Konstruktion einer Parallelen
Parallele Geraden haben überall den gleichen Abstand zueinander und schneiden sich nie. Im Text lernst du, wie man Parallelen mit Hilfe einer Raute oder zweier Lote konstruiert. Auch die Konstruktion einer Parallelen in einem bestimmten Abstand wird erklärt. Interessiert? Weitere Details findest du im folgenden Text!
- Einführung: Siedlungsgrenzen in den USA
- Eigenschaft paralleler Geraden
- Erste Konstruktion: Parallele durch einen gegebenen Punkt mithilfe einer Raute konstruieren
- Zweite Konstruktion: Parallele durch einen gegebenen Punkt mithilfe zweier Lote konstruieren
- Dritte Konstruktion: Parallele in einem gegebenen Abstand konstruieren
- Zusammenfassung: Konstruktion einer Parallelen
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Grundlagen zum Thema Konstruktion einer Parallelen
Einführung: Siedlungsgrenzen in den USA
In vielen Gebieten der USA werden Siedlungsgrenzen gerade und parallel gezogen. Um solche Grenzen auf einer Karte einzuzeichnen, müssen wir Parallelen mit Zirkel und Lineal konstruieren. Natürlich kannst du auch eine Parallele ohne Zirkel konstruieren – nämlich mit dem Geodreieck. Die Vorgehensweise mit Zirkel und Lineal ist aber genauer. Und wenn es um Siedlungsgrenzen geht, wollen wir natürlich möglichst genau arbeiten! Im Folgenden wird das Thema Parallele konstruieren Schritt für Schritt erklärt.
Eigenschaft paralleler Geraden
Parallele Geraden haben überall den gleichen Abstand zueinander. Sie schneiden sich nie. Aber wie konstruiert man eine Parallele?
Erste Konstruktion: Parallele durch einen gegebenen Punkt mithilfe einer Raute konstruieren
Um eine parallele Gerade zu der gegebenen Gerade $g$ durch den Punkt $P$ zu konstruieren, stellen wir unseren Zirkel auf einen hinreichend großen Radius ein und behalten diesen während der Konstruktion bei. Dann gehen wir wie folgt vor:
- Wir ziehen einen Kreis um den Punkt $P$. Der Kreis muss die Gerade $g$ zweimal schneiden.
- Wir schlagen einen weiteren Kreis um einen der beiden entstandenen Schnittpunkte, also z. B. um $S_1$. Einen der beiden Schnittpunkte dieses Kreises mit der Geraden $g$ bezeichnen wir mit $P’$.
- Nun schlagen wir einen dritten Kreis mit dem Mittelpunkt $S’$. Den Schnittpunkt dieses dritten Kreises mit dem ersten Kreis bezeichnen wir mit $P’$.
- Wir ziehen eine Gerade $g’$ durch $P$ und $P’$.
Die entstandene Gerade $g’$ ist parallel zur Gerade $g$.
Begründung der Parallelität von $g’$ und $g$
Da bei dem entstandenen blauen Viereck alle Seiten die Länge $r$, nämlich den Radius, haben, handelt es sich um eine Raute. Jede Raute ist auch ein Parallelogramm. Gegenüberliegende Seiten sind also parallel. Somit sind $g$ und $g’$ parallel.
Zweite Konstruktion: Parallele durch einen gegebenen Punkt mithilfe zweier Lote konstruieren
Es gibt noch eine andere Möglichkeit zur Konstruktion einer Parallelen durch den gegebenen Punkt $P$. Dazu gehen wir wie folgt vor:
- Wir ziehen einen Kreis um den Punkt $P$. Der Kreis muss die Gerade $g$ zweimal schneiden.
- Mit den beiden entstandenen Schnittpunkten $S_1$ und $S_2$ fällen wir das Lot auf die Gerade $g$ durch den Punkt $P$.
- Auf dieses Lot fällen wir durch $P$ ein weiteres Lot und nennen es $g’$.
Wir haben damit eine parallele Gerade $g’$ konstruiert, die durch $P$ verläuft und parallel zu $g$ ist.
Begründung der Parallelität von $g’$ und $g$
Ein Lot steht immer im rechten Winkel auf der Geraden. Weil wir zwei Lote gefällt haben, um $g'$ zu konstruieren, haben wir also auch zwei rechte Winkel – und zwei rechte Winkel ergeben zusammen $180^\circ$. Somit sind die beiden Geraden parallel.
Dritte Konstruktion: Parallele in einem gegebenen Abstand konstruieren
Wir wollen nun eine Parallele zu $g$ mit bestimmtem Abstand konstruieren. Dazu gehen wir wie folgt vor:
- Um zwei beliebige Punkte $P_1$ und $P_2$ auf der Geraden $g$ schlagen wir zwei Kreisbogen mit dem gegebenen Abstand als Radius.
- Wir fällen durch die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$ jeweils das Lot auf die Gerade $g$.
- Die beiden Lote schneiden die beiden Kreise in vier Punkten.
- Wir zeichnen eine Gerade $g’$ durch die beiden Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$, die auf derselben Seite der ursprünglichen Geraden $g$ liegen.
Die so entstandene Gerade $g’$ ist parallel zu $g$, da die Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$ den gleichen Abstand zu $g$ haben.
Zusammenfassung: Konstruktion einer Parallelen
In diesem Video zur Konstruktion einer Parallelen werden zunächst die Eigenschaften paralleler Geraden wiederholt. Anschließend betrachten wir drei verschiedene Konstruktionen einer Parallelen zu einer gegebenen Geraden. Diese Konstruktionen werden Schritt für Schritt erklärt.
Weitere Aufgaben und Übungen zur Konstruktion von Parallelen findest du hier bei sofatutor.
Transkript Konstruktion einer Parallelen
Wir befinden uns an der Siedlungsgrenze im Wilden Westen. Walt Straightfore ist zuständig für die Grenzziehungen der Siedlungen im neuen US-Bundesstaat New North Southwestland. Und weil es "in America" so gemacht wird, werden die Siedlungsgrenzen schön gerade und vor allem parellel gezogen. Dafür muss Walt Straightfore die Konstruktion einer Parallelen mit Hilfe von Zirkel und Lineal beherrschen. Parallelen haben eine besondere Eigenschaft: Sie haben überall den gleichen Abstand zueinander. Betrachten wir die Gerade g. Wir wollen zwei Punkte finden, die den gleichen Abstand zu dieser Geraden haben. Durch diese zwei Punkte zeichnen wir dann die Parallele g Strich. Es gibt verschiedene Wege mit Hilfe von Zirkel und Lineal eine Parallele zu konstruieren. Bei der ersten Variante konstruieren wir zu einer Geraden g eine Parallele durch einen gegebenen Punkt P. Wir setzen den Zirkel im Punkt P an und schlagen einen Kreis mit dem Radius r. Diesen Radius werden wir für diese Konstruktion nicht mehr verändern! Der Radius muss dabei aber so groß sein, dass der Kreis die Gerade g zweimal schneidet. So entstehen zwei Schnittpunkte S1 und S2. Jetzt schlagen wir - mit dem gleichen Radius r - einen zweiten Kreis um einen der beiden Schnittpunkte - wir nehmen hier S1. So entsteht ein neuer Schnittpunkt S'. Wir setzen den Zirkel im Punkt S' an und schlagen einen weiteren Kreis mit Radius r. So entsteht der Schnittpunkt P' mit dem ersten Kreis. Durch P und P' ziehen wir eine Gerade g' und haben so eine Parallele zu g gefunden. Hmm, moment mal, stimmt das?Woher wissen wir, dass g und g' parallel zueinander verlaufen? Wir betrachten das Viereck P; P', S', S1. Alle vier Seiten haben die Länge r, den Radius der Kreise. Also ist das Viereck eine Raute. Eine Raute ist aber auch immer ein Parallelogramm, also sind die gegenüberliegenen Seiten parallel. Damit ist bewiesen, dass die Geraden g und g' parallel zueinander verlaufen. Kommen wir zur zweiten Konstruktion: Wieder ist ein Punkt P gegeben, durch den eine Parallele zur Geraden g konstruiert werden soll. Um diesen Punkt P schlagen wir einen Kreis. Sein Radius muss so groß sein, dass die Gerade zweimal geschnitten wird. Mit den beiden Schnittpunkten S1 und S2 fällen wir ein Lot über der Geraden g. Das Lot verläuft dann genau durch den Punkt P. Durch P fällen wir erneut ein Lot und nennen es g', denn g' ist die gesuchte Parallele zu g. Und warum ist das die Parallele? Ein Lot steht immer im rechten Winkel auf der Geraden. Weil wir zwei Lote gefällt haben, um g' zu konstruieren, haben wir also auch zwei rechte Winkel - und zwei rechte Winkel entsprechen genau 180 Grad. Wie es sein soll für eine Parallele! Wir kommen zur dritten Konstruktion. Zu einer Geraden g soll eine Parallele mit einem gegebenen Abstand konstruiert werden. Ein Punkt ist dieses Mal jedoch nicht vorgegeben. Um zwei beliebige Punkte auf der Geraden schlagen wir zwei Kreisbögen mit dem gegebenen Abstand als Radius r. Durch diese beiden Punkte P1 und P2 fällen wir jeweils das Lot auf g. So entstehen diese beiden Schnittpunkte von den Lotgeraden und den Kreisen. Diese beiden Schnittpunkte S1 und S2 haben beide den gleichen Abstand zur Geraden g. Deshalb ist eine Gerade g' durch diese beide Punkte eine Parallele zu g mit dem gegebenen Abstand r. Wir fassen zusammen: Zur Konstruktion einer Parallelen mit Zirkel und Lineal haben wir drei Möglichkeiten kennengelernt. Beim ersten Weg konstruieren wir eine Raute, deren eine Seite auf der Geraden g liegt. Die gegenüberliegenede Seite gibt dann die Parallele g' vor. Beim zweiten Weg fällen wir zweimal hintereinander ein Lot. Das zweite Lot bildet dann die Parallele g'. Beim dritten Weg haben wir keinen Punkt gegeben, sondern einen Abstand, in dem die Parallele verlaufen soll. Diesen Abstand tragen wir mit Hilfe zweier Kreise auf der Geraden g ab und fällen durch die beiden Kreismittelpunkte jeweils das Lot. Die Gerade durch die Schnittpunkte der Lotgeraden und Kreise ist die gesuchte Parallele g'. So geht das Parallelenzeichnen ganz schnell von der Hand. Walt Straightfore kann sich nicht bremsen und so hat er versehentlich eine Grenze mitten durch sein eigenes Haus gezogen. Dumm nur, dass das Schlafzimmer auf der anderen Seite liegt.
Konstruktion einer Parallelen Übung
-
Beschreibe die Konstruktion einer Parallelen mit einer Raute.
TippsDie Parallele wurde mithilfe von drei Kreisen konstruiert.
Den ersten Kreis zeichnet man um $P$. Danach werden Kreise um Schnittpunkte mit der Geraden $g$ gezeichnet.
LösungDie Konstruktion einer Parallelen zu einer Geraden $g$ durch einen Punkt $P$ über eine Raute erfolgt folgendermaßen:
- Zuerst schlägst du einen Kreis um den gegebenen Punkt $P$. Der Radius $r$ dieses Kreises muss groß genug sein, damit er die Gerade $g$ zweimal schneidet. Diese Schnittpunkte nennen wir $S_1$ und $S_2$. Für alle folgenden Kreise bleibt dieser Radius $r$ konstant.
- Um den linken Schnittpunkt $S_1$ des Kreises mit der Geraden $g$ zeichnest du einen weiteren Kreis mit dem Radius $r$.
- Dieser zweite Kreis schneidet die Gerade $g$ ebenfalls zweimal. Den linken Schnittpunkt nennst du $S'$ und zeichnest einen weiteren Kreis mit dem Radius $r$ um ihn.
- Der dritte Kreis schneidet den ersten Kreis im Punkt $P'$.
- Eine Gerade $g'$ durch die Punkte $P$ und $P'$ ist parallel zur ursprünglichen Gerade $g$.
-
Beschreibe die Konstruktion einer Parallelen durch zweimalige Konstruktion eines Lots.
TippsEin Lot konstruiert man mit zwei sich schneidenden Kreisbogen um zwei Punkte auf der Geraden, auf die das Lot gefällt werden soll.
Ein Lot steht senkrecht auf einer Geraden. Fällt man also ein Lot auf eine Geraden $g$ und dann ein weiteres Lot auf das gerade konstruierte Lot, dann ist das zweite Lot $g'$ parallel zur ursprünglichen Geraden $g$.
LösungDie Konstruktion einer Parallelen durch zweimaliges Schlagen eines Lots funktioniert folgendermaßen:
- Zuerst ziehst du einen Kreis um $P$, der die Gerade $g$ zweimal schneidet.
- Die Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$ des Kreises mit der Geraden $g$ kannst du verwenden, um ein Lot durch den Punkt $P$ zu fällen. Dafür zeichnest du jeweils zwei sich schneidende Kreisbogen um die Punkte $S_1$ und $S_2$.
- Die Schnittpunkte der Kreisbogen verbindest du mit einer Geraden. Diese ist das Lot auf der Geraden $g$ durch den Punkt $P$.
- Auf dem gerade konstruierten Lot errichtest du ein weiteres Lot durch den Punkt $P$. Dieses zweite Lot heißt $g'$ und ist parallel zu $g$.
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Erkläre die Konstruktion einer Parallelen in einem gegebenen Abstand.
TippsDer erste Schritt sieht so aus.
Die Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$ haben jeweils den gleichen Abstand zu der Geraden $g$.
LösungDie Konstruktion einer Parallelen in einem gegebenen Abstand $r$ zu einer Geraden $g$ funktioniert folgendermaßen:
- Zuerst zeichnest du zwei Kreise mit dem Radius $r$ um beliebige Punkte $P_1$ und $P_2$ auf der Geraden $g$.
- Dann fällst du jeweils ein Lot durch die Punkte $P_1$ und $P_2$ auf die Gerade $g$.
- Die Lotgeraden und die Kreise schneiden sich in den Punkten $S_1$ und $S_2$.
- Durch die Punkte $S_1$ und $S_2$ zeichnest du eine Gerade $g'$.
- Diese Gerade $g'$ ist parallel zu $g$, denn die beiden Geraden haben überall den gleichen Abstand $r$ zueinander.
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Bestimme die Konstruktionsbeschreibungen.
TippsUm eine Parallele im Abstand $r$ zu zeichnen, musst du zuerst Punkte bestimmen, die diesen Abstand von der ursprünglichen Geraden haben.
Das Lot einer Geraden steht senkrecht auf der Geraden. Ein Lot auf diesem Lot liegt parallel zur Geraden.
LösungDie verschiedenen Geraden werden so konstruiert:
Bild $1$ : Dieses Bild wird mit der ersten Methode konstruiert. Hier wird nämlich eine Parallele mithilfe einer Raute konstruiert.
Bild $2$: Dieses Bild kannst du mit der vierten Methode konstruieren. Hier wird eine Lotgerade konstruiert, indem du sich schneidende Kreissegmente um zwei Punkte auf der Geraden zeichnest und die Schnittpunkte durch eine Gerade verbindest.
Bild $3$: Hier wird die zweite Methode verwendet. Du konstruierst also eine Parallele zu einer Geraden $g$ durch einen Punkt $P$ mithilfe zweier Lotgeraden.
Bild $4$ : Dieses Bild kannst du mit der dritten Methode konstruieren. Dabei wird eine Parallele mit gegebenem Abstand $r$ konstruiert, indem du den Abstand durch Kreise abträgst und das Lot durch die Kreismittelpunkte fällst. Durch die Schnittpunkte verläuft dann die gesuchte Parallele.
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Gib die Eigenschaften paralleler Geraden an.
TippsDas sind zwei parallele Geraden $g$ und $g'$ und ihr Lot.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
- Parallele Geraden haben überall unterschiedliche Abstände zueinander.
- Parallele Geraden schneiden sich in genau einem Punkt.
Diese Aussagen sind richtig:
- Parallele Geraden schneiden sich nie.
- Fällt man ein Lot auf eine Gerade $g$, dann steht dieses senkrecht auf jeder Parallelen der Geraden $g$.
- Der Abstand zweier paralleler Geraden ist überall gleich.
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Bestimme die korrekten Aussagen zu Parallelen im Alltag.
TippsDer Abstand der Räder eines Bahnwaggons verändert sich nie.
Hier siehst du das Schrägbild eines Quaders.
LösungDiese Aussagen sind wahr:
- Zwei Bahnschienen sind immer parallel, auch in einer Kurve.
- Jeweils vier Kanten eines Quaders sind parallel zueinander.
- Das Straßensystem des Stadtteils Manhattan in New York City besteht aus einem Netz mit vielen parallelen Straßen.
- Zwei Flugzeuge, die stets parallel zueinander fliegen, können niemals zusammenstoßen.
Diese Aussage ist falsch:
- In einem Rechteck sind alle Seiten parallel zueinander.
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Eigentlich, gibt es noch 1 Konstruktion. Mit Geodreieck!