Dezimalbrüche in Brüche umwandeln

Dezimalbrüche in Brüche umwandeln Übung

• Beschreibe, wie man Dezimalbrüche in Brüche umwandelt.

  Tipps

  Zum Beispiel wird $0{,}7$ in $\frac{7}{10}$ umgewandelt. $0{,}7$ hat eine Nachkommastelle, also wird eine $10$ in den Nenner und die $7$ in den Zähler geschrieben.

  Beispiel: $0{,}75$

  Wir tragen die Zahl in die Stellenwerttafel ein:

  $\begin{array}{l|c|c|c} \text{Z} & \text{E} & \text{z} & \text{h} \\ \hline & 0 & 7 & 5 \\ \end{array}$

  Die kleinste Stelle in der Stellenwerttafel sind Hundertstel. Wir schreiben daher in den Nenner eine $100$:

  $0{,}75 = \frac{75}{100}= \frac{75~:~25}{100~:~25} = \frac{3}{4} $

  Lösung

  Umwandeln von Dezimalbrüchen:

  Wenn wir einen Dezimalbruch als Bruch angeben möchten, müssen wir bestimmen, wie viele Nachkommastellen diese Zahl hat.

  Zum Beispiel hat $0{,}75$ zwei Nachkommastellen. Entsprechend viele Nullen hängen wir an die $1$ im Nenner des Bruches.

  In unserem Beispiel wären das zwei Nullen, also $100$ im Nenner.

  Wenn du hier unsicher bist, kannst du auch die Stellenwerttafel zuhilfe nehmen.

  $\begin{array}{l|c|c|c} \text{Z} & \text{E} & \text{z} & \text{h} \\ \hline & 0 & 7 & 5 \\ \end{array}$

  Der Nenner leitet sich aus der kleinsten Stelle in der Stellenwerttafel ab, hier – Hundertstel.

  Dann schreiben wir die Zahl ohne Komma in den Zähler. Anschließend können wir noch kürzen.

  $0{,}75 =\frac{75}{100} = \frac{75~:~25}{100~:~25} = \frac{3}{4}$

  Bei Zahlen größer als $1$ können wir auch die Vorkommastellen als ganze Zahlen einfach übernehmen. Dann werden die Nachkommastellen in einen Bruch umgewandelt:

  $22{,}45 = 22 \frac{45}{100} = 22 \frac{45~:~5}{100~:~5} = 22 \frac{9}{20}$

• Bestimme die zugehörigen Brüche.

  Tipps

  Beispiel: $1{,}6$
  Dieser Dezimalbruch hat eine Nachkommastelle, daher steht $10$ im Nenner. Die Zahl ohne Komma (also $16$) wird in den Zähler übernommen:
  $1{,}6 = \frac{16 }{10 }= \frac{16~:~2}{10~:~2} = \frac{8}{5} $

  Ein häufiger Fehler ist, dass die Zahl vor dem Komma in den Zähler und die Zahl nach dem Komma in den Nenner geschrieben wird. Das ist falsch!

  Lösung

  Dezimalzahlen, welche größer als $1$ sind, können wir in einen gemischten Bruch oder in einen unechten Bruch umwandeln:

  Wie wandeln wir Dezimalzahlen in gemischte Brüche um?

  Wir betrachten das Beispiel $7{,}35$. Die $7$ können wir direkt übernehmen. Dann müssen wir nur noch schauen, welchen Nenner wir verwenden müssen, um die Nachkommastellen darzustellen. In diesem Fall sind es Hundertstel, da wir $2$ Nachkommastellen haben. Jetzt müssen wir die Nachkommastellen nur noch in den Zähler schreiben. Zum Schluss kürzen wir falls möglich:

  Beispiel: $ 7{,}35 = 7\frac{35}{100} = 7\frac{35~:~5}{100~:~5} = 7\frac{7}{20} $

  Wie wandeln wir Dezimalzahlen in unechte Brüche um?

  Wir schreiben die Zahl einfach ohne Komma in den Zähler des Bruches. In den Nenner müssen wir dann nur noch eine $1$ schreiben und anschließend wieder so viele Nullen anhängen, wie wir Stellen hinter dem Komma des Dezimalbruches haben. Zum Schluss kürzen wir wieder falls möglich:

  Beispiel: $ 33{,}46 =\frac{3\,346}{100}= \frac{3\,346~:~2}{100~:~2} = \frac{1\,673}{50} = 33\frac{23}{50}$

  Damit ergeben sich folgende Lösungen:

  • $ 0{,}44 = \frac{44}{100} = \frac{44~:~4}{100~:~4} = \frac{11}{25} $
  • $ 0{,}7 = \frac{7}{10} $
  • $ 40{,}54 = \frac{4\,045}{100} = \frac{4\,054~:~2}{100~:~2} = \frac{2\,027}{50} = 40\frac{27}{50}$
  • $ 3{,}3 = \frac{33}{10} = 3\frac{3}{10} $

• Entscheide, ob richtig umgerechnet wurde.

  Tipps

  Überprüfe zunächst die Nachkommastellen und stelle sicher, dass auch nur so viele Nullen hinter der $1$ im Nenner stehen.

  Dann überprüfe im zweiten Schritt, ob die Zahlen im Zähler richtig übernommen wurden. Wurde bereits gekürzt?

  Lösung

  Bei dieser Aufgabe musst du überprüfen, ob richtig gerechnet wurde. Eine gute Strategie ist es, bei Brüchen mit dem Nenner $10$, $100$, $1\,000$ etc. die Anzahl der Nachkommastellen zu prüfen. Bei einige Aufgaben wurde bereits gekürzt. Dies erkennst du daran, dass der Nenner nicht $10$, $100$, $1\,000$ etc. beträgt.

  Diese Rechnungen sind korrekt:

  $ 0{,}006 = \frac{6}{1\,000} = \frac{3}{500} $
  $ \mapsto $ Der Dezimalbruch hat $3$ Nachkommastellen, also kommt die $1\,000$ in den Nenner und die Zahl $6$ in den Zähler. Es wird durch $2$ gekürzt.

  $ 71{,}6542 = \frac{716\,542}{10\,000} = \frac{358\,271}{5\,000} $
  $ \mapsto $ Der Dezimalbruch hat $4$ Nachkommastellen, also kommt die $10\,000$ in den Nenner und die Zahl $716\,542$ ohne Komma in den Zähler.

  $ 105{,}00 = \frac{10\,500}{100} = \frac{105}{1} $
  $ \mapsto $ Das hier ist ein Sonderfall, da zwar zwei Nachkommastellen angegeben sind, diese aber $0$ sind. Du kannst hier mit $100$ kürzen und erhältst so die $1$ im Nenner. Alternativ können die Nullen nach dem Komma auch weggelassen werden und wir schreiben direkt die $1$ in den Nenner.

  Diese Rechnungen sind nicht korrekt:

  $ 15{,}65 = \frac{1\,565}{1\,000} $
  $ \mapsto $ Da dieser Dezimalbruch zwei Nachkommastellen hat, steht $100$ im Nenner und nicht $1\,000$.
  Richtig ist: $ 15{,}65 = \frac{1\,565}{100} = \frac{313}{20}$

  $ 27{,}1 = 271\frac{1}{10} $
  $ \mapsto $ Die $1$ gehört nicht zur ganzen Zahl, sondern nur in den Zähler.
  Richtig ist: $ 27{,}1 = 27\frac{1}{10} $

  $ 1{,}44 = \frac{144}{10} $
  $ \mapsto $ Hier wurde der Nenner falsch gewählt. Da der Dezimalbruch zwei Nachkommastellen hat, muss $100$ im Nenner stehen.
  Richtig ist: $ 1{,}44 = \frac{144}{100} = \frac{36}{25}$

• Stelle die Zahlen als vollständig gekürzte Brüche dar.

  Tipps

  Um Dezimalzahlen in unechte Brüche umzuwandeln, schreiben wir die Zahl ohne Komma in den Zähler. In den Nenner kommt eine $10$er Potenz, das heißt eine $1$ mit so vielen Nullen, wie es Nachkommastellen gibt. Anschließend überprüfen wir noch, ob wir den so erhaltenen Bruch noch kürzen können.

  Beispiel: $7{,}25=7\frac{25}{100}=7\frac{1}{4}$.

  In dieser Aufgabe ist es wichtig, darauf zu achten, dass vollständig gekürzt ist.
  Hinweis: Hier kann man nur mit $2$ und $5$ und Vielfachen dieser beiden Zahlen kürzen.

  Zum Beispiel: $ 14{,}2 = 14\frac{2 }{10 } = 14\frac{2~:~2}{10~:~2} = 14\frac{1}{5} $

  Lösung

  Wenn wir einen Dezimalbruch als Bruch angeben möchten, müssen wir bestimmen, wie viele Nachkommastellen diese Zahl hat.

  Zum Beispiel hat $2{,}58$ zwei Nachkommastellen.

  Entsprechend viele Nullen hängen wir an die $1$ im Nenner des Bruches.

  In unserem Beispiel schreibt man $100$ in den Nenner.

  Einen Dezimalbruch größer als $1$ können wir als unechten oder als gemischten Bruch schreiben:

  unechter Bruch:
  Um Dezimalzahlen in unechte Brüche umzuwandeln, schreiben wir die Zahl ohne Komma in den Zähler und verwenden den oben ermittelten Nenner. Anschließend überprüfen wir noch, ob wir den so erhaltenen Bruch noch kürzen können.

  Beispiel: $ 2{,}58 = \frac{258}{100} = \frac{129}{50}$

  gemischter Bruch:
  Um Dezimalzahlen in gemischte Brüche umzuwandeln, lässt man die Ziffern vor dem Komma stehen und nimmt die Ziffern hinter dem Komma als Zähler. Im Nenner wird wieder die oben ermittelte $10$er-Potenz verwendet. Auch hier müssen wir anschließend noch überprüfen, ob gekürzt werden kann.

  Beispiel: $ 2{,}58 = 2\frac{58}{100}=2\frac{29}{50}$

  Lösungen der Aufgabe

  • $ 55{,}125 = 55\frac{125 }{1\,000 } = 55\frac{125~:~125}{1\,000~:~125} = 55\frac{1}{8}$

  • $ 2{,}3 = \frac{23}{10} $

  • $ 16{,}48 = \frac{1\,648 }{100 } = \frac{1\,648~:~4}{100~:~4} = \frac{412}{25} $

  • $ 0{,}7845 = \frac{7\,845 }{10\,000 } = \frac{7\,845~:~5}{10000~:~5} = \frac{1\,569}{2\,000} $

• Gib die zugehörigen Brüche an.

  Tipps

  Bei der Zahl $0{,}3$ steht die Ziffer $3$ an der Zehntel-Stelle, daher wandeln wir um:
  $0{,}3 = \frac{3}{10} $

  Auf Flaschen mit einem halben Liter Inhalt steht häufig die Aufschrift $0{,}5~\ell$.

  Lösung

  Damit du nicht ständig rechnen musst, kannst du dir einige einfache Umrechnungen merken. Dies ist sehr praktisch, da du mit ihnen auch andere Brüche schneller umrechnen kannst.

  Wenn du sie aber umrechnen möchtest, prüfst du erst die Nachkommastellen. Zum Beispiel hat $0{,}4$ eine Nachkommastelle, also steht eine $1$ mit einer Null, also eine $10$ im Nenner. Die Zahl ohne Komma (also eine $4$) wird in den Zähler übernommen. Kürze zum Schluss, wenn möglich.

  $0{,}4 = \frac{4~:~2}{10~:~2} = \frac{2}{5}$

  Diese Dezimalbrüche gehören zu folgenden Brüchen:

  $ 0{,}5 = \frac{5}{10} = \frac{5~:~5}{10~:~5} = \frac{1}{2} $

  $ 0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{25~:~25}{100~:~25} = \frac{1}{4} $

  $ 0{,}75 = \frac{75}{100} = \frac{75~:~25}{100~:~25} = \frac{3}{4} $

  $ 0{,}2 = \frac{2}{10} = \frac{2~:~2}{10~:~2} = \frac{1}{5} $

  $ 0{,}1 = \frac{1}{10} $

• Ermittle alle Dezimalbrüche, die als Bruch gekürzt werden können.

  Tipps

  Gerade Zahlen sind immer durch $2$ teilbar. Zahlen, die hinten eine $0$ oder $5$ haben, sind auch durch $5$ teilbar.
  Beispiel: $11{,}35=11\frac{35}{100}=11\frac{35~:~5}{100~:~5}=11\frac{7}{20}$

  Diesen Bruch kann man nicht kürzen:
  Beispiel: $11{,}49=\frac{1\,149}{100}$, da $1\,149$ und $100$ keine gemeinsamen Teiler haben.

  Lösung

  Um die Aufgabe zu lösen, kannst du die Dezimalbrüche zunächst in Brüche mit einer $10er$ Potenz im Nenner umwandeln und dann mithilfe der Teilbarkeitsregeln überprüfen, ob die Brüche weiter gekürzt werden können.

  Wenn du so wie hier nur $10$er-Potenzen im Nenner hast, musst du nur die Teilbarkeit durch $2$ und $5$ überprüfen:

  • Gerade Zahlen sind immer durch $2$ teilbar
  • Zahlen die hinten eine $0$ oder $5$ haben, sind auch durch $5$ teilbar.

  Folgende Dezimalbrüche können als Brüche gekürzt werden:

  • $ 11{,}12 = \frac{1\,112~:~4}{100~:~4} = \frac{278}{25} $

  • $ 11{,}15 = \frac{1\,115~:~5}{100~:~5} = \frac{223}{20}$

  Folgende Dezimalbrüche können als Brüche nicht gekürzt werden:

  • $ 11{,}11 ~ \rightarrow$ Nicht teilbar, da $1\,111$ und $100$ kein gemeinsamer Teiler besitzen.

  • $ 11{,}13 ~ \rightarrow$ Nicht teilbar, da $1\,113$ und $100$ kein gemeinsamer Teiler besitzen.

  • $ 11{,}21 ~ \rightarrow$ Nicht teilbar, da $1\,121$ und $100$ kein gemeinsamer Teiler besitzen.

  • $ 11{,}27 ~ \rightarrow$ Nicht teilbar, da $1\,127$ und $100$ kein gemeinsamer Teiler besitzen.

  $\,$

  Allgemein gilt: Enden die Nachkommastellen der Zahl auf eine gerade Ziffer oder eine $5$, so handelt es sich um eine Dezimalzahl, die als Bruch gekürzt werden kann.