise durch und klären, weshalb sie korrekt bzw. falsch sind:

  Aussage 1: „Wenn du als Ergebnis einer Rechnung einen Dezimalbruch erhältst, solltest du diesen, wenn möglich, kürzen.“

  Diese Aussage ist korrekt. Grundsätzlich gilt für Brüche als Ergebnis, dass du diese maximal kürzen solltest. Der Dezimalbruch $\frac{2}{10}$ lässt sich bspw. zu $\frac15$ kürzen. Aber du kannst nicht jeden Dezimalbruch kürzen. Schau dir z.B. den Dezimalbruch $\frac3{10}$ an. Diesen kannst du als Ergebnis stehen lassen, da er sich nicht kürzen lässt.

  Aussage 2: „Ein gemischter Bruch besteht aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch.“

  Auch diese Aussage ist richtig. Ein gemischter Bruch ist zum Beispiel $1\frac{1}{2}$. Hier ist $1$ die ganze Zahl und $\frac{1}{2}$ der echte Bruch.

  Aussage 3: „Ein gemischter Bruch ist ein gemeiner Bruch, bei dem im Zähler eine Dezimalzahl steht.“

  In Aussage 2 wird geklärt, was ein gemischter Bruch ist. Diese Aussage hier widerspricht dieser und kann somit nicht richtig sein.

  Aussage 4: „Ein unechter Bruch ist ein Bruch, in dem der Zähler größer ist als der Nenner. Du kannst einen unechten Bruch als gemischten Bruch schreiben.“

  Diese Aussage ist richtig. Ein unechter Bruch ist bspw. $\frac{30}{11}$. Da die $11$ zweimal in die $30$ passt und dann noch $\frac{8}{11}$ „übrig bleibt“, ergibt sich der gemischte Bruch $2\frac{8}{11}$.

  Aussage 5: „Du kannst Prozentzahlen größer als $100$ nicht als gemeinen Bruch schreiben.“

  Diese Aussage ist falsch. Die Prozentzahl $150~\%$ lässt sich bspw. als $\frac{150}{100}$ oder $\frac{3}{2}$ schreiben. Beide Brüche sind gemeine Brüche.

• Erkläre, wie Prozentzahlen, Dezimalzahlen und gemeine Brüche addiert werden können.

  Tipps

  Kürzen bedeutet, den Zähler und den Nenner eines Bruches durch die gleiche Zahl zu teilen.

  Hier siehst du, wie du einen unechten Bruch als gemischten Bruch schreiben kannst:

  • $\frac52 = 5:2=2$ Rest $1$,
  • Also ist $5:2=2\frac12$.

  Lösung

  Wenn du verschiedene Zahlen addieren (oder auch subtrahieren) willst, ist es oft sinnvoll, wenn sie in der gleichen Form vorliegen. Ist dies nicht der Fall, solltest du die Umwandlung selbst vornehmen.

  Bei der Addition $2,4+80~\%+\frac34$ sollst du zuerst alle Summanden als Dezimalzahl schreiben:

  • $2,4$ ist bereits eine Dezimalzahl.
  • Es gilt $80~\%=0,8$.
  • Außerdem gilt $\frac34=\frac{3\cdot 25}{4\cdot 25}=\frac{75}{100}=0,75$.

  Nun kannst du addieren. Du rechnest $2,4+0,8+0,75=3,95$.

  Diese Dezimalzahl kannst du nun als Dezimalbruch schreiben:

  $3,95=\frac{395}{100}$

  Da sowohl im Zähler als auch im Nenner der Faktor $5$ vorkommt, kannst du diesen kürzen:

  $\frac{395}{100}=\frac{395:5}{100:5}=\frac{79}{20}$

  Zuletzt kannst du diesen unechten Bruch noch als gemischten Bruch schreiben:

  • Es gilt $79:20=3$ Rest $19$.
  • Damit ist $\frac{79}{20}=3\frac{19}{20}$.