Parameterform einer Ebene

Parameterform einer Ebene Übung

• Bestimme die Stütz- und Richtungsvektoren.

  Tipps

  Das Bild zeigt dir den Stützvektor (grün) und die Richtungsvektoren (blau und rot). Überlege, welche Besonderheit die Vektoren haben.

  Bei dieser Ebenengleichung sind der Stützvektor grün und die Richtungsvektoren blau markiert. Untersuche die hier angegebene Gleichung nach Ähnlichkeiten zu unseren Ebenengleichungen.

  $E:\vec{x}~=~\color{#669900} {\begin{pmatrix} {-}1 \\0\\ 0 \end{pmatrix}}\color{black}{~+~r~\cdot~}\color{lightskyblue}{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}\color{black}{~+~s~\cdot~}\color{lightskyblue}{\begin{pmatrix} {-}3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}\color{black}{\qquad(r, s \in \mathbb{R})}$

  Lösung

  In dieser Aufgabe geht es um den Aufbau der Parameterform einer Ebene. Im Allgemeinen beschreibt man ihn folgendermaßen:

  $E:{\vec{x}=\color{#669900} {\begin{pmatrix} a_1 \\a_2\\ a_3 \end{pmatrix}}\color{black}{~+~r~\cdot}\color{lightskyblue}{\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}}\color{black}{~+~s~\cdot}\color{lightskyblue}{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}}}$

  $\color{black}{\qquad(r, s \in \mathbb{R})}$

  Der Stützvektor $\color{#669900}{\begin{pmatrix} a_1 \\a_2\\ a_3 \end{pmatrix}}$ verläuft immer vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt der Ebene.

  Die Richtungsvektoren $\color{lightskyblue}{\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}}$ und $\color{lightskyblue}{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}}$ spannen die Ebene auf.

  Mit den Parametern $r$ und $s$ können die Richtungsvektoren so multipliziert werden, dass jeder Punkt auf der Ebene erreicht werden kann.

  
  

  Die angegebenen Ebenengleichungen enthalten folgende Stützvektoren und Richtungsvektoren:

  $E:\vec{x}=\color{#669900} {\begin{pmatrix} 1 \\{-}6\\ 1 \end{pmatrix}}\color{black}{~+~r~\cdot}\color{lightskyblue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ {-}1 \end{pmatrix}}\color{black}{~+~s~\cdot}\color{lightskyblue}{\begin{pmatrix} {-}1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}}$

  $\color{black}{\qquad(r, s \in \mathbb{R})}$

  $E:\vec{x}=\color{#669900} {\begin{pmatrix} 2 \\1\\ 0 \end{pmatrix}}\color{black}{~+~r~\cdot}\color{lightskyblue}{\begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}7 \\ 1 \end{pmatrix}}\color{black}{~+~s~\cdot}\color{lightskyblue}{\begin{pmatrix} {-}2 \\ {-}4 \\ 6 \end{pmatrix}}$

  $\color{black}{\qquad(r, s \in \mathbb{R})}$

• Beschreibe das Vorgehen zum Aufstellen einer Ebenengleichung in Parameterform.

  Tipps

  Zuerst wird ein Punkt auf der Ebene genutzt:

  $D({-}1\vert0\vert0) \qquad E(1\vert1\vert0) \qquad F({-}4\vert0\vert1)$

  $\vec{d}~=~\overrightarrow{0D}~=\begin{pmatrix}{-}1\\0\\0 \end{pmatrix}$

  Anschließend werden zwei Vektoren berechnet, die die Ebene aufspannen:

  $\vec{e}~=~\overrightarrow{DE}~=\begin{pmatrix}1+1\\1-0\\0- 0\end{pmatrix}~=~\begin{pmatrix}2\\1\\0 \end{pmatrix}$

  Lösung

  1. Schritt: Einen der angegebenen Punkte als Stützvektor nutzen und die Richtungsvektoren festlegen.

  $\vec{a}~=~\overrightarrow{0A}~=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \qquad \vec{u}~=~\overrightarrow{AB} \qquad \vec{v}~=~\overrightarrow{AC} $

  Hier:

  $\vec{a}~=~\overrightarrow{0A}~=\begin{pmatrix}1\\{-}6\\1 \end{pmatrix} \qquad \vec{u}~=~\overrightarrow{AB} \qquad \vec{v}~=~\overrightarrow{AC}$

  2. Schritt: Richtungsvektoren mithilfe des gewählten Punktes und jeweils eines anderen Punktes berechnen.

  $\vec{u}~=~\overrightarrow{AB}~=\begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3\end{pmatrix} \quad$ und $\quad \vec{v}~=~\overrightarrow{AC}~=\begin{pmatrix}c_1-a_1\\c_2-a_2\\c_3-a_3\end{pmatrix}$

  In unserem Beispiel:

  $\vec{u}~=~\overrightarrow{AB}~=\begin{pmatrix}2-1\\1+6\\0- 1\end{pmatrix}~=~\begin{pmatrix}1\\7\\{-}1 \end{pmatrix}$

  $\vec{v}~=~\overrightarrow{AC}~=~\begin{pmatrix}0-1\\{-}3+6\\6-1 \end{pmatrix}~=~\begin{pmatrix} {-}1\\3\\ 5 \end{pmatrix}$

  3. Schritt: Prüfen, ob die Richtungsvektoren eine Ebene aufspannen (ungleich Nullvektor, nicht kollinear).

  $\vec{u}~=~\overrightarrow{AB}~\neq~\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$, $~\vec{v}~=~\overrightarrow{AC}~\neq~\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \quad$ und $\quad \vec{v}~\neq~t~\cdot~\vec{u}$

  Beispiel:

  $\vec{u}~=~\begin{pmatrix} 1 \\7\\ {-}1 \end{pmatrix}~\neq~\begin{pmatrix} 0\\0\\ 0 \end{pmatrix} \quad$ und $\quad \vec{v}~=~\begin{pmatrix} {-}1\\3\\ 5 \end{pmatrix}~\neq~\begin{pmatrix} 0\\0\\ 0 \end{pmatrix} $

  und:

  $\begin{pmatrix} {-}1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}~\neq~t~\cdot~\begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ {-}1 \end{pmatrix}$

  4. Schritt: Richtungs- und Stützvektoren einsetzen.
  ${E:\vec{x}~=~\vec{a}~+~r~\cdot~\vec{u}~+~s~\cdot~\vec{v}}$

  $(r, s \in \mathbb{R})$

  Unsere Gleichung lautet:

  $E:\vec{x}~=~\begin{pmatrix} 1 \\{-}6\\ 1 \end{pmatrix}~+~r~\cdot~\begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ {-}1 \end{pmatrix}~+~s~\cdot~\begin{pmatrix} {-}1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$

  $(r, s \in \mathbb{R})$

  Hinweis: Du kannst jeden der Punkte als Stützvektor nutzen und auch für die Richtungsvektoren zwei beliebige Vektoren in der Ebene wählen, die nicht kollinear sind. Hierdurch entsteht eine andere Gleichung, welche dennoch die gleiche Ebene definiert. Setzen wir $\vec{b}$ als Stützvektor sowie $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BC}$ als Richtungsvektoren ein, entsteht beispielsweise folgender Lösungsweg:

  1. Schritt:

  $\vec{b}~=~\overrightarrow{0B}~=\begin{pmatrix}2\\1\\0 \end{pmatrix} \qquad \vec{u}~=~\overrightarrow{BA} \qquad \vec{v}~=~\overrightarrow{BC}$

  2. Schritt:

  $\vec{u}=\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}1-2\\{-}6-1\\1-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{-}1\\{-}7\\1 \end{pmatrix} \quad$ und $\quad \vec{v}=\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}0-2\\{-}3-1\\6-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{-}2\\{-}4\\6 \end{pmatrix}$

  3. Schritt:

  $\vec{u}=\begin{pmatrix}{-}1\\{-}7\\1 \end{pmatrix}\neq~\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$, $~\vec{v}=\begin{pmatrix}{-}2\\{-}4\\6 \end{pmatrix}\neq~\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \quad$ und $~\begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}7 \\ 1 \end{pmatrix}~\neq~t~\cdot~\begin{pmatrix} {-}2 \\ {-}4 \\ 6 \end{pmatrix}$

  4. Schritt:

  $E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\1\\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}7 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} {-}2 \\ {-}4 \\ 6 \end{pmatrix}$

  $(r, s \in \mathbb{R})$

• Berechne die Richtungsvektoren.

  Tipps

  Du rechnest immer Endpunkt minus Anfangspunkt:

  $\vec{u}~=~\overrightarrow{AB}~=\begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3\end{pmatrix} \quad$ bzw. $\quad \vec{v}~=~\overrightarrow{AC}~=\begin{pmatrix}c_1-a_1\\c_2-a_2\\c_3-a_3\end{pmatrix}$

  Wenn du bei der Berechnung eines Verbindungsvektors (Vektor, der zwei Punkte verbindet) eine negative Zahl abziehst, verändert sich die Rechenoperation wie in dem Beispiel:

  $A(1\vert{-}6\vert1) \qquad B(2\vert1\vert0) \qquad C(0\vert{-}3\vert6)$

  $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2-1\\1-({-}6)\\0- 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-1\\1+6\\0-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\7\\{-}1 \end{pmatrix}$

  Lösung

  Zum Aufstellen einer Ebenengleichung in Parameterform werden zuerst Stütz- und Richtungsvektoren festgelegt. Das hat Tom schon erledigt. Anschließend müssen die Richtungsvektoren berechnet werden, indem die Koordinaten des Anfangspunktes von den Koordinaten des Endpunktes abgezogen werden.

  Gegebene Punkte:

  $A(1\vert2\vert{-}4) \qquad B(3\vert5\vert1) \qquad C(4\vert3\vert0)$

  Gegebene Gleichung:

  ${E:\vec{x}~=~\begin{pmatrix} 1\\2\\{-}4 \end{pmatrix}+~r~\cdot~~\overrightarrow{AB}~+~s~\cdot~\overrightarrow{AC}} \qquad {(r, s \in \mathbb{R})}$

  Berechnung der Richtungsvektoren:

  ${\vec{u}~=~\overrightarrow{AB}~=~\begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3\end{pmatrix}~=\begin{pmatrix}3-1\\5-2\\1+4\end{pmatrix}~=~\begin{pmatrix}2\\3\\5 \end{pmatrix}} $

  ${\vec{v}~=~\overrightarrow{AC}~=~\begin{pmatrix}c_1-a_1\\c_2-a_2\\c_3-a_3\end{pmatrix}~=~\begin{pmatrix}4-1\\3-2\\0+4\end{pmatrix}~=~\begin{pmatrix} 3\\1\\4 \end{pmatrix}}$

  Richtungsvektoren eingesetzt:

  ${E:\vec{x}~=~\begin{pmatrix} 1\\2\\{-}4 \end{pmatrix}~+~r~\cdot~\begin{pmatrix} 2\\3\\5 \end{pmatrix}~+~s~\cdot~\begin{pmatrix} 3\\1\\4 \end{pmatrix}} \qquad {(r, s \in \mathbb{R})}$

• Prüfe, ob die Angaben eine Ebene bestimmen.

  Tipps

  Zwei Angaben sind richtig und bestimmen eine Ebene.

  Richtungsvektoren dürfen kein Nullvektor sein.

  $\vec{u} \neq \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$, $~\vec{v} \neq \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \quad$

  Richtungsvektoren dürfen nicht kollinear (linear abhängig voneinander) sein. Das Beispiel zeigt dir, wie du die lineare Abhängigkeit überprüfst:

  $A(2\vert5\vert1) \qquad B(8\vert2\vert13) \qquad C(0\vert6\vert{-}3)$

  $\vec{u}~=~\overrightarrow{AB}~=\begin{pmatrix}8-2\\2-5\\13-1\end{pmatrix}~=~\begin{pmatrix}6\\{-}3\\12 \end{pmatrix}$

  $\vec{v}~=~\overrightarrow{AC}~=~\begin{pmatrix}0-2\\6-5\\{-}3-1 \end{pmatrix}~=~\begin{pmatrix} {-}2\\1\\{-}4 \end{pmatrix}$

  $\begin{pmatrix} 6\\{-}3\\12 \end{pmatrix}~=~{-}3~\cdot~\begin{pmatrix} {-}2\\1\\{-}4 \end{pmatrix}$

  Die Punkte bestimmen keine Ebene, weil die entstehenden Richtungsvektoren kollinear sind.

  Lösung

  Um herauszufinden, ob die Angaben eine Ebene definieren, überprüfen wir die Richtungsvektoren.

  Diese dürfen:

  a) ... kein Nullvektor sein.

  Ein Nullvektor hat keine Richtung. Sobald ein Richtungsvektor ein Nullvektor ist, wird vom Stützpunkt aus nur eine Gerade definiert. Sichtbar wird dies beispielsweise beim Einsetzen des Nullvektors in die Parameterform:

  $\vec{x}~=\begin{pmatrix} 5\\2\\{-}1 \end{pmatrix}~+~r~\cdot~\begin{pmatrix} {-}2\\5\\1 \end{pmatrix}~+~s~\cdot~\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\2\\{-}1 \end{pmatrix}~+~r~\cdot~\begin{pmatrix} {-}2\\5\\1 \end{pmatrix}$

  $(r \in \mathbb{R})$

  b) ... nicht kollinear sein.

  Kollineare Richtungsvektoren verlaufen parallel zueinander. Da sie vom selben Stützpunkt $A$ ausgehen, können mit ihnen nur Punkte auf einer Geraden und nicht seitlich davon erreicht werden.

  
  

  Nachfolgend siehst du die Überprüfung der verschiedenen Angaben:

  1) Falsch - Die Richtungsvektoren sind Nullvektoren.

  $A(1\vert1\vert1) \qquad B(1\vert1\vert1) \qquad C(1\vert1\vert1)$

  $\vec{u}~=~\overrightarrow{AB}~=\begin{pmatrix}1-1\\1-1\\1- 1\end{pmatrix}~=~\begin{pmatrix}0\\0\\0 \end{pmatrix}$

  $\vec{v}~=~\overrightarrow{AC}~=~\begin{pmatrix}1-1\\1-1\\1-1 \end{pmatrix}~=~\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$

  2) Falsch - Die Richtungsvektoren sind kollinear / linear abhängig voneinander.

  $A(1\vert3\vert2) \qquad B(3\vert9\vert6) \qquad C(5\vert15\vert10)$

  $\vec{u}~=~\overrightarrow{AB}~=\begin{pmatrix}3-1\\9-3\\6-2\end{pmatrix}~=~\begin{pmatrix}2\\6\\4 \end{pmatrix}$

  $\vec{v}~=~\overrightarrow{AC}~=~\begin{pmatrix}5-1\\15-3\\10-2 \end{pmatrix}~=~\begin{pmatrix} 4\\12\\8 \end{pmatrix}$

  $\quad \Rightarrow \quad \begin{pmatrix} 2\\ 6\\ 4 \end{pmatrix}~=~0{,}5~\cdot~\begin{pmatrix} 4 \\ 12 \\ 8 \end{pmatrix}$

  3) Richtig - Wenn du Punkt $A$ als Stützvektor nutzt, ergeben sich folgende Rechnungen:

  $A(0\vert0\vert1) \qquad B(0\vert{-}4\vert0) \qquad C(4\vert0\vert0)$

  $\vec{a}~=\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} $

  Überprüfung der Richtungsvektoren:

  a) Richtungsvektoren sind ungleich dem Nullvektor:

  $\vec{u}=~\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 0-0 \\{-}4-0\\ 0-1 \end{pmatrix}=~\begin{pmatrix} 0 \\{-}4\\ {-}1 \end{pmatrix}~\neq~\begin{pmatrix} 0\\0\\ 0 \end{pmatrix} $

  $\vec{v}~=~\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} 4-0 \\0-0\\ 0-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ {-}1 \end{pmatrix}~\neq~\begin{pmatrix} 0\\0\\ 0 \end{pmatrix} $

  b) Richtungsvektoren sind nicht kollinear:

  $\begin{pmatrix} 0 \\{-}4\\ {-}1 \end{pmatrix}~\neq~t~\cdot~\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ {-}1 \end{pmatrix}$

  Es entsteht die Ebenengleichung:

  $E:\vec{x}~=~\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}~+~r~\cdot~\begin{pmatrix} 0 \\{-}4\\ {-}1 \end{pmatrix}~+~s~\cdot~\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ {-}1 \end{pmatrix}$

  $(r \in \mathbb{R})$

  4) Falsch - Die Richtungsvektoren sind kollinear / linear abhängig voneinander.

  $\vec{x}~=~\begin{pmatrix} 5\\2\\{-}1 \end{pmatrix}~+~r~\cdot~\begin{pmatrix} {-}2\\4\\{-}3 \end{pmatrix}~+~s~\cdot~\begin{pmatrix} 6\\{-}12\\9 \end{pmatrix}$

  $(r \in \mathbb{R})$

  $\quad \Rightarrow \quad \begin{pmatrix} 6\\{-}12\\9 \end{pmatrix}~=~{-}3~\cdot~\begin{pmatrix} {-}2\\4\\{-}3 \end{pmatrix}$

  5) Richtig - Die Gleichung ist eine Ebenengleichung. Hierfür werden die Richtungsvektoren überprüft.

  $E:\vec{x}~=~\begin{pmatrix} 5\\2\\{-}1 \end{pmatrix}~+~r~\cdot~\begin{pmatrix} {-}2\\5\\1 \end{pmatrix}~+~s~\cdot~\begin{pmatrix} 4\\{-}2\\6 \end{pmatrix}$

  $(r \in \mathbb{R})$

  a) Richtungsvektoren sind ungleich dem Nullvektor:

  $\vec{u}~=~\begin{pmatrix} {-}2\\5\\1 \end{pmatrix}~\neq~\begin{pmatrix} 0\\0\\ 0 \end{pmatrix} $

  $\vec{v}~=~\begin{pmatrix} 4\\{-}2\\6 \end{pmatrix}~\neq~\begin{pmatrix} 0\\0\\ 0 \end{pmatrix} $

  b) Richtungsvektoren sind nicht kollinear:

  $\begin{pmatrix} {-}2\\5\\1 \end{pmatrix}~\neq~t~\cdot~\begin{pmatrix} 4\\{-}2\\6 \end{pmatrix}$

  6) Falsch - Ein Richtungsvektor ist ein Nullvektor.

  $\vec{x}~=~\begin{pmatrix} 5\\2\\{-}1 \end{pmatrix}~+~r~\cdot~\begin{pmatrix} {-}2\\5\\1 \end{pmatrix}~+~s~\cdot~\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$

  $\vec{v}~=~\overrightarrow{AC}~=~\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$

• Benenne die Elemente der Ebenengleichung im Koordinatensystem.

  Tipps

  Der Stützvektor $\color{#669900}{\vec{a}}$ führt zu einem Punkt auf der Ebene.

  Punkte werden mit einem großen Buchstaben bezeichnet.

  Lösung

  In dieser Aufgabe werden die Elemente der Parameterform einer Ebene dargestellt. Die allgemeine Ebenengleichung in Parameterform lautet:

  $E:\vec{x}=\color{#669900} {\begin{pmatrix} a_1 \\a_2\\ a_3 \end{pmatrix}}\color{black}{~+~r~\cdot~}\color{#E96764}{\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}}\color{black}{~+~s~\cdot~}\color{#07B6E7}{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}}\color{black}{\qquad(r, s \in \mathbb{R})}$

  Der Stützvektor $\color{#669900}{\vec{a}}$ verläuft immer vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt $\color{#669900}{A}$ auf der Ebene (dem Stützpunkt).

  Die beiden Richtungsvektoren $\color{#E96764}{\vec{u}}$ und $\color{#07B6E7}{\vec{v}}$ spannen die Ebene auf. Sie können mit den Paramtern $r$ und $s$ so multipliziert werden, dass jeder Punkt auf der Ebene erreicht wird.

• Analysiere die Ebenen.

  Tipps

  Überlege, welche Punkte zur Ebene gehören. Achte darauf, ob Werte gleich bleiben.

  Ebenen verlaufen parallel zu einer Koordinatenebene, wenn sie diese in keinem Punkt schneiden. Jeder Punkt $P_E$ auf der Ebene besitzt in diesem Fall eine gleichbleibende Koordinate.

  Beispielsweise verläuft die nachfolgende Ebene auf der Höhe $y=5$ parallel zur $x$-$z$-Ebene.

  $\vec{x}~=~\begin{pmatrix} 0\\5\\0 \end{pmatrix}~+~r~\cdot~\begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix}~+~s~\cdot~\begin{pmatrix} 3\\0\\4 \end{pmatrix}~=~\begin{pmatrix} 2r+3s\\5\\1r+4s \end{pmatrix}$

  Jeder Punkt $P_E(2r+3s\vert5\vert1r+4s)$ auf der Ebene besitzt denselben $y$-Wert $y=5$, während $x$ und $z$ verschiedene Werte annehmen können.

  Ob ein Punkt in einer Ebene liegt, berechnest du, indem du die Punktkoordinaten als $\vec{x}$ einsetzt und das Gleichungssystem löst:

  $E\!:\vec{x}~=~\begin{pmatrix} {-}1 \\0\\ 0 \end{pmatrix}~+~r~\cdot~\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}~+~s~\cdot~\begin{pmatrix} {-}3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

  Zu prüfender Punkt: $G({-}8\vert1\vert3)$.

  $\begin{pmatrix} {-}8\\1\\3\end{pmatrix}=~\begin{pmatrix} {-}1 \\0\\ 0 \end{pmatrix}~+~r~\cdot~\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}~+~s~\cdot~\begin{pmatrix} {-}3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

  Nebenrechnung 1: Berechnen von $s$
  $\begin{array}{rrrrrrrl} 3&=& 0 & + & 0r & + & 1s &\\ 3&=& 1s &~&~&~&~& \vert :1 \\ 3&=& s &~&~&~&~&~ \\ \end{array}$

  Nebenrechung 2: Berechnen von $r$
  $\begin{array}{rrrrrrrl} 1&=& 0 & + & 1r & + & 0s &\\ 1&=& 1r &~&~&~&~ & \vert :1 \\ 1&=& r &~&~&~&~&~\\ \end{array}$

  Nebenrechung 3: Parameter prüfen
  $\begin{array}{rrrrrrrl} {-}8&=&{-}1 & + & 2r & {-}& 3s &\vert ~r=1; s=3\\ {-}8&=&{-}1 & + & 2 & {-} & 9 &~\\ {-}8&=&{-}8 &~&~&~&~&~\\ \end{array}$

  $\begin{pmatrix} {-}8\\1\\3\end{pmatrix}=~\begin{pmatrix} {-}1 \\0\\ 0 \end{pmatrix}~+~1~\cdot~\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}~+~3~\cdot~\begin{pmatrix} {-}3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

  $\Rightarrow$ Der Punkt $G$ liegt in der Ebene $E$.

  Lösung

  In dieser Aufgabe geht es darum, die Eigenschaften von Ebenen zu untersuchen.

  Hierfür musst du herausfinden, welche Punkte $P(x_p\vert y_p\vert z_p)$ in der Ebene liegen.

  Dies erkennst du, indem du gegebene Punktkoordinaten als $\vec{x}=\begin{pmatrix} x_p\\y_p\\z_p \end{pmatrix}$ einsetzt und das entstehende Gleichungssystem löst oder mithilfe der Parameterform

  $\vec{x}~=\begin{pmatrix} x_p\\y_p\\z_p\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}~+~r~\cdot~\begin{pmatrix} u_1\\u_2\\u_3 \end{pmatrix}~+~s~\cdot~\begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix}$

  schlussfolgerst, welche Punkte entstehen können.

  Achte hierbei genau darauf, ob eine Koordinate in jedem Punkt der Ebene konstant ist.
  Sie gibt an, wie sich die Ebene zu den Koordinatenebenen verhält. Es gilt:

  • $x = a$: Ebene verläuft parallel zur $y$-$z$-Ebene mit Abstand $a$.
  • $y = a$: Ebene verläuft parallel zur $x$-$z$-Ebene mit Abstand $a$.
  • $z = a$: Ebene verläuft parallel zur $x$-$y$-Ebene mit Abstand $a$.

  Ist dabei eine Koordinate konstant gleich $0$, dann definiert die Ebene die entsprechende Koordinatenebene.

  Nachfolgend wird die richtige Zuordnung der Eigenschaften erklärt:

  1) parelleler Verlauf zur $x$-$y$-Ebene

  $\vec{x}~=~\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}~+~r~\cdot~\begin{pmatrix} 3\\2\\0 \end{pmatrix}~+~s~\cdot~\begin{pmatrix} {-}5\\2\\0 \end{pmatrix}$ ... verläuft auf der Höhe $z=1$ parallel zur $x$-$y$-Ebene.

  $\vec{x}~=~\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}~+~r~\cdot~\begin{pmatrix} 3\\2\\0 \end{pmatrix}~+~s~\cdot~\begin{pmatrix} {-}5\\2\\0 \end{pmatrix}~=~\begin{pmatrix} 3r{-}5s\\2r+2s\\1 \end{pmatrix}$

  Jeder Punkt $P_E(3r{-}5s\vert2r+2s\vert1)$ der Ebene liegt auf der Höhe $z=1$ und damit parallel zur $x$-$y$-Ebene.

  2) Schnittpunkt mit der $x$-Achse

  $\vec{x}~=~\begin{pmatrix} {-}2\\1\\3 \end{pmatrix}~+~r~\cdot~\begin{pmatrix} 2\\0\\{-}2 \end{pmatrix}~+~s~\cdot~\begin{pmatrix} {-}2\\{-}1\\3 \end{pmatrix}$ ... schneidet die $x$-Achse im Punkt $X(2\vert0\vert0)$.

  $\begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix}~=~\begin{pmatrix} {-}2\\1\\3 \end{pmatrix}~+~r~\cdot~\begin{pmatrix} 2\\0\\{-}2 \end{pmatrix}~+~s~\cdot~\begin{pmatrix} {-}2\\{-}1\\3 \end{pmatrix}$

  Nebenrechung 1: Berechnen von $s$
  $\begin{array}{rrrrrrrl} 0&=& 1 & + & 0r & {-} & 1s &\vert {-}1\\ {-}1&=& {-}1s &~&~&~&~& \vert :({-}1) \\ 1&=& s &~&~&~&~&~ \\ \end{array}$

  Nebenrechung 2: Berechnen von $r$
  $\begin{array}{rrrrrrrl} 0&=&3 & {-} & 2r & + & 3s &\vert {-}3; s=1\\ {-}3&=& {-}2r &+&3&~&~ & \vert {-}3 \\ {-}6&=& {-}2r &~&~&~&~&\vert :({-}2) \\ 3&=& r &~&~&~&~&~\\ \end{array}$

  Nebenrechung 3: Parameter prüfen
  $\begin{array}{rrrrrrrl} 2&=&{-}2 & + & 2r & {-} & 2s &\vert r=3; s=1\\ 2&=&{-}2 & + & 6 & {-} & 2 &~\\ 2&=&2 &~&~&~&~&~\\ \end{array}$

  $\quad \Rightarrow \quad \begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix}~=~\begin{pmatrix} {-}2\\1\\3 \end{pmatrix}~+~3~\cdot~\begin{pmatrix} 2\\0\\{-}2 \end{pmatrix}~+~1~\cdot~\begin{pmatrix} {-}2\\{-}1\\3 \end{pmatrix}$

  3) Punkt auf der Ebene

  $\vec{x}~=~\begin{pmatrix} 5\\4\\{-}1 \end{pmatrix}~+~r~\cdot~\begin{pmatrix} {-}4\\0\\4 \end{pmatrix}~+~s~\cdot~\begin{pmatrix} 7\\{-}8\\0 \end{pmatrix}$ ... enthält den Punkt $D({-}1\vert{-}12\vert19)$.

  $\begin{pmatrix} {-}1\\{-}12\\19\end{pmatrix}=~\begin{pmatrix} 5\\4\\{-}1 \end{pmatrix}~+~r~\cdot~\begin{pmatrix} {-}4\\0\\4 \end{pmatrix}~+~s~\cdot~\begin{pmatrix} 7\\{-}8\\0 \end{pmatrix}$

  Nebenrechnung 1: Berechnen von $s$
  $\begin{array}{rrrrrrrl} {-}12&=& 4 & + & 0r & {-} & 8s &\vert {-}4\\ {-}16&=& {-}8s &~&~&~&~& \vert :({-}8) \\ 2&=& s &~&~&~&~&~ \\ \end{array}$

  Nebenrechung 2: Berechnen von $r$
  $\begin{array}{rrrrrrrl} 19&=&{-}1 & + & 4r & + & 0s &\vert +1\\ 20&=& 4r &~&~&~&~ & \vert :4 \\ 5&=& r &~&~&~&~&~\\ \end{array}$

  Nebenrechung 3: Parameter prüfen
  $\begin{array}{rrrrrrrl} {-}1&=&5 & {-} & 4r & +& 7s &\vert r=5; s=2\\ {-}1&=&5 & {-} & 20 & +& 14 &~\\ {-}1&=&{-}1 &~&~&~&~&~\\ \end{array}$

  $\quad \Rightarrow \quad \begin{pmatrix} {-}1\\{-}12\\19\end{pmatrix}=~\begin{pmatrix} 5\\4\\{-}1 \end{pmatrix}~+~5~\cdot~\begin{pmatrix} {-}4\\0\\4 \end{pmatrix}~+~2~\cdot~\begin{pmatrix} 7\\{-}8\\0 \end{pmatrix}$

  4) $x$-$z$-Ebene

  $\vec{x}~=~\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}~+~r~\cdot~\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}~+~s~\cdot~\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$ ... definiert die $x$-$z$-Ebene.

  $\vec{x}~=~\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}~+~r~\cdot~\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}~+~s~\cdot~\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}~=~\begin{pmatrix} r\\0\\s \end{pmatrix}$

  Jeder Punkt $P_E(r\vert0\vert s)$ auf der Ebene besitzt die $y$-Koordinate $y=0$, während $x$ und $z$ verschiedene Werte annehmen können. Die angegebene Ebene definiert somit die $x$-$z$-Ebene.