Bruchgleichungen lösen (Übungsvideo)

Bruchgleichungen lösen (Übungsvideo) Übung

• Vervollständige den Text zu Bruchgleichungen.

  Tipps

  Gleichungen beinhalten auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens einen oder mehrere Terme.

  Die Bruchgleichung wird durch Multiplikation aufgelöst. Dabei spielt eine entscheidende Rolle, was unter den jeweiligen Bruchstrichen steht.

  Bei der kurzen Variante wird zur Berechnung einer Bruchgleichung diagonal gerechnet.

  Lösung

  Ein Bruch gibt einen Bruchteil an und besteht aus einem Zähler und Nenner, welche durch einen Bruchstrich voneinander getrennt werden. Der Zähler steht oberhalb des Bruchstrichs, der Nenner unterhalb. Bei einem Bruchterm tritt im Nenner des Bruchs eine Variable auf. Sind Bruchterme in Gleichungen zu finden, so spricht man dabei von Bruchgleichungen.
  
  Lösen von Bruchgleichungen

  Möglichkeit 1: Zum Lösen von Bruchgleichungen können wir die Gleichung mit den Nennern der Bruchterme multiplizieren, kürzen und ausrechnen:

  Beispiel

  $\begin{array}{rcll} \frac{4}{x-4} &= &2& | \cdot (x-4) \\ \\ \frac{4 \cdot (x-4)}{x-4} &=& 2 \cdot (x-4)& \\ \\ 4 &=& 2x - 8 & |+8 \\ \\ 12 &=& 2x & | :2\\ \\ x &=& 6& \\ \end{array}$

  
  Möglichkeit 2: Es gibt auch eine schnelle Variante. Dabei können wir die Bruchterme in der Gleichung überkreuz multiplizieren:

  Beispiel

  $\begin{array}{rclll} \frac{{\color{magenta}{10}}}{{\color{blue}{x}}} & =& \frac{{\color{blue}{8}}}{{\color{magenta}{x-2}}}&& \\ \\ {\color{magenta}{10 \cdot (x - 2)}}&=& {\color{blue}{8 \cdot x}}&& \\ \\ 10 \cdot x - 20 &=& 8 \cdot x &|-8x& |+20 \\ \\ 10 \cdot x - 8 x &= &20 &&\\ \\ x &= &10&& \\ \end{array}$

• Ermittle die richtigen Definitionsbereiche.

  Tipps

  Die Definitionsmenge gibt an, für welche möglichen Zahlen die Aussage erfüllbar ist.

  Bei einem Bruchterm darf der Nenner niemals $0$ sein.

  Beispiel:

  $6 = \frac{2}{x-7}$
  

  Es gilt: $x \in \mathbb{R} \backslash \lbrace 7 \rbrace$, da für $x=7$ der Nenner gleich 0 ergibt.

  Lösung

  In der Mathematik versteht man unter dem Definitionsbereich genau die Zahlenmengen, welche du für die Variablen deiner Bruchterme einsetzen darfst. In einer normalen Gleichung kannst du für die Variable die Lösungsmenge ganz einfach berechnen und bestimmen, soweit es eine Lösung gibt. Der Definitionsbereich ist da meist nicht notwendig.
  Ganz anders sieht es bei Bruchtermen und Bruchgleichungen aus. Hier musst du genau hinschauen und Zahlen aus dem Definitionsbereich ausschließen, durch welche, in die Gleichung eingesetzt, der Nenner gleich $0$ ist. Denn durch $0$ darf man nicht teilen.

  Folgende Lösungen sind also korrekt:
  
  

  • $ \frac{2}{x-3} = 1$ mit $x \in \mathbb{R} \backslash \lbrace 3 \rbrace$, da für $x=3$ der Nenner gleich 0 ergibt.

  
  

  • $\frac{1}{x-3} = -\frac{2}{8-x}$ mit $x \in \mathbb{R} \backslash \lbrace 3;8 \rbrace$, da für $x=3$ und $x=8$ der Nenner gleich 0 ergibt.

  
  

  • $ \frac{4}{x-3} = \frac{8}{x}$ mit $x \in \mathbb{R} \backslash \lbrace 3;0 \rbrace$, da für $x=3$ und $x=0$ der Nenner gleich 0 ergibt.

  
  

  • $\frac{2}{6-x} = \frac{5}{1+x}$ mit $x \in \mathbb{R} \backslash \lbrace 6;-1 \rbrace$, da für $x=6$ und $x=-1$ der Nenner gleich 0 ergibt.

  
  

• Löse Schritt für Schritt die Bruchgleichung auf.

  Tipps

  Um eine Bruchgleichung zu lösen, ist es oft sinnvoll, die gesamte Gleichung mit dem Nenner zu multiplizieren.

  Lösung

  Gegeben ist eine Bruchgleichung. Sind Bruchterme in einer Gleichung zu finden, so spricht man von einer Bruchgleichung. Bruchgleichungen können ganz einfach gelöst werden. Entweder man multipliziert die Gleichung mit den Nennern der Bruchterme und löst diese somit auf, oder man rechnet die Bruchterme überkreuz und multipliziert dabei den Zähler mit dem Nenner des anderen Bruchterms und den Nenner mit dem Zähler des anderen Bruchterms.
  
  In diesem Fall berechnen wir die Bruchgleichung, in dem wir die Gleichung mit dem Nenner $(x-4)$ multiplizieren. Dabei wird auf beiden Seiten der Gleichung mit $(x-4)$ multipliziert. Anschließend können wir die Gleichung vereinfachen und das Ergebnis für $x$ berechnen:

  $\begin{array}{rcll} \frac{4}{x-4} &= &2& | \cdot {\color{red}{(x-4)}} \\ \\ \frac{4 \cdot {\color{red}{(x-4)}}}{x-4} &=& 2 \cdot {\color{red}{(x-4)}}& \\ \\ 4 &=& 2x - 8 & |+8 \\ \\ 12 &=& 2x & | :2\\ \\ x &=& 6& \\ \end{array}$

• Berechne die Bruchgleichung durch Multiplikation überkreuz.

  Tipps

  Aus dem Definitionsbereich $\mathbb{D}$ müssen jene Zahlen ausgeschlossen werden, welche die Nenner der Bruchterme gleich Null setzen.

  Um zur Lösungsmenge zu gelangen, werden die Brüche diagonal miteinander multipliziert.

  Lösung

  Die Bruchgleichung $\frac{10}{x} = \frac{8}{x-2}$ hat die Definitionsmenge $x \in \mathbb{R} \backslash \lbrace 0;2 \rbrace$. Das bedeutet, dass für $x$ alle reellen Zahlen $(\mathbb{R})$ möglich sind, jedoch die Zahlen $2$ und $0$ aus dieser Definitionsmenge ausgeschlossen sind, da sonst der Nenner des jeweiligen Bruchs $0$ ergibt.
  

  Um die Lösungsmenge herauszufinden, multiplizieren wir die beiden Bruchterme überkreuz. Der Zähler eines Bruchterms wird dabei mit dem jeweiligen Nenner des zweiten Bruchterms multipliziert. Anschließend kann die Gleichung nach $x$ aufgelöst und das Ergebnis ausgerechnet werden:
  
  

  $\begin{array}{rclll} \frac{{\color{magenta}{10}}}{{\color{blue}{x}}} & =& \frac{{\color{blue}{8}}}{{\color{magenta}{x-2}}}&& \\ \\ {\color{magenta}{10 \cdot (x - 2)}}&=& {\color{blue}{8 \cdot x}}&& \\ \\ 10 \cdot x - 20 &=& 8 \cdot x &|-8x& |+20 \\ \\ 10 \cdot x - 8 x &= &20 &&\\ \\ x &= &10&& \\ \end{array}$

• Entscheide, welche Angaben Bruchterme und welche Bruchgleichungen sind.

  Tipps

  Wir sprechen von einem Bruchterm, wenn im Nenner eine Variable auftritt.

  Wenn Bruchterme in Gleichungen auftauchen, handelt es sich um Bruchgleichungen.

  Eine Gleichung ist ein mathematischer Ausdruck, die aus zwei Termen besteht. Diese Terme sind durch ein Gleichheitszeichen verbunden.

  Lösung

  Brüche bestehen aus einem Zähler und einem Nenner, welche mit einem Bruchstrich voneinander getrennt sind. Ist im Nenner eine Variable zu finden, so spricht man von einem Bruchterm. Dabei ist es nicht notwendig, dass auch im Zähler eine Variable zu finden ist. Das kann aber auch zusätzlich vorkommen. Sind Bruchterme in einer Gleichung zu finden, so spricht man von einer Bruchgleichung.

  Folgende Aussagen sind also Bruchterme:
  
  

  • $\frac{3}{x-2}$

  
  

  • $\frac{14}{x}$

  
  

  • $\frac{2x-3}{x+4}$

  
  

  Folgende Aussagen sind demnach Bruchgleichungen:
  
  

  • $\frac{10}{x} = \frac{8}{x-2}$

  
  

  • $\frac{3}{4} = \frac{10}{x}$

  
  

  • $\frac{12}{x-5} = \frac{4}{x+3}$

  
  

• Prüfe die Aussagen zu Bruchtermen und Bruchgleichungen.

  Tipps

  Beim Rechnen überkreuz werden die Brüche aufgelöst und in ein Produkt verwandelt.

  Die Definitionsmenge definiert die Grundmenge an Zahlen, für welche die Aussage erfüllbar ist. Bei Bruchgleichungen müssen hinsichtlich des Nenners bestimmte Zahlen von der Definitionsmenge ausgeschlossen werden.

  Die Lösungsmenge enthält alle Zahlen, welche du für $x$ einsetzen kannst, um die Gleichung zu lösen.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind korrekt:
  
  

  • Die Definitionsmenge gibt an, für welche möglichen Zahlen die Aussage erfüllbar ist. Das ist richtig, da die Definitionsmenge alle Zahlen beinhaltet, für welche die Funktion definiert werden kann. Bei Bruchtermen und Bruchgleichungen müssen alle Zahlen von der Definitionsmenge ausgeschlossen werden, welche die Nenner der Brüche 0 setzen.

  • Um Bruchgleichungen zu lösen, kann man die Gleichungen mit dem Nenner der Bruchterme multiplizieren und ausrechnen.

  
  

  Falsch sind:
  
  

  • Um Bruchgleichungen zu berechnen, werden die Zähler und Nenner der Bruchterme überkreuz miteinander addiert. Das ist falsch, da man die Bruchterme überkreuz multipliziert.

  • Die Lösungsmenge kann auch als Definitionsmenge bezeichnet werden. Das ist falsch, da die Lösungsmenge jene Zahlen enthält, welche man für $x$ einsetzen kann, sodass die Gleichung gelöst ist. Die Definitionsmenge hingegen definiert die gesamte Grundmenge an Zahlen, welche für $x$ möglich sind.

  • Bruchterme müssen im Zähler und Nenner mindestens eine Variable aufweisen. Das ist falsch, da lediglich im Nenner eine Variable vorkommen muss.