Gebrochen rationale Gleichungen lösen
Erfahren Sie Schritt für Schritt, wie man Bruchgleichungen löst. Durch Überkreuzmultiplikation können gleichnamige Nenner erzeugt werden, um am Ende Brüche addieren zu können. Anhand von Beispielen wird gezeigt, wie die Lösung gefunden werden kann. Interessiert? Das und vieles mehr finden Sie im folgenden Text.
in nur 12 Minuten? Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
-
5 Minuten verstehen
Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.
92%der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen. -
5 Minuten üben
Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.
93%der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert. -
2 Minuten Fragen stellen
Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.
94%der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
5 Minuten verstehen
5 Minuten üben
2 Minuten Fragen stellen
Bereit für eine echte Prüfung?
Grundlagen zum Thema Gebrochen rationale Gleichungen lösen
Wie löse ich gebrochen rationale Gleichungen?
Gleichungen können Brüche enthalten. Wenn dabei die Variable nicht nur im Zähler, sondern auch im Nenner vorkommt, sprechen wir von gebrochen rationalen Gleichungen oder Bruchgleichungen. Wie man gebrochen rationale Gleichungen lösen kann, wird in diesem Text einfach erklärt.
Gebrochen rationale Gleichungen lösen – Schritt für Schritt
Schauen wir uns am Beispiel der folgenden Gleichung an, wie man gebrochen rationale Gleichungen lösen kann.
$\dfrac{{\color{orange}10}}{{\color{blue}x}} = \dfrac{{\color{green}15}}{{\color{red}x+10}}$
Um solch eine Bruchgleichung zu lösen, müssen wir überkreuz multiplizieren. Dafür multiplizieren wir den Nenner des ersten Bruchs, also $x$, mit dem Zähler des zweiten Bruchs, also $15$, und umgekehrt und setzen die Produkte gleich.
$\begin{array}{rl} {\color{green}15} \cdot {\color{blue}x} &= {\color{orange}10} \cdot \left({\color{red}x + 10} \right)\\ 15\,x &= 10\,x + 100\\ \end{array}$
Die erhaltene Gleichung müssen wir nun nach $x$ auflösen. Dafür subtrahieren wir zunächst $-10\,x$ auf beiden Seiten und teilen im Anschluss durch $5$. So erhalten wir für $x$:
$\begin{array}{rll} 15\,x & = 10\,x + 100& \vert -10\,x\\ 5\,x & = 100 & \vert :5 \\ x & = 20 &\\ \end{array}$
Die Lösung der Bruchgleichung ist $x = 20$.
Gebrochen rationale Gleichungen lösen – Beispiel
Betrachten wir ein weiteres Beispiel. In diesem Fall stehen auf der rechten Seite zwei Brüche.
$\dfrac{80}{180} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x +6}$
Damit wir überkreuz multiplizieren können, darf auf jeder Seite des Gleichheitszeichens nur ein Bruch stehen. Dafür müssen wir durch geschicktes Erweitern der beiden Brüche ein gemeinsames Vielfaches herstellen. Indem wir den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs und umgekehrt erweitern, erhalten wir ein gemeinsames Vielfaches. Auf diese Weise haben wir auf der rechten Seite die Nenner der beiden Brüche gleichnamig gemacht. Erst dann können wir die beiden Brüche addieren.
$\dfrac{80}{180} = \dfrac{1 \cdot \left(x + 6 \right)}{x \cdot \left(x + 6 \right)} + \dfrac{1 \cdot x}{\left(x + 6\right) \cdot x}$
Die Klammern können mithilfe des Distributivgesetzes aufgelöst werden.
$\dfrac{80}{180} = \dfrac{x + 6}{x^{2} + 6\,x} + \dfrac{x}{x^{2} + 6\,x}$
Die Nenner beider Brüche sind identisch, somit können die Zähler addiert werden.
$\dfrac{{\color{orange}80}}{{\color{blue}180}} = \dfrac{{\color{green}2\,x + 6}}{{\color{red}x^{2} + 6\,x}}$
Da nun auf beiden Seiten nur noch ein Bruch steht, können wir überkreuz multiplizieren, zusammenfassen und im Anschluss durch $40$ teilen, da alle Terme durch $40$ teilbar sind:
$\begin{array}{rll} {\color{blue}180} \cdot \left({\color{green}2\,x + 6}\right) & = {\color{orange}80} \cdot \left( {\color{red}x^{2} + 6\,x} \right)&\\ 360\,x + 1080 & = 80\,x^{2} + 480\,x & \vert :40 \\ 9\,x + 27 & = 2\,x^{2} + 12\,x &\\ \end{array}$
Um die erhaltene quadratische Gleichung zu lösen, stellen wir sie in die allgemeine Form um und vereinfachen:
$0 = 2\,x^{2} + 12\,x - 9\,x - 27$
$0 = 2\,x^{2} + 3\,x - 27$
Durch eine Faktorisierung durch Zerlegung und Ausklammern können wir die rechte Seite der Gleichung anschließend lösen und erhalten:
$0 = \left( 2\,x + 9 \right) \left( x - 3 \right)$
Um die Gleichung nach $x$ aufzulösen, nutzen wir den Satz vom Nullprodukt. Dafür setzen wir beide Faktoren gleich $0$ und lösen nach $x$ auf. Wir erhalten zwei $x$-Werte als mögliche Lösungen der Bruchgleichung:
$\begin{array}{rll} 2\,x_1 + 9& = 0& \vert -9\\ 2\,x_1 & = -9 & \vert :2 \\ x_1 & = - \frac{9}{2}&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} x_2 - 3 & = 0& \vert +3\\ x_2 & = 3 & \\ \end{array}$
Gebrochen rationale Gleichungen lösen – Zusammenfassung
Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal kurz zusammen, wie man gebrochen rationale Gleichungen lösen kann:
- Gebrochen rationale Gleichungen sind Gleichungen, bei denen die Variable auch im Nenner vorkommt.
- Zum Lösen gebrochen rationaler Gleichungen darf auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens nur je ein Bruch stehen. Ist das bei der Ausgangsgleichung nicht der Fall, müssen zunächst beide Seiten entsprechend umgeformt werden.
- Im Anschluss wird überkreuz multipliziert, das bedeutet, wir multiplizieren jeweils den Zähler der einen mit dem Nenner der anderen Seite.
- Die entstandene Gleichung enthält keine Brüche mehr und kann mit einem geeigneten Verfahren nach der gesuchten Variable aufgelöst werden.
Hier auf der Seite findest du noch weitere Aufgaben und Übungen zum Thema Gebrochen rationale Gleichungen lösen.
Transkript Gebrochen rationale Gleichungen lösen
Auf einer Reise durch die Karibik musste Großvater Lindbergh mit seiner Reisegruppe auf einer einsamen Insel notlanden. Die tatkräftigen Reisenden wissen, dass sie ein paar Dinge zum Überleben brauchen werden: einen Unterschlupf, Feuer und Nahrung. Und sie müssen wissen, wie man Bruchgleichungen aufstellt und löst, um die Aufgaben effizient zu verteilen. Zum Glück sind sie morgens abgestürzt. Es bleibt ihnen also etwas Zeit. Aber die Uhr tickt und sie wissen nicht, ob sie alle Aufgaben bis Sonnenuntergang erledigen können. Mike macht sich auf Nahrungssuche, General Gutmann sammelt Zweige für einen Unterstand, Jasmin und Großvater sammeln Holz. Nach einer Weile kommt Jasmin mit 10 Holzscheiten zurück, Großvater kehrt 10 Minuten später mit 15 Holzscheiten zurück. Sie wissen aber nicht genau, wie lange sie unterwegs waren. Die Zeit, die Jasmin gebraucht hat, um 10 Holzscheite zu sammeln, nennen wir x. Da Großvater 10 Minuten nach Jasmin zurückgekehrt ist, können wir sagen, er hat x + 10 Minuten gebraucht, um 15 Holzscheite zu sammeln. Da sie das Holz mit der gleichen Rate gesammelt haben, also pro Holzscheit die gleiche Zeit brauchten, können sie eine Bruchgleichung aufstellen, um auszurechnen, wie lange sie unterwegs waren. Um die Aufgabe zu lösen, können wir über Kreuz multiplizieren. Wir müssen einfach den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs multiplizieren. Und umgekehrt. Also genau so. Dann multiplizieren wir noch die Klammer aus. So erhalten wir 10x + 100. Jetzt ziehen wir von beiden Seiten der Gleichung 10x ab und teilen dann beide Seiten durch 5, um die Lösung zu erhalten. Jasmin hat also 10 Holzscheite in 20 Minuten gesammelt, also im Durchschnitt ein Scheit alle 2 Minuten. Großvater Lindbergh hat mit der gleichen Rate gesammelt. Er hat 15 Holzscheite in 30 Minuten zusammenbekommen, also auch ein Scheit alle 2 Minuten. Um sicherzugehen, dass das Holz für die Nacht reicht, macht sich Jasmin auf zu einer zweiten Sammeltour. In der Zwischenzeit kommt General Gutmann vom Zweige-sammeln zurück, aus denen sie mit Großvater einen Unterschlupf flechtet, damit die Gruppe etwas Schutz vor der Macht der Elemente hat. Um den Unterschlupf vor Sonnenuntergang fertig zu bekommen, müssen die beiden 80 Zweige in 3 Stunden, also in 180 Minuten, zusammenflechten. Obwohl sie die Zweige mit derselben, unbekannten Rate von 1 durch x zusammenflechten, braucht Großvater nach jedem Zweig eine kleine Pause, wodurch sich seine Rate zu 1 durch x + 6 verändert. Wie lange haben sie für jeden Zweig Zeit? Um die Bruchgleichung zu lösen, müssen wir ein gemeinsames Vielfaches der Nenner finden, denn wir müssen die Brüche auf der rechten Seite addieren. Um das gemeinsame Vielfache zu finden, erweitern wir den ersten Bruch um den Nenner des zweiten Bruchs, also um x + 6. Und umgekehrt. Jetzt nutzen wir das Distributivgesetz, wodurch wir x + 6 durch x Quadrat + 6x plus x durch x Quadrat + 6x erhalten. Da die Nenner beider Brüche nun identisch sind, können wir die Zähler einfach addieren. Jetzt können wir über Kreuz multiplizieren, genauso wie im ersten Beispiel. Jetzt benutzt du wieder das Distributivgesetz. Alle Terme lassen sich nun durch 40 teilen, also machen wir das. Jetzt stellen wir die Gleichung in die allgemeine Form um und vereinfachen sie, indem wir gleichartige Terme zusammenfassen. Als Letztes faktorisieren wir die rechte Seite der Gleichung und bekommen (2x + 9) mal (x - 3). Um nach x aufzulösen nutzen wir den Satz vom Nullprodukt und setzten beide Faktoren gleich 0. Dann können wir nach x auflösen. Eine negative Zeit?! Denk dran, wenn du Textaufgaben löst, musst du deine Lösung nicht nur überprüfen, indem du die Werte einsetzt du musst auch überlegen, ob eine Lösung Sinn ergibt oder nicht. General Gutmann muss also mindestens 1 Zweig je 3 Minuten flechten, während Großvater Lindbergh 1 Zweig je 9 Minuten flechten muss, damit sie den Unterschlupf rechtzeitig fertig bekommen. Gemeinsam müssen sie in 9 Minuten 4 Zweige zusammenflechten. Alle sind erleichtert, dass sie ihre Aufgaben vor Sonnenuntergang erledigen konnten. Aber ihnen knurren ganz schön die Mägen. Apropos! Wo ist Mike!? Und noch wichtiger: Wo ist das Essen? Moment mal, wo hat Mike denn das Fastfood her? Vielleicht hätten sie sich die Insel erst mal etwas genauer anschauen sollen.
Gebrochen rationale Gleichungen lösen Übung
-
Stelle die Bruchgleichung auf.
TippsDie Rate des Holzsammelns kannst du wie folgt als Bruch schreiben:
$\frac{\text{Anzahl gesammelter Holzscheite}}{\text{benötigte Zeit}}$
Marie pflückt $14$ Blumen in $7$ Minuten, Emma pflückt $12$ Blumen in $6$ Minuten. Die Rate, mit der sie die Blumen pflücken, ist gleich, denn:
$\frac{14}{7} = \frac{12}{6}$
Die Gleichung $\frac{14}{7} = \frac{12}{x}$ kannst du lösen, indem du beide Seiten mit beiden Nennern multiplizierst und dann kürzt.
LösungDie Rate, mit der Jasmin und Großvater Holzscheite sammeln, ist gleich. Jasmin sammelt $10$ Holzscheite in dem unbekannten Zeitraum von $x$ Minuten, ihre Rate beträgt also $\frac{10}{x}$. Großvater braucht $10$ Minuten länger, also $x+10$ Minuten, um $15$ Holzscheite zu sammeln. Seine Rate ist demnach $\frac{15}{x+10}$. Wir setzen die beiden Raten gleich und erhalten die Bruchgleichung:
$\dfrac{10}{x} = \dfrac{15}{x+10}$
Um diese Gleichung zu lösen, multiplizieren wir beide Seiten über Kreuz. Das bedeutet: wir multiplizieren den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten und den Zähler des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten. Das ergibt die äquivalente Gleichung:
$15x = 10x + 100$
Um diese Gleichung nach $x$ umzustellen, ziehen wir auf beiden Seiten den Term $10x$ ab. So bekommen wir die Gleichung:
$5x=100$
Jetzt müssen wir nur noch $x$ isolieren, indem wir durch $5$ dividieren. So erhalten wir das Ergebnis:
$x=20$
-
Ergänze die Termumformung.
TippsDen Term
$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}$
kannst du zu einem Bruch zusammenfassen, indem du beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringst.
Ein gemeinsamer Nenner ist z.B. das Produkt der beiden einzelnen Nenner.
Die Gleichung
$\frac{1}{x^2-1} = \frac{2}{x-1}$
kannst du lösen, indem du zunächst über Kreuz multiplizierst.
LösungUm den Term $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} $ zu einem Bruch zusammenzufassen, gehst du folgendermaßen vor:
- Erweitere den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten und den zweiten Bruch mit dem Nenner des ersten.
- Multipliziere die Zähler und Nenner aus.
- Fasse gleichnamige Brüche zusammen, indem du die Zähler addierst und den Nenner übernimmst.
-
Erschließe äquivalente Gleichungen und ihre Lösungen.
TippsBringe zuerst die zu addierenden oder subtrahierenden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, sodass du eine Gleichung erhältst, bei der auf jeder Seite nur ein Bruch steht.
Die Gleichung
$\frac{1}{x^2-1} = \frac{2}{x-1}$
kannst du lösen, indem du zunächst über Kreuz multiplizierst.
Durch Multiplikation über Kreuz wird aus der Bruchgleichung
$\frac{1}{x^2-1} = \frac{2}{x-1}$
die äquivalente Gleichung:
$2\cdot(x^2-1) = x-1$
Ihre Normalform ist:
$0 = x^2 -\frac{1}{2}x +\frac{3}{2}$
LösungWir lösen die drei angegebenen Bruchgleichungen:
Erste Gleichung:
Wir fassen die Brüche zusammen und erhalten:
$\frac{2}{x} - \frac{2}{x-1} = \frac{2 \cdot (x-1) - 2x}{x\cdot (x-1)} = \frac{-2}{x^2-x} = -1$
Wir multiplizieren über Kreuz, formen in die Normalform um und erhalten:
$x^2-x-2=0$
Die Lösungen der Gleichung sind $x=-1$ und $x=2$.
Zweite Gleichung:
Durch Zusammenfassen der Brüche erhalten wir:
$\frac{-1}{x+1} + \frac{1}{x} = \frac{-x + x+1}{x \cdot (x+1)} = \frac{1}{x^2 + x} = \frac{1}{2}$
Das Multiplizieren über Kreuz und Umformen liefert die Normalform:
$x^2 +x -2=0$
Die Lösungen dieser Gleichung sind $x=1$ und $x=-2$.
Dritte Gleichung:
Zusammenfassen der Brüche liefert:
$\frac{1}{x+2} + \frac{2}{x+4} = \frac{(x+4) + 2 \cdot (x+2)}{(x+2) \cdot (x+4)} = \frac{3x + 8}{x^2 + 6x + 8}= 1$
Durch Multiplikation über Kreuz und Umformungen erhalten wir die Normalform:
$x^2+3x=0$
Die Lösungen dieser Gleichung sind $x=0$ und $x=-3$.
-
Bestimme die Lösungen.
TippsÜberlege, welche Bruchgleichungen sich in lineare Gleichungen umformen lassen.
Quadratische Gleichungen haben zwei, eine oder keine Lösungen.
LösungGebrochen rationale Gleichungen der Form
$\frac{1}{x} + \frac{a}{x+b} = c$
mit $a$ und $c$ ungleich Null führen durch Zusammenfassen der Brüche und Multiplikation über Kreuz typischerweise auf quadratische Gleichungen. Dagegen ergibt die Multiplikation über Kreuz einer Gleichung der Form
$\frac{1}{x} = \frac{a}{x+b}$
typischerweise eine lineare Gleichung. Diese quadratischen bzw. linearen Gleichungen sind äquivalent zu der ursprünglichen Bruchgleichung und haben daher dieselben Lösungen.
Mit diesen Überlegungen kannst du die angegebenen Bruchgleichungen lösen. Dabei erhältst du die folgenden Zuordnungen:
Erste Gleichung
Für die Gleichung $\frac{4}{x} = \frac{2}{x-1}$ multiplizieren wir über Kreuz und erhalten:
$ 4 \cdot (x-1) = 2 \cdot x \Leftrightarrow 4x -4 = 2x \Leftrightarrow 2x -4 =0 \\ \Leftrightarrow x=2 $
Die Gleichung hat also die Lösung $x=2$.
Zweite Gleichung:
Bei der Gleichung $\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1}=2$ fassen wir die Brüche zusammen und erhalten:
$ \frac{x-1}{(x+1) \cdot (x-1)} - \frac{x+1}{(x+1) \cdot (x-1)} = \frac{-2}{x^2-1} = 2 $
Wir multiplizieren über Kreuz und erhalten die quadratische Gleichung $2x^2-2 =-2$ bzw. $2x^2 =0$. Diese Gleichung hat nur die Lösung $x=0$.
Dritte Gleichung:
Die Gleichung $\frac{1}{3x-1} = \frac{3}{5x-7}$ formen wir durch Multiplikation über Kreuz in die äquivalente Gleichung $9x-3 = 5x-7$ bzw. $4x = -4$ um. Die Gleichung hat die Lösung $x=-1$.
Vierte Gleichung:
Wir fassen die Brüche der Gleichung $\frac{1}{x} + \frac{1}{x-6} = \frac{4}{9}$ zusammen und multiplizieren die resultierende Gleichung über Kreuz:
$ \frac{2x-6}{x^2-6x} = \frac{4}{9} \Leftrightarrow 4 \cdot (x^2 -6x) = 9 \cdot (2x-6) \Leftrightarrow x^2 - \frac{21}{2} \cdot x + \frac{27}{2} =0 $
Mit der $p$-$q$-Formel erhalten wir die Lösungen $x_1= \frac{3}{2}$ und $x_2=9$.
Fünfte Gleichung:
Bei der Gleichung $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{4}{3}$ erhalten wie durch Zusammenfassen der Brüche und Multiplikation über Kreuz:
$ \frac{2x+2}{x^2+2x} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow 4 \cdot (x^2+2x) = 3 \cdot (2x+2) \Leftrightarrow x^2 + \frac{3}{2} \cdot x - \frac{3}{2} $
Die Gleichung hat die Lösungen $x_1= -\frac{3}{2}$ und $x_2=1$.
-
Bestimme die Bruchgleichungen.
TippsDen Term $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x}$ kannst du zu einem Bruch zusammenfassen. Dazu bringst du die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.
Ein gemeinsamer Nenner ist z.B. das Produkt der beiden einzelnen Nenner:
$\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x}=\frac{1\cdot x}{(x+1)\cdot x} + \frac{2\cdot (x+1)}{x\cdot (x+1)}$
Achte beim Ausmultiplizieren auf das Distributivgesetz:
$\frac{2 \cdot (x+1)}{x\cdot (x+1)} = \frac{2x+2}{x^2+x}$
LösungEin gemeinsamer Nenner für zwei Brüche ist z.B. das Produkt der beiden Nenner. Durch Erweiterung mit dem Nenner des jeweils anderen Bruchs kannst du verschiedene Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Achte beim Ausmultiplizieren und Zusammenfassen auf das Distributivgesetz.
Folgende Gleichungen sind richtig:
- $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} = \frac{1 \cdot (x+6)}{x \cdot (x+6)} + \frac{1 \cdot x}{(x+6) \cdot x}$
- $\frac{1 \cdot x}{(x+6) \cdot x} = \frac{x}{x^2 +6x}$
- $\frac{1 \cdot (x+6)}{x \cdot (x+6)} = \frac{x+6}{x^2 +6x}$
- $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} = \frac{2}{2x+6}$
- $\frac{1 \cdot x}{(x+6) \cdot x} = \frac{x}{x^2 +6}$
- $\frac{1 \cdot (x+6)}{x \cdot (x+6)} = \frac{x+6}{x^2 +6}$
- $\frac{1 \cdot (x+6)}{x \cdot (x+6)} + \frac{1 \cdot x}{(x+6) \cdot x} = \frac{2x^2 6}{x^2 +6x}$
-
Analysiere die Bruchgleichungen.
TippsDie Wachstumsrate ist das Verhältnis:
$\frac{\text{Wachstum}}{\text{Zeit}}$
Beachte bei Zeitverschiebungen das Vorzeichen.
LösungFolgende Gleichungen sind richtig aufgestellt:
- „Franz hat eine Blume gepflanzt. Gespannt beobachtet er das Wachstum der neuen Blätter. In $x$ Tagen wachsen $9$ neue Blätter, vier Tage später sind es bereits $15$. Die Wachstumsrate ist konstant. Du kannst $x$ bestimmen, indem du die Gleichung $\frac{9}{x} = \frac{15}{x+4}$ löst.“ Die Wachstumsrate ist das Verhältnis der neu gewachsenen Blätter zur verstrichenen Zeit. Die Gleichung der Brüche besagt, dass die Rate für beide Zeiträume gleich ist.
- „Franz und Ferdinand bilden ein Team im Kopfrechnen. Franz schafft $12$ Aufgaben in $x$ Minuten. Ferdinand braucht drei Minuten länger für $9$ Aufgaben. Als Team addieren sie ihre Raten und kommen dabei auf durchschnittlich $18$ Aufgaben in $6$ Minuten. Wie lange Franz für $12$ Aufgaben braucht, findest du durch Lösen der Gleichung $\frac{12}{x} + \frac{9}{x+3} = 3$ heraus.“ Franz hat die Aufgabenrate $\frac{12}{x}$, Ferdinand kommt auf $\frac{9}{x+3}$. Die Summe $\frac{12}{x} + \frac{9}{x+3}$ der beiden Raten ist angegeben als $18$ Aufgaben in $6$ Minuten, also $\frac{18}{6}=3$.
- „Franz und Ferdinand probieren ihre neue Stoppuhr-App aus. Sie fahren mit dem Fahrrad beide dieselbe Geschwindigkeit. Franz fährt $300~\text m$ in $x$ Sekunden. Ferdinand fährt $7~\text s$ später los und schafft $260~\text m$. Wie lange Franz gefahren ist, findest du heraus, indem du die Gleichung $\frac{300}{x} = \frac{260}{x+7}$ löst.“ Franz' Geschwindigkeit in $\text{m/s}$ beträgt $\frac{300}{x}$. Ferdinand hat $7~\text s$ weniger Zeit als Franz, da er später losfährt. Seine Geschwindigkeit in $\text{m/s}$ ist daher $\frac{260}{x-7}$. Das Gleichsetzen der Geschwindigkeiten ergibt die Gleichung $\frac{300}{x} = \frac{260}{x-7}$.
- „Ferdinand beobachtet die Raupen auf den Brennnesseln im Garten. Innerhalb von sieben Tagen sind $x$ Schmetterlinge geschlüpft. In den drei folgenden Tagen schlüpfen sechs weitere Schmetterlinge. Da die Schlupfdauer pro Schmetterling konstant ist, kannst du die Anzahl der Schmetterlinge bestimmen, indem du die Gleichung $\frac{7}{x} + \frac{10}{x+6} =2$ löst.“ In den ersten sieben Tagen schlüpfen $x$ Schmetterlinge, in den folgenden drei Tagen schlüpfen sechs Schmetterlinge. Zusammen macht das $x + 6$ Schmetterlinge in $10$ Tagen. Die Dauer pro Schmetterling beträgt $\frac{7}{x}$ für die ersten $7$ Tage. Für die nächsten $3$ Tage kommst du auf $\frac{3}{6}$ und für alle $10$ Tage zusammen auf $\frac{10}{x+6}$. Das Gleichsetzen der Dauer pro Schmetterling liefert die Gleichung $\frac{7}{x} = \frac{10}{x+3}$.
8'883
sofaheld-Level
6'601
vorgefertigte
Vokabeln
7'388
Lernvideos
36'070
Übungen
32'618
Arbeitsblätter
24h
Hilfe von Lehrkräften
Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.
Testphase jederzeit online beenden
Beliebteste Themen in Mathematik
- Römische Zahlen
- Prozentrechnung
- Primzahlen
- Geometrische Lagebeziehungen
- Was ist eine Ecke?
- Rechteck
- Was ist eine Gleichung?
- Pq-Formel
- Binomische Formeln
- Trapez
- Volumen Zylinder
- Umfang Kreis
- Quadrat
- Division
- Raute
- Parallelogramm
- Polynomdivision
- Was Ist Eine Viertelstunde
- Prisma
- Mitternachtsformel
- Äquivalenzumformung
- Grundrechenarten Begriffe
- Größer Kleiner Zeichen
- Dreiecksarten
- Aufbau von Dreiecken
- Quader
- Satz Des Pythagoras
- Dreieck Grundschule
- Erste Binomische Formel
- Kreis
- Trigonometrie
- Trigonometrische Funktionen
- Standardabweichung
- Flächeninhalt
- Volumen Kugel
- Zahlen In Worten Schreiben
- Meter
- Orthogonalität
- Schriftlich Multiplizieren
- Brüche gleichnamig machen
- Brüche Multiplizieren
- Potenzgesetze
- Distributivgesetz
- Flächeninhalt Dreieck
- Rationale Zahlen
- Volumen Berechnen
- Brüche Addieren
- Kongruenz
- Exponentialfunktion
- Exponentialfunktion Beispiel
Das Thema wurde gut erklärt 👍,aber die Aufgabe mit den Zweigen habe ich noch nicht so richtig verstanden.
Team digital macht die besten Lernvideos in Mathe<33 :)
Solche "digitale" Erklärvideos sind viel besser als die, bei denen ein Lehrer erklärt.
viel zu abgehackt und unverständlich
alles ok?
boar, mann diese trottel
umsonst gerechnet ne;
weisste dassisch nischgern reschne? he? Yo