Anteile in Prozent ausdrücken und vergleichen

Anteile in Prozent ausdrücken und vergleichen Übung

• Bestimme die Anteile.

  Tipps

  Es gilt:

  $\text{Anteil der Siege}=\frac{\text{Anzahl der gewonnenen Spiele}}{\text{Anzahl aller Spiele}}$

  Die Prozentzahl kannst du aus dem Dezimalbruch bestimmen, indem du mit $100$ multiplizierst.

  Gewinnt ein/-e Spieler/-in $4$ von $5$ Spielen, so beträgt der Anteil der Siege:

  $\frac{4}{5} = 0,8 = 80\%$

  Lösung

  Den Anteil an einem Ganzen kannst du in Prozent ausdrücken. Diese Angabe beschreibt einheitlich den relativen Anteil, ohne dass dazu die Kenntnis des Ganzen nötig ist.

  Der Wert des Ganzen heißt Grundwert $G$, der Wert eines Teiles ist der Prozentwert $W$. Den Prozentsatz $p\%$ kannst du aus beiden ausrechnen, nämlich mit der Gleichung:

  $p\% = \frac{W}{G}$

  Setzt du in die Formel konkrete Zahlen ein, so kannst du direkt den Quotienten als Dezimalbruch bestimmen. Die Prozentzahl $p$ ist das Hundertfache dieses Dezimalbruchs.

  Wolfgang und Andrés haben insgesamt $8$ Spiele gespielt, von denen Wolfgang nur $2$ gewonnen hat. Keines der Spiele ist unentschieden ausgegangen, daher hat Andrés die restlichen $6$ Spiele gewonnen.

  Der Grundwert ist die Anzahl $8$ aller gespielten Spiele, also $G=8$. Der Prozentwert von Andrés' Siegen ist die Anzahl dieser Siege, also $W=6$.

  Die Anteile in $\%$ für beide Spieler sind:

  Wolfgang:

  • $2$ gewonnene Spiele von $8$ Spielen insgesamt ergeben den Anteil $\frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0,25 = 25\%$.

  Andrés:

  • Für die $6$ gewonnenen Spiele, von insgesamt $8$ gespielten Spielen, beträgt der Anteil in Prozent für Andrés $\frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75 = 75\%$.
  • Da keines der Spiele unentschieden ausgegangen ist, hat Andrés genau die Spiele gewonnen, die Wolfgang nicht gewonnen hat. Er kann den Anteil seiner Siege also auch direkt aus der Differenz von Wolfgangs Anteil zu einem Ganzen, also $100\%$ bestimmen: $100\%-25\% = 75\%$.

• Bestimme den dazugehörigen Prozentsatz.

  Tipps

  Der Prozentsatz $p\%$ entspricht dem Bruch $\frac{p}{100}$.

  Berechne aus den Brüchen zuerst Dezimalbrüche und wandele diese dann in $\%$ um.

  Dem Bruch $\frac{17}{20}$ entspricht der Prozentsatz $85\%$, denn durch Erweitern mit $5$ erhältst du:

  $\frac{17}{20} = \frac{17 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{85}{100} = 0,85 = 85\%$

  Lösung

  Ein Bruch beschreibt einen Anteil, bezogen auf ein Ganzes. Alternativ kannst du den Anteil an einem Ganzen auch mit dem Prozentsatz angeben. Du kannst jeden Bruch in einen Prozentsatz umwandeln. Dazu schreibst du den Bruch zuerst als Dezimalbruch und liest daraus die Prozentzahl ab. Diese ist nämlich das Hundertfache des Dezimalbruchs. Bei der Dezimalzahl verschiebst du dazu das Komma um zwei Stellen nach rechts.

  Um einen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln, kannst du zum Beispiel den Zähler durch den Nenner schriftlich oder im Kopf dividieren. Alternativ kannst du den Bruch auch so erweitern, dass im Nenner eine $100$ steht.

  Hier findest du folgende Zuordnungen:

  • $\frac{3}{6} = 50\%$, denn $3:6 = 0,5 = 50\%$. Alternativ kannst du den Bruch auch zunächst kürzen, denn: $\frac{3}{6} =\frac{1}{2}$.
  • $\frac{2}{8} = 25\%$, denn durch Kürzen mit $2$ und Erweitern mit $25$ erhältst du $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25\%$.
  • $\frac{6}{8} = 75\%$, denn $\frac{6}{8} = 1 - \frac{2}{8} = 100\% - 25\% = 75\%$.
  • $\frac{9}{9} = 100\%$, denn durch Kürzen mit $9$ erhältst du $\frac{9}{9} = \frac{1}{1} = 1 = 100\%$.

• Stelle die Prozentsätze auf und vergleiche sie.

  Tipps

  Dividiere die Anzahl der Siege durch die Anzahl der Spiele, um den Anteil zu bestimmen.

  $15$ gewonnene von $25$ gespielten Spielen entsprechen einem Anteil von

  $\frac{15}{25} = \frac{15 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{60}{100} = 60\%$.

  Um den Prozentsatz der gerwonnenen Spiele zu bestimmen, ziehe den Prozentsatz der verlorenen Spiele von $100\%$ ab.

  Lösung

  Um die Prozentzahl der Siege zu bestimmen, kannst du zuerst den Anteil als Dezimalbruch beschreiben. Dazu kannst du entweder den Anteil als Bruch schreiben und so erweitern, dass der Nenner $100$ wird. Die Prozentzahl ist der Zähler dieses erweiterten Bruches. Oder du kannst den Zähler schriftlich durch den Nenner dividieren und erhältst das Verhältnis als Dezimalbruch. Die Prozentzahl ist das Hundertfache dieses Dezimalbruches.

  grün:

  • $4$ gewonnene von $5$ gespielten Spielen entsprechen dem Bruchteil $\frac{4}{5}$.
  • Du kannst mit $100$ erweitern und erhältst $\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 20}{5 \cdot 20} = \frac{80}{100}$.
  • Diesem Bruch entspricht der Prozentsatz $80\%$, d. h. die Prozentzahl $80$ ist der Zähler des Bruches mit Nenner $100$.

  gelb:

  • Von $15$ Spielen wurden $12$ verloren und $3$ gewonnen.
  • Der Anteil der Siege beträgt $\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.
  • Du erhältst $1 : 5 = 0,2$.
  • Die Prozentzahl ist $0,2 \cdot 100 = 20$, der Prozentsatz beträgt also $20\%$.

  blau:

  • Bei $7$ gewonnenen von $20$ gespielten Spielen beträgt der Anteil der Siege $\frac{7}{20}$.
  • Statt mit $5$ zu erweitern kannst du auch schriftlich dividieren und erhältst $7:20 = 3,5:10 = 0,35$.
  • Der Prozentsatz beträgt also $0,35 = 35\%$.

  violett:

  • $22$ verlorene von $40$ gespielten Spielen bedeuten einen Anteil an Siegen von $\frac{40-22}{40} = \frac{18}{40} = \frac{9}{20} = \frac{9 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{45}{100}$.
  • Der zugehörige Prozentsatz ist $45\%$.
  • Du kannst auch zuerst den Prozentsatz der Verluste berechnen: $\frac{22}{40} = 22:40 = 0,55$.
  • Der Prozentsatz der verlorenen Spiele ist also $55\%$ und der der gewonnenen Spiele $100\% - 45\%$.

• Erschließe die Werte.

  Tipps

  Den Prozentwert kannst du als Produkt des Prozentsatzes und des Grundwertes berechnen:

  $W = G \cdot p\%$

  Ist der Prozentsatz kleiner als $100\%$, so kann der Prozentwert nicht größer als der Grundwert sein.

  Lösung

  Der Prozentsatz ist das Verhältnis des Prozentwertes zum Grundwert:

  $p\% = \frac{W}{W}$

  Du kannst diese Formel auch nach $G$ oder nach $W$ auflösen, um die Werte zu berechnen.

  Du findest dann folgende Zuordnungen:

  $G=210$:

  • $W=126$
  • $p\%\!=\!60\%$
  • Denn für diese Werte ist $G = \frac{W}{p\%} = \frac{126}{60\%} = \frac{126}{\frac{60}{100}} = \frac{126}{1} \cdot \frac{100}{60} = \frac{126}{1} \cdot \frac{10}{6} = 21 \cdot 10 = 210$.
  • Du kannst den Prozentsatz $p\%$ auch bestimmen, in dem du den Anteil vom Prozentwert $W$ am Grundwert $G$ in Prozent angibst: $\frac{W}{G}=\frac{126}{210}=60\%$.

  $W=81$:

  • $p\%\!=\!45\%$
  • $G=180$
  • Hier rechnest du $W = G \cdot p\% = 180 \cdot 0,45 = 81$.
  • Du kannst den Prozentsatz $p\%$ auch bestimmen, in dem du den Anteil vom Prozentwert $W$ am Grundwert $G$ in Prozent angibst: $\frac{W}{G}=\frac{81}{180}=45\%$.

  $p\%=11\%$:

  • $G=900$
  • $W=99$
  • Für das Verhältnis des Prozentwertes zum Grundwert findest du $p\% = \frac{W}{G} = \frac{99}{900} = \frac{11}{100} = 11\%$.

• Definiere die Begriffe aus der Prozentrechnung.

  Tipps

  Der Prozentsatz $p\%$ entspricht dem Bruch $\frac{p}{100}$.

  Die Prozentzahl ist das Hundertfache des Dezimalbruchs, der dem Prozentsatz entspricht.

  Wenn du $3$ von insgesamt $5$ Spielen gewinnst, entspricht das einem Anteil von:

  $\frac{3}{5} = 0,6 = 60\%$

  Lösung

  Ein Prozentsatz ist eine Maß für einen Anteil an einem Ganzen. Die Angabe als Prozentsatz ist unabhängig von dem Wert des Anteils und des Ganzen, sie beschreibt nur das Verhältnis. Das Ganze nennt man den Grundwert $G$, den Anteil den Prozentwert $W$. Der Prozentsatz ist das Verhältnis $p\% = \frac{W}{G}$. Das Prozentzeichen steht für $\cdot \frac{1}{100}$. Der Prozentsatz drückt also den Anteil bezogen auf ein Ganzes mit dem Wert $100$ aus.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Der Bruch $\frac{W}{G}$ entspricht den Prozentsatz $p\%$.“ Dies ist die Definition des Prozentsatzes.

  • „Das Prozentzeichen kann man durch die Multiplikation mit $\frac{1}{100}$ ersetzen.“ Dies ist die Definition des Prozentzeichens.

  • „Der Prozentsatz $75\%$ entspricht dem Dezimalbruch $0,75$.“ Den Dezimalbruch kannst du umschreiben als $0,75 = \frac{75}{100}$. Der Zähler eines Bruches mit dem Nenner $100$ ist die Prozentzahl zu dem Prozentsatz, also $\frac{75}{100} = 75\%$.

  • „Zu jedem Prozentsatz gehört genau ein eindeutig bestimmter Dezimalbruch.“ Du kannst den Dezimalbruch direkt hinschreiben: Dem Prozentsatz $p\%$ entspricht der Bruch $\frac{p}{100}$, aus dem du den Dezimalbruch ablesen kannst. Es ist z. B. $3,75\% = \frac{3,75}{100} = 0,0375$.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Der Dezimalbruch $0,5$ und die Prozentzahl $0,5$ beschreiben das Gleiche.“ Der Dezimalbruch $0,5$ ist die Hälfte von $1 = 100\%$, daher ist $0,5 = 50\%$. Du kannst die Prozentzahl aber auch ausrechnen, indem du den Dezimalbruch mit $100$ multiplizierst: $0,5 \cdot 100 = 50$, daher ist $0,5 = 50\%$.

  • „Das Prozentzeichen kann man auch weglassen, denn die Prozentzahl als Dezimalbruch bedeutet dasselbe wie der Prozentsatz.“ Das Prozentzeichen darfst du nicht ersatzlos streichen. Du kannst es aber durch $\cdot \frac{1}{100}$ ersetzen.

  • „Der Prozentwert $W$ entspricht dem Prozentsatz $100\%$.“ Der Prozentsatz beschreibt das Verhältnis des Prozentwertes zum Grundwert und nicht einen einzelnen Wert. Ist $G=W$, so beträgt der Prozentsatz $100\%$.

• Analysiere die Anteile.

  Tipps

  Wandle die Anteile in Dezimalbrüche um. Sortierst du die Dezimalbrüche nach der Größe, so ergibt sich dieselbe Reihenfolge wie bei der Sortierung der Prozentzahlen.

  Du kannst die Formel $G=\dfrac{W}{p\%}$ nutzen.

  Lösung

  Um Anteile zu verschiedenen Grundwerten vergleichen zu können, kannst du sie als Prozentsätze darstellen. Diese Prozentsätze kannst du unabhängig von den Grund- und Prozentwerten vergleichen und der Größe nach sortieren.

  Für die Bestimmung der Prozentsätze kannst du jeweils den Anteil durch das Ganze dividieren oder als Bruch des Anteils zum Ganzen schreiben. So findest du folgende Reihenfolge, beginnend mit dem kleinsten Anteil:

  $11,\overline{1} < 23\% < 34\% < 48\% < 75\% < 80\%$

  • $11,\overline{1}\% = 0,\overline{1} = \frac{1}{9} = \frac{9}{81}$ ist der Prozentsatz zu $W=9$ und $G = 81$.
  • $23\% = 0,23 = \frac{2,3}{10}$ beschreibt den Prozentsatz zu den Werten $W=2,3$ und $G=10$.
  • $34\% = \frac{34}{100} = \frac{17}{50}$ ergibt sich aus $W=17$ und $G=50$.
  • $48\% = \frac{48}{100} = \frac{12}{25}$ gehört zu $G=25$ und $W=12$.
  • $75\%$ ist der Prozentsatz zu $G=2,8$ und $W=2,1$, denn $\frac{2,1}{2,8} = \frac{21}{28} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{3}{4} = 0,75$.
  • $80\%=\frac{8}{10} = \frac{8 \cdot 8}{10 \cdot 8} = \frac{64}{80}$ ist der Prozentsatz zu $G=80$ und $W=64$.