Gleichungsumformungen in Potenz- und Bruchgleichungen

Gleichungsumformungen in Potenz- und Bruchgleichungen Übung

• Berechne die weiteren Lösungen der Gleichung mittels Polynomdivision.

  Tipps

  Im ersten Schritt teilst du $x^3$ durch $x$ und schreibst den Quotienten in die Ergebniszeile.

  Um die beiden Lösungen zu bestimmen, musst du die Wurzel ziehen.

  Lösung

  Die erste Lösung der kubischen Gleichung $x^3-4x=x^2-4$ ist gegeben durch $x_1=1$. Um die übrigen beiden Lösungen zu bestimmen, teilen wir die Gleichung durch $(x-x_1)$, also durch den Term $(x-1)$. Wir erhalten dann die hier abgebildete Polynomdivision.

  Das Ergebnis ist eine quadratische Gleichung, die wir durch einfaches Umstellen und Wurzelziehen lösen können. Es folgt:

  $\begin{array}{llll} x^2-4 &=& 0 & \vert +4 \\ x^2 &=& 4 & \vert \sqrt{\quad} \\ \\ x_2 &=& +2 & \\ x_3 &=& -2 & \end{array}$

  Die kubische Gleichung $x^3-4x=x^2-4$ hat damit die drei Lösungen $x_1=1$, $x_2 = 2$ und $x_3 = -2$.

• Bestimme den Definitionsbereich der Bruchgleichung und überführe sie in eine kubische Gleichung.

  Tipps

  Du kannst zwei Brüche nur addieren, wenn sie gleichnamig sind. Andernfalls musst du sie zuerst auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen.

  Es gilt:

  $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

  Lösung

  Bei Bruchgleichungen muss im ersten Schritt der Definitionsbereich bestimmt werden. Dieser wird nämlich durch den Term im Nenner eingeschränkt, denn dieser darf niemals null werden. Den Definitionsbereich der hier betrachteten Bruchgleichung erhalten wir, indem wir die $x$-Werte bestimmen, für die die beiden Nenner null werden:

  $x+1=0$ für $x=-1$
  $x+2=0$ für $x=-2$

  Damit lautet der Definitionsbereich:

  $D=\mathbb{R}\backslash\lbrace -2;-1\rbrace$

  Nun wird die Bruchgleichung durch Umstellen in eine kubische Gleichung überführt. Um die Bruchgleichung zu vereinfachen, werden die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Hauptnenner gebracht. Hierzu wird der erste Bruch mit $\dfrac {x+1}{x+1}$ und der zweite Bruch mit $\dfrac {x+2}{x+2}$ erweitert. Anschließend kann addiert werden. Dann ergibt sich folgende Rechnung:

  $\begin{array}{lll} \dfrac {(x^2+x-2)(x+1)}{(x+2)(x+1)}+\dfrac{6(x+2)}{(x+1)(x+2)} &=& 3 \\ \\ \dfrac {(x^2+x-2)(x+1)+6(x+2)}{(x+1)(x+2)} &=& 3 \end{array}$

  Als Nächstes wird die Gleichung mit $(x+1)(x+2)$ multipliziert. Dann werden die Klammern ausmultipliziert und gleichartige Terme werden zusammengefasst. Die resultierende Gleichung lautet dann:

  $\begin{array}{llll} (x^2+x-2)(x+1)+6(x+2) &=& 3(x+1)(x+2) & \\ x^3+x^2+x^2+x-2x-2+6x+12 &=& 3x^2+6x+3x+6 & \\ x^3+2x^2+5x+10 &=& 3x^2+9x+6 & \vert -3x^2 \\ x^3-x^2+5x+10 &=& 9x+6 & \vert -9x \\ x^3-x^2-4x+10 &=& 6 & \vert -6 \\ x^3-x^2-4x+4 &=& 0 & \end{array}$

  Die Bruchgleichung wurde in eine kubische Gleichung überführt.

• Ermittle die Definitionsbereiche der Bruchgleichungen und überführe sie in die Normalform quadratischer Gleichungen.

  Tipps

  Du musst alle Zahlen aus dem Definitionsbereich ausschließen, für die der Nenner einer Bruchgleichung null wird.

  Um zwei Brüche zu addieren, musst du diese erst gleichnamig machen.

  Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet:

  $x^2+px+q=0$

  Lösung

  Die Definitionsbereiche der Bruchgleichungen enthalten alle Werte, die $x$ annehmen darf. Wir müssen daher alle Zahlen aus dem Definitionsbereich ausschließen, für die ein Nenner der Bruchgleichung null wird.

  Anschließend stellen wir alle Bruchgleichungen so um, dass wir jeweils eine quadratische Gleichung erhalten.

  Beispiel 1

  $\dfrac 1x+\dfrac2{x+2}=1$

  Der Nenner des ersten Bruchs wird für $x=0$ null. Der Nenner des zweiten Bruchs ist null für $x=-2$. Damit können wir den Definitionsbereich wie folgt angeben:

  $D=\mathbb{R}\backslash\lbrace-2;0\rbrace$

  Nun stellen wir die Gleichung wie folgt um:

  $\begin{array}{llll} \dfrac 1x+\dfrac2{x+2} &=& 1 & \\ \\ \dfrac {1\cdot (x+2)}{x\cdot (x+2)}+\dfrac{2\cdot x}{(x+2)\cdot x} &=& 1 & \\ \\ \dfrac {2+3x}{x^2+2x} &=& 1 & \vert \cdot (x^2+2x) \\ \\ 2+3x &=& x^2+2x & \vert -3x \\ \\ 2 &=& x^2-x & \vert -2 \\ \\ 0 &=& x^2-x-2 & \\ \end{array}$

  Beispiel 2

  $\dfrac {10}{x(x+1)}=5$

  Der Term $x(x+1)$ wird für $x=0$ und $x=-1$ null. Der Definitionsbereich wird wie folgt angegeben:

  $D=\mathbb{R}\backslash\lbrace-1;0\rbrace$

  Die Gleichung können wir wie folgt umstellen:

  $\begin{array}{llll} \dfrac {10}{x(x+1)} &=& 5 & \vert \cdot x(x+1) \\ \\ 10 &=& 5x(x+1) & \\ \\ 10 &=& 5x^2+5x & \vert -10 \\ \\ 0 &=& 5x^2+5x-10 & \vert :5 \\ \\ 0 &=& x^2+x-2 & \\ \end{array}$

  Beispiel 3

  $\dfrac {9}{3x^2-12}=-1$

  Aus dem Definitionsbereich schließen wir alle Lösungen der Gleichung $3x^2-12=0$ aus. Diese sind $2$ und $-2$. Also gilt:

  $D=\mathbb{R}\backslash\lbrace-2;2\rbrace$

  Die Gleichung können wir wie folgt umstellen:

  $\begin{array}{llll} \dfrac {9}{3x^2-12} &=& -1 & \vert \cdot (3x^2-12) \\ \\ 9 &=& -3x^2+12 & \vert +3x^2 \\ \\ 3x^2 + 9 &=& 12 & \vert -12 \\ \\ 3x^2 -3 &=& 0 & \vert :3 \\ \\ x^2 -1 &=& 0 & \\ \end{array}$

• Erschließe mittels Polynomdivision die übrigen beiden Lösungen der kubischen Gleichung.

  Tipps

  $~~~~\scriptsize{(5x^3+15x^2-40x+20):(x-1)=5x^2+20x-20} \\ -\scriptsize{(5x^3~-~5x^2)} \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~\scriptsize{20x^2-40x} \\ ~~~~~~~~~~~~\scriptsize{-(20x^2-20x)} \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-\scriptsize{20x+20} \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\scriptsize{-(-20x+20)} \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\scriptsize{0}$

  Teile im ersten Schritt $5x^3$ durch $x$ und schreibe den Quotienten in die Ergebniszeile.

  Nutze die $pq$-Formel:

  $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

  Lösung

  Die erste Lösung der kubischen Gleichung $5x^3 + 15x^2 - 40x + 20=0$ ist gegeben durch $x_1=1$. Um die übrigen beiden Lösungen zu bestimmen, teilen wir die Gleichung durch $(x-x_1)$, also durch den Term $(x-1)$. Wir erhalten dann die hier abgebildete Polynomdivision.

  Das Ergebnis ist eine quadratische Gleichung, die wir mithilfe der $pq$-Formel lösen:

  $\begin{array}{lll} x_{1,2} &=& -\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} \\ \\ x_{1,2} &=& -\frac 42\pm\sqrt{\left(\frac 42\right)^2-(-4)} \\ \\ x_{1,2} &=& -2\pm\sqrt{8} \\ \\ x_{1,2} &=& -2\pm\sqrt{4\cdot 2} \\ \\ x_{1,2} &=& -2\pm2\sqrt{2} \\ \end{array}$

  Die kubische Gleichung $5x^3 + 15x^2 - 40x + 20=0$ hat damit die drei Lösungen $x_1=1$, $x_2 = -2+2\sqrt{2}$ und $x_3 = -2-2\sqrt{2}$.

• Gib die Lösungen der quadratischen Gleichung an.

  Tipps

  Bringe die Gleichung in die Normalform: $~x^2+px+q=0$.

  Ermittle die Lösungen mithilfe der $pq$-Formel:

  $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

  Lösung

  Wir überführen die Gleichung zunächst in die Normalform $x^2+px+q=0$. Wir erhalten folgende Rechnung:

  $\begin{array}{llll} 2x^2-2x &=& 4 & \vert -4 \\ 2x^2-2x-4 &=& 0 & \vert :2 \\ x^2-x-2 &=& 0 & \end{array}$

  Jetzt setzen wir $p=-1$ und $q=-2$ in die $pq$-Formel ein:

  $\begin{array}{lll} x_{1,2} &=& -\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} \\ \\ x_{1,2} &=& -\frac {-1}2\pm\sqrt{\left(\frac {-1}2\right)^2-(-2)} \\ \\ x_{1,2} &=& \frac 12\pm\sqrt{\frac 14+2} \\ \\ x_{1,2} &=& \frac 12\pm\sqrt{\frac 94} \\ \\ x_{1,2} &=& \frac 12\pm\frac 32 \\ \\ x_1 &=& \frac 12+\frac 32 = 2 \\ \\ x_2 &=& \frac 12-\frac 32 = -1 \end{array}$

  Die quadratische Gleichung besitzt also die Lösungen $x_1=2$ und $x_2=-1$.

• Bestimme die Lösungen der Bruchgleichung.

  Tipps

  Beachte, welche Werte $x$ nicht annehmen darf. Diese dürfen nicht in der Lösungsmenge vorkommen.

  Durch Umstellen der Bruchgleichung erhältst du eine quadratische Gleichung, die du mittels $pq$-Formel lösen kannst.

  Lösung

  Wir betrachten folgende Bruchgleichung:

  $\dfrac{7}{x+2}=\dfrac{6x-8}{x(x+2)}$

  Zuerst bestimmen wir ihren Definitionsbereich. Es muss Folgendes gelten:

  $\begin{array}{lll} x+2\neq 0 & \rightarrow & x\neq -2\\ \\ x(x+2)\quad & \rightarrow & x\neq -2 \enspace\text{u.}\enspace x\neq 0\\ \end{array}$

  Der Definitionsbereich lautet dann: $~D=\mathbb{R}\backslash\lbrace -2;0\rbrace$

  Nun können wir die Gleichung umstellen:

  $\begin{array}{llll} \dfrac{7}{x+2} &=& \dfrac{6x-8}{x(x+2)} & \vert \cdot (x+2) \quad \vert \cdot x(x+2)\\ \\ 7x(x+2) &=& (6x-8)(x+2) & \\ \\ 7x^2+14x &=& 6x^2+12x-8x-16 & \\ \\ 7x^2+14x &=& 6x^2+4x-16 & \vert -6x^2 \\ \\ x^2+14x &=& 4x-16 & \vert -4x \\ \\ x^2+10x &=& -16 & \vert +16 \\ \\ x^2+10x + 16 &=& 0 & \\ \end{array}$

  Mit der $pq$-Formel folgt:

  $\begin{array}{lll} x_{1,2} &=& -5\pm\sqrt{25-16} \\ x_{1,2} &=& -5\pm\sqrt{9} \\ x_{1,2} &=& -5\pm 3 \\ \\ x_1 &=& -2 \\ x_2 &=& -8 \end{array}$

  Da $x_1=-2$ nicht im Definitionsbereich liegt, ist nur $x_2=-8$ die Lösung der Bruchgleichung: $\mathbb{L}=\lbrace-8\rbrace$