Gebrochen rationale Gleichungen lösen

Gebrochen rationale Gleichungen lösen Übung

• Stelle die Bruchgleichung auf.

  Tipps

  Die Rate des Holzsammelns kannst du wie folgt als Bruch schreiben:

  $\frac{\text{Anzahl gesammelter Holzscheite}}{\text{benötigte Zeit}}$

  Marie pflückt $14$ Blumen in $7$ Minuten, Emma pflückt $12$ Blumen in $6$ Minuten. Die Rate, mit der sie die Blumen pflücken, ist gleich, denn:

  $\frac{14}{7} = \frac{12}{6}$

  Die Gleichung $\frac{14}{7} = \frac{12}{x}$ kannst du lösen, indem du beide Seiten mit beiden Nennern multiplizierst und dann kürzt.

  Lösung

  Die Rate, mit der Jasmin und Großvater Holzscheite sammeln, ist gleich. Jasmin sammelt $10$ Holzscheite in dem unbekannten Zeitraum von $x$ Minuten, ihre Rate beträgt also $\frac{10}{x}$. Großvater braucht $10$ Minuten länger, also $x+10$ Minuten, um $15$ Holzscheite zu sammeln. Seine Rate ist demnach $\frac{15}{x+10}$. Wir setzen die beiden Raten gleich und erhalten die Bruchgleichung:

  $\dfrac{10}{x} = \dfrac{15}{x+10}$

  Um diese Gleichung zu lösen, multiplizieren wir beide Seiten über Kreuz. Das bedeutet: wir multiplizieren den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten und den Zähler des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten. Das ergibt die äquivalente Gleichung:

  $15x = 10x + 100$

  Um diese Gleichung nach $x$ umzustellen, ziehen wir auf beiden Seiten den Term $10x$ ab. So bekommen wir die Gleichung:

  $5x=100$

  Jetzt müssen wir nur noch $x$ isolieren, indem wir durch $5$ dividieren. So erhalten wir das Ergebnis:

  $x=20$

• Ergänze die Termumformung.

  Tipps

  Den Term

  $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}$

  kannst du zu einem Bruch zusammenfassen, indem du beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringst.

  Ein gemeinsamer Nenner ist z.B. das Produkt der beiden einzelnen Nenner.

  Die Gleichung

  $\frac{1}{x^2-1} = \frac{2}{x-1}$

  kannst du lösen, indem du zunächst über Kreuz multiplizierst.

  Lösung

  Um den Term $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6}$ zu einem Bruch zusammenzufassen, gehst du folgendermaßen vor:

  • Erweitere den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten und den zweiten Bruch mit dem Nenner des ersten.

  • Multipliziere die Zähler und Nenner aus.

  • Fasse gleichnamige Brüche zusammen, indem du die Zähler addierst und den Nenner übernimmst.

  Mit diesen Umformungen erhältst du die hier abgebildete Umformung.

• Erschließe äquivalente Gleichungen und ihre Lösungen.

  Tipps

  Bringe zuerst die zu addierenden oder subtrahierenden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, sodass du eine Gleichung erhältst, bei der auf jeder Seite nur ein Bruch steht.

  Die Gleichung

  $\frac{1}{x^2-1} = \frac{2}{x-1}$

  kannst du lösen, indem du zunächst über Kreuz multiplizierst.

  Durch Multiplikation über Kreuz wird aus der Bruchgleichung

  $\frac{1}{x^2-1} = \frac{2}{x-1}$

  die äquivalente Gleichung:

  $2\cdot(x^2-1) = x-1$

  Ihre Normalform ist:

  $0 = x^2 -\frac{1}{2}x +\frac{3}{2}$

  Lösung

  Wir lösen die drei angegebenen Bruchgleichungen:

  Erste Gleichung:

  Wir fassen die Brüche zusammen und erhalten:

  $\frac{2}{x} - \frac{2}{x-1} = \frac{2 \cdot (x-1) - 2x}{x\cdot (x-1)} = \frac{-2}{x^2-x} = -1$

  Wir multiplizieren über Kreuz, formen in die Normalform um und erhalten:

  $x^2-x-2=0$

  Die Lösungen der Gleichung sind $x=-1$ und $x=2$.

  Zweite Gleichung:

  Durch Zusammenfassen der Brüche erhalten wir:

  $\frac{-1}{x+1} + \frac{1}{x} = \frac{-x + x+1}{x \cdot (x+1)} = \frac{1}{x^2 + x} = \frac{1}{2}$

  Das Multiplizieren über Kreuz und Umformen liefert die Normalform:

  $x^2 +x -2=0$

  Die Lösungen dieser Gleichung sind $x=1$ und $x=-2$.

  Dritte Gleichung:

  Zusammenfassen der Brüche liefert:

  $\frac{1}{x+2} + \frac{2}{x+4} = \frac{(x+4) + 2 \cdot (x+2)}{(x+2) \cdot (x+4)} = \frac{3x + 8}{x^2 + 6x + 8}= 1$

  Durch Multiplikation über Kreuz und Umformungen erhalten wir die Normalform:

  $x^2+3x=0$

  Die Lösungen dieser Gleichung sind $x=0$ und $x=-3$.

• Bestimme die Lösungen.

  Tipps

  Überlege, welche Bruchgleichungen sich in lineare Gleichungen umformen lassen.

  Quadratische Gleichungen haben zwei, eine oder keine Lösungen.

  Lösung

  Gebrochen rationale Gleichungen der Form

  $\frac{1}{x} + \frac{a}{x+b} = c$

  mit $a$ und $c$ ungleich Null führen durch Zusammenfassen der Brüche und Multiplikation über Kreuz typischerweise auf quadratische Gleichungen. Dagegen ergibt die Multiplikation über Kreuz einer Gleichung der Form

  $\frac{1}{x} = \frac{a}{x+b}$

  typischerweise eine lineare Gleichung. Diese quadratischen bzw. linearen Gleichungen sind äquivalent zu der ursprünglichen Bruchgleichung und haben daher dieselben Lösungen.

  Mit diesen Überlegungen kannst du die angegebenen Bruchgleichungen lösen. Dabei erhältst du die folgenden Zuordnungen:

  Erste Gleichung

  Für die Gleichung $\frac{4}{x} = \frac{2}{x-1}$ multiplizieren wir über Kreuz und erhalten:

  $4 \cdot (x-1) = 2 \cdot x \Leftrightarrow 4x -4 = 2x \Leftrightarrow 2x -4 =0 \\ \Leftrightarrow x=2$

  Die Gleichung hat also die Lösung $x=2$.

  Zweite Gleichung:

  Bei der Gleichung $\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1}=2$ fassen wir die Brüche zusammen und erhalten:

  $\frac{x-1}{(x+1) \cdot (x-1)} - \frac{x+1}{(x+1) \cdot (x-1)} = \frac{-2}{x^2-1} = 2$

  Wir multiplizieren über Kreuz und erhalten die quadratische Gleichung $2x^2-2 =-2$ bzw. $2x^2 =0$. Diese Gleichung hat nur die Lösung $x=0$.

  Dritte Gleichung:

  Die Gleichung $\frac{1}{3x-1} = \frac{3}{5x-7}$ formen wir durch Multiplikation über Kreuz in die äquivalente Gleichung $9x-3 = 5x-7$ bzw. $4x = -4$ um. Die Gleichung hat die Lösung $x=-1$.

  Vierte Gleichung:

  Wir fassen die Brüche der Gleichung $\frac{1}{x} + \frac{1}{x-6} = \frac{4}{9}$ zusammen und multiplizieren die resultierende Gleichung über Kreuz:

  $\frac{2x-6}{x^2-6x} = \frac{4}{9} \Leftrightarrow 4 \cdot (x^2 -6x) = 9 \cdot (2x-6) \Leftrightarrow x^2 - \frac{21}{2} \cdot x + \frac{27}{2} =0$

  Mit der $p$-$q$-Formel erhalten wir die Lösungen $x_1= \frac{3}{2}$ und $x_2=9$.

  Fünfte Gleichung:

  Bei der Gleichung $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{4}{3}$ erhalten wie durch Zusammenfassen der Brüche und Multiplikation über Kreuz:

  $\frac{2x+2}{x^2+2x} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow 4 \cdot (x^2+2x) = 3 \cdot (2x+2) \Leftrightarrow x^2 + \frac{3}{2} \cdot x - \frac{3}{2}$

  Die Gleichung hat die Lösungen $x_1= -\frac{3}{2}$ und $x_2=1$.

• Bestimme die Bruchgleichungen.

  Tipps

  Den Term $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x}$ kannst du zu einem Bruch zusammenfassen. Dazu bringst du die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.

  Ein gemeinsamer Nenner ist z.B. das Produkt der beiden einzelnen Nenner:

  $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x}=\frac{1\cdot x}{(x+1)\cdot x} + \frac{2\cdot (x+1)}{x\cdot (x+1)}$

  Achte beim Ausmultiplizieren auf das Distributivgesetz:

  $\frac{2 \cdot (x+1)}{x\cdot (x+1)} = \frac{2x+2}{x^2+x}$

  Lösung

  Ein gemeinsamer Nenner für zwei Brüche ist z.B. das Produkt der beiden Nenner. Durch Erweiterung mit dem Nenner des jeweils anderen Bruchs kannst du verschiedene Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Achte beim Ausmultiplizieren und Zusammenfassen auf das Distributivgesetz.

  Folgende Gleichungen sind richtig:

  • $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} = \frac{1 \cdot (x+6)}{x \cdot (x+6)} + \frac{1 \cdot x}{(x+6) \cdot x}$

  • $\frac{1 \cdot x}{(x+6) \cdot x} = \frac{x}{x^2 +6x}$

  • $\frac{1 \cdot (x+6)}{x \cdot (x+6)} = \frac{x+6}{x^2 +6x}$

  Diese Gleichungen dagegen sind falsch:

  • $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} = \frac{2}{2x+6}$

  • $\frac{1 \cdot x}{(x+6) \cdot x} = \frac{x}{x^2 +6}$

  • $\frac{1 \cdot (x+6)}{x \cdot (x+6)} = \frac{x+6}{x^2 +6}$

  • $\frac{1 \cdot (x+6)}{x \cdot (x+6)} + \frac{1 \cdot x}{(x+6) \cdot x} = \frac{2x^2 6}{x^2 +6x}$

• Analysiere die Bruchgleichungen.

  Tipps

  Die Wachstumsrate ist das Verhältnis:

  $\frac{\text{Wachstum}}{\text{Zeit}}$

  Beachte bei Zeitverschiebungen das Vorzeichen.

  Lösung

  Folgende Gleichungen sind richtig aufgestellt:

  • „Franz hat eine Blume gepflanzt. Gespannt beobachtet er das Wachstum der neuen Blätter. In $x$ Tagen wachsen $9$ neue Blätter, vier Tage später sind es bereits $15$. Die Wachstumsrate ist konstant. Du kannst $x$ bestimmen, indem du die Gleichung $\frac{9}{x} = \frac{15}{x+4}$ löst.“ Die Wachstumsrate ist das Verhältnis der neu gewachsenen Blätter zur verstrichenen Zeit. Die Gleichung der Brüche besagt, dass die Rate für beide Zeiträume gleich ist.

  • „Franz und Ferdinand bilden ein Team im Kopfrechnen. Franz schafft $12$ Aufgaben in $x$ Minuten. Ferdinand braucht drei Minuten länger für $9$ Aufgaben. Als Team addieren sie ihre Raten und kommen dabei auf durchschnittlich $18$ Aufgaben in $6$ Minuten. Wie lange Franz für $12$ Aufgaben braucht, findest du durch Lösen der Gleichung $\frac{12}{x} + \frac{9}{x+3} = 3$ heraus.“ Franz hat die Aufgabenrate $\frac{12}{x}$, Ferdinand kommt auf $\frac{9}{x+3}$. Die Summe $\frac{12}{x} + \frac{9}{x+3}$ der beiden Raten ist angegeben als $18$ Aufgaben in $6$ Minuten, also $\frac{18}{6}=3$.

  Diese Gleichungen dagegen sind falsch:

  • „Franz und Ferdinand probieren ihre neue Stoppuhr-App aus. Sie fahren mit dem Fahrrad beide dieselbe Geschwindigkeit. Franz fährt $300~\text m$ in $x$ Sekunden. Ferdinand fährt $7~\text s$ später los und schafft $260~\text m$. Wie lange Franz gefahren ist, findest du heraus, indem du die Gleichung $\frac{300}{x} = \frac{260}{x+7}$ löst.“ Franz' Geschwindigkeit in $\text{m/s}$ beträgt $\frac{300}{x}$. Ferdinand hat $7~\text s$ weniger Zeit als Franz, da er später losfährt. Seine Geschwindigkeit in $\text{m/s}$ ist daher $\frac{260}{x-7}$. Das Gleichsetzen der Geschwindigkeiten ergibt die Gleichung $\frac{300}{x} = \frac{260}{x-7}$.

  • „Ferdinand beobachtet die Raupen auf den Brennnesseln im Garten. Innerhalb von sieben Tagen sind $x$ Schmetterlinge geschlüpft. In den drei folgenden Tagen schlüpfen sechs weitere Schmetterlinge. Da die Schlupfdauer pro Schmetterling konstant ist, kannst du die Anzahl der Schmetterlinge bestimmen, indem du die Gleichung $\frac{7}{x} + \frac{10}{x+6} =2$ löst.“ In den ersten sieben Tagen schlüpfen $x$ Schmetterlinge, in den folgenden drei Tagen schlüpfen sechs Schmetterlinge. Zusammen macht das $x + 6$ Schmetterlinge in $10$ Tagen. Die Dauer pro Schmetterling beträgt $\frac{7}{x}$ für die ersten $7$ Tage. Für die nächsten $3$ Tage kommst du auf $\frac{3}{6}$ und für alle $10$ Tage zusammen auf $\frac{10}{x+6}$. Das Gleichsetzen der Dauer pro Schmetterling liefert die Gleichung $\frac{7}{x} = \frac{10}{x+3}$.