Ebenengleichungen mit Parametern – Ebenenscharen

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Grundlagen zum Thema Ebenengleichungen mit Parametern – Ebenenscharen
Die Begriffe Scharparameter und Geradenschar sind dir bereits bekannt? Dann fallen dir die Erklärungen zur Ebenenschar sehr leicht. Falls du noch nichts davon gehört hast, ist das auch nicht schlimm. Ich werde mit dir zusammen eine formale Definition für Ebenenscharen aufstellen. Danach weißt du auch, was ein Scharparameter ist. Ich zeige dir zwei spezielle Ebenenscharen und wo genau bei ihnen der Scharparameter vorkommt. Das sind einmal die Ebenenbüschel und die parallelen Ebenenscharen. Du kannst dir beide sehr schnell mit den beiden Begriffen Wasserrad und Kuchen merken. Na, neugierig geworden? Viel Spaß auf den Pfaden der Ebenen!
Transkript Ebenengleichungen mit Parametern – Ebenenscharen
Hallo, ich bin Giuliano. Ich möchte dir heute etwas über Ebenenscharen erzählen. Zuerst werde ich dir eine formale Definition von Ebenenscharen geben, und dann werden wir uns zwei spezielle Ebenenscharen ansehen. Hier also erst mal die formale Definition. Eine Ebenenschar ist eine Ebene, die in der Ebenengleichung mindestens einen weiteren Parameter, den sogenannten "Scharparameter" enthält. Zu jedem konkreten Scharparameter gehört eine Ebene der Schar. Jetzt zeige ich dir erst mal die beiden Beispiele, die wir uns ansehen werden. Das erste Beispiel, was wir uns ansehen werden, ist ein sogenanntes "Ebenenbüschel". Bei dem Ebenenbüschel haben alle Geraden der Ebenenschar eine gemeinsame, sogenannte "Trägergerade". Im zweiten Beispiel werden wir uns parallele Ebenenscharen ansehen, die, wie der Name schon sagt, alle parallel zueinander sind. Dann starten wir mal! Also, Beispiel 1, Ebenenbüschel und eine dazugehörige Trägergerade: Wir werden jetzt ein Beispiel durchrechnen, wo wir erstens die Trägergerade errechnen werden, und dann wollen wir noch beweisen, ob diese Trägergerade wirklich, ja, sozusagen existiert für alle Geraden der Ebenenschar. Also, dann starten wir mal! Ea: Wir werden jetzt, ja, den Scharparameter in der Koordinatenleistung einer Ebene sehen. 2ax, a ist also unser Scharparameter, + (4 - a) y – 2z = 6. Und wir wollen jetzt erstmal eine, ja, sozusagen eine Schnittgerade von zwei Ebenen dieser Ebenenschar berechnen. Und dann zeige ich dir, ob das wirklich die Trägergerade ist. Also, die erste Ebene, die wir uns ansehen werden, ist E0, das heißt, ich setze für a 0 ein, dann steht hier ganz einfach 4y – 2z = 6. Als Nächstes werden wir jetzt diese Ebene von der Koordinatengleichung in die Parametergleichung überführen. Das geht so. Wir können hier an der Koordinatengleichung den Normalenvektor ablesen. Der ist eben (0 4 -2). Ja, das sind eben genau die, ja, Vorfaktoren von x, y und z in der Koordinatengleichung. Und dann können wir jetzt also Folgendes angeben. Die Parametergleichung hat immer einen Stützvektor. Wir können uns also einen beliebigen Punkt aussuchen, der diese Koordinatengleichung erfüllt. Und das ist offensichtlich (0, 0, -3). Ja, also 0 für x, 0 für y. Da muss -2z 6 ergeben. Ja, 6/-2 = -3, +, jetzt nehmen wir einen Parameter t * , jetzt brauchen wir zwei Spannvektoren, die orthogonal beziehungsweise senkrecht zu dem Normalenvektor sind. Das lässt sich auch ganz einfach im Kopf berechnen. Wir können hier den Vektor (1 0 0) nehmen. Der ist orthogonal zu (0 4 -2), weil die beiden im Skalarprodukt 0 ergeben, + s , jetzt können wir hier noch einen weiteren Vektor angeben (0 1 14- was ist 0? Da muss ich hier nur noch die z-Koordinate 2 setzen. Dann habe ich das Skalarprodukt zwischen diesen beiden Vektoren, ist dann gleich 0. Das heißt, wir haben jetzt hier eine Parameterform der Ebene E0 angegeben. Jetzt nehmen wir uns noch eine zweite Ebene, und zwar E1. Die Koordinatengleichung dieser Ebene lautet dann 2x +, ja, a = 1, und dann haben wir hier 3 stehen, 3y – 2z = 6. Um jetzt die Schnittgerade von E0 und E1 zu berechnen, können wir jetzt diese Parametergleichung in diese Koordinatengleichung einsetzen, weil hier ja eben durch den Vektor x x- und y- und z-Koordinate eines allgemeinen Punktes der Ebene E0 angegeben ist. Das heißt, wir setzen jetzt, ja, E0 in E1 ein und gucken, was heraus kommt. Das möchte ich jetzt einmal in einer anderen Farbe machen. Das heißt, wir haben hier 2 * x, das ist einfach nur t + 3 * , die y-Koordinate ist einfach nur s – 2 * (-3 + 2s) = 6. So, wenn wir das jetzt ausmultiplizieren, ergibt das hier 2t, das bleibt einfach so stehen, 3s – 4s ist - s. Hier haben wir -2 * (-3) ist +6, kürze ich mit der 6 weg, das heißt, wir haben dann = 0 stehen. Also insgesamt erhalten wir s = 2t. Was machen wir jetzt mit dieser Information? Wir können jetzt s für 2t in der Parametergleichung von E0 ersetzen. Das heißt, wir können schreiben, ja, also hier E0 wieder ansehen, und zwar ist das jetzt eben Vektor x = (0 0 -3), ja, (0 0 -3) + t, das bleibt ja einfach so wie es ist, also (1 0 0) +, und jetzt ersetzen wir s für 2t. 2t * (0 1 2). Und jetzt sehen wir, dass hier eine Gerade entsteht, weil ich habe nur noch einen Parameter gegeben. Das heißt, hier entsteht jetzt eine Gerade, die sieht so aus (0 0 -3) + t * , ja 1 + 0 = 1, 0 + (2 * 1) = 2, 0 + 4 = 4. Und das hier ist jetzt potentiell erstmal, ja, das ist die Schnittgerade von der Ebene E0 und E1. Und wir wollen jetzt beweisen, dass diese Gerade hier, die ich jetzt g nenne, dass diese Gerade wirklich die Trägergerade von der Ebenenschar Ea ist. Und das möchte ich jetzt hier einmal auf der rechten Seite vorführen. Ja, also hier die Frage, ob g wirklich die Trägergerade ist von Ea. Und das machen wir eben ganz einfach. Genauso wie wir es hier gemacht haben. Wir setzen jetzt die Koordinaten x, y, z allgemein in diese allgemeine Ebenengleichung Ea ein. Das heißt, wir erhalten Ea: 2 * a * x, 0 + t, also das wäre hier einfach t. Geht es weiter, +, ah, was haben wir da, 4 – a * die y-Koordinate, die ist einfach nur 2t, jetzt muss ich hier unten weitermachen, - 2 * z, z ist -3 + 4t. Ich kann auch einfach schreiben 4t – 3. (4t – 3) = 6. Wenn wir diese Gleichung auflösen, erhalten wir Folgendes: 2at, hier haben wir, + 8t – 2at. Ja, jetzt mache ich hier unten weiter. – 8t + 6 = 6. Und wenn wir das auflösen, sehen wir, die 6 kürze ich raus, 2at kürze ich raus und 8t. Das heißt, wir erhalten 0 = 0. Und das ist eine wahre Aussage, egal für welches a. Das heißt, diese Gerade hier ist wirklich die Trägergerade der Ebenenschar und damit haben wir ein Ebenenbüschel. Als Nächstes möchte ich dir gerne ein Beispiel für eine parallele Ebenenschar zeigen. Schauen wir uns jetzt das zweite Beispiel parallele Ebenenscharen an. Also Beispiel 2, parallele Ebenenscharen: So, ich werde dir jetzt an einem Beispiel zeigen, wie man zeigen kann, dass eben eine Schar beziehungsweise alle Ebenen dieser Schar parallel zueinander sind. Wir nehmen folgende Ebenenschar. Ea: In der Koordinatengleichung (1 – 3a) x + (3a – 1) y + (1 – 3a) z = 1. Und jetzt nehmen wir eine zweite Ebene dieser Schar, die nenne ich Eb: Die sieht dann eben so aus: (1 – 3b) x + (3b – 1) y + (1 – 3b) z = 1. Und wir gehen jetzt eben davon aus, dass a ungleich b ist, also, dass das zwei unterschiedliche Ebenen sind. Und jetzt werde ich dir zeigen, dass das eben gar nicht gilt, sondern dass am Ende rauskommt, a = b. Und wenn wir diesen Widerspruch gefunden haben, wissen wir, dass alle Ebenen parallel zueinander sind, weil es sonst gar nicht geht. Es gibt eigentlich nur drei Möglichkeiten, wie die Ebenen zueinander liegen können. Entweder sind sie identisch, sie sind echt parallel zueinander oder sie haben eine Schnittgerade. Und das haben wir eben bei Ebenenbüscheln ja schon gesehen, die Schnittgerade. Das heißt, wir wollen jetzt, ja, diese beiden Gleichungen minus nehmen. Und ich möchte jetzt gerne die Variable x eliminieren. Das heißt, wir rechnen Ea * (1 – 3b) – Eb * (1 – 3a). Dadurch habe ich hier denselben Faktor vor dem x und die beiden kann ich dann, ja, die beiden fallen dann in der nächsten Gleichung raus. So, das ergibt jetzt Folgendes. Ich sortiere das jetzt um nach y * [ , hier müssen wir (3a -1) mit (1 – 3b) multiplizieren. Und hier unten müssen wir (3b -1) * (1 – 3a) multiplizieren. Ich habe das jetzt einfach schon mal zusammengefasst, weil das Beides ja, ja, weil bei beiden Kammern ein y vorsteht, deswegen kann ich da das Distributivgesetz anwenden. Das Gleiche machen wir auch für z. Das heißt + z * [(1 – 3a) * (1 – 3b), da steht es, - 3b, - (, hier haben wir (1 - 3b) stehen, * (1 – 3a). So, das ist jetzt also das, was auf der linken Seite der Gleichung steht. Und jetzt haben wir noch gleich, hier steht eine 1, da steht eine 1, das heißt, wir müssen einfach (1 – 3b) von (1 – 3a) subtrahieren. Das Ganze ergibt dann jetzt Folgendes. Ich werde das jetzt hier nicht vorführen. Wenn ihr diese Klammern ausmultipliziert, dann erkennt ihr, dass in der Klammer hier sich alle Ausdrücke miteinander wegkürzen und das Ganze 0 ergibt. Das heißt, auf der kompletten linken Seite steht 0 = , das hier subtrahieren wir noch voneinander, 1 – 1 = 0 – 3b + 3a. Und das ergibt schließlich a = b. Und das ist ein Widerspruch zu dem, was wir eigentlich ursprünglich angenommen hatten, dass das zwei unterschiedliche Ebenen sind der Ebenenschar. Und dadurch haben wir bewiesen, dass, egal für welche Ebene dieser Schar alle Ebenen dieser Schar parallel sind. Jetzt möchte ich noch einmal zusammenfassen, was du heute gelernt hast: Zu Beginn haben wir uns eine formale Definition von Ebenenscharen angesehen. Und dann habe ich dir zwei spezielle Fälle gezeigt, einmal die Ebenenbüschel, wo alle Ebenen der Schar eine gemeinsame Trägergerade haben, und einmal das zweite Beispiel, wo die Ebenen der Schar alle parallel zueinander sind. Ich hoffe, dass du das alles verstanden hast und Spaß an dem Video hattest. Ciao und bis zum nächsten Mal, dein Giuliano.
Ebenengleichungen mit Parametern – Ebenenscharen Übung
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Beschreibe, wie man prüfen kann, ob eine parallele Ebenenschar vorliegt.
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Bestimme die Trägergerade der Ebenenschar.
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Ermittle die Schnittgerade der beiden Ebenen.
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Weise nach, dass die gegebene Gerade Trägergerade der Ebenenschar ist.
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Definiere, was Ebenenscharen sind und welche speziellen Lagen es gibt.
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Prüfe, ob es sich bei um eine parallele Ebenenschar handelt.
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Diese Begeisterung während des Rechnens ist genial. :D
@David Brunner1000:
Vielen Dank für den Hinweis. Ich habe mich bemüht so zu rechnen und zu erklären, dass das Video nicht zu lange dauert ;). Ich bedanke mich für deinen Kommentar.
Super Video
Du könntest aber vlt ein bisschen langsamer erklären und rechnen :D
Und vor allem genauer erklären, also warum du das und das machst