Exponentielle Wachstumsvorgänge – Modellierung

Exponentielle Wachstumsvorgänge – Modellierung Übung

• Beschrifte die exponentielle Funktionsgleichung.

  Tipps

  Bei vielen Funktionen gelten ähnliche Zusammenhänge:

  Eine Funktionsgleichung beinhaltet fast immer eine bestimmende sowie eine davon abhängige Größe. Die bestimmende, veränderliche Größe wird meist als x und die abhängige Größe als $f(x)$ bezeichnet.

  Die feststehenden Größen eines Wachstums, wozu auch der Anfangswert und der Wachstumsfaktor zählen, bezeichnet man als Parameter. Diesen Größen wird in der allgemeinen Grundformel meist ein beliebiger Buchstabe des Alphabets zugeordnet.

  Wenn du $x=0$ in die Funktionsgleichung einsetzt, erhältst du den Anfangswert.

  Lösung

  Bei dem Parameter $c$ handelt es sich immer um den Anfangswert eines Wachstums zum Zeitpunkt $x=0$. Das ist also immer der Wert, der zum Beobachtungsbeginn vorhanden ist.

  Der Parameter $a$ ist der Wachstumsfaktor. Dieser Faktor bestimmt das Ausmaß des Wachstums und legt fest, ob es sich um eine exponentielle Abnahme oder Zunahme handelt. Sofern es sich um eine Zunahme handelt, kannst du dir Folgendes merken: Je größer $a$, desto stärker ist auch das Wachstum.

  Das Argument $x$ verwendest du bei Wachstumsprozessen für die Zeit. Aber Achtung: Bei der Angabe von feststehenden Zeitdaten in Sachaufgaben, wie zum Beispiel bei der Jahreszahl 2015, musst du diese zuerst in eine Zeitspanne umrechnen, deren Beginn der Ausgangszeitpunkt markiert.

  Der Funktionswert $f(x)$ ist Ergebnis des Wachstums zu einer bestimmten Zeit $x$. Der Funktionswert wird also nur von der Zeit bestimmt, da der Wachtumsfaktor $a$ und der Anfangswert $c$ feststehende Größen sind.

• Bestimme die exponentielle Gleichung für das Wachstum einer Hasenpopulation sowie die Anzahl der Hasen nach 36 Monaten.

  Tipps

  Der Aufgabenstellung kannst du zwei Datenpaare entnehmen: $(0|4)$ und $(18|16)$.

  Setze dann die Datenpaare $(x|f(x))$ jeweils in die Grundform der exponentiellen Gleichung $f(x)=c \cdot a^{x}$ ein, sodass du zwei Gleichungen mit den Parametern $c$ und $a$ als gesuchte Größen erhältst.

  Dieses Gleichungssystem kannst du nun lösen. Es ergeben sich als Lösungen die Parameter $c$ und $a$. Wenn du diese zurück in die Grundgleichung setzt, erhältst du die passende exponentielle Funktionsgleichung.

  Wenn du $x=36$ in die entstandene Gleichung einsetzt, kannst du die gesuchte Anzahl berechnen.

  Lösung

  Wir lösen die Aufgabe in vier Schritten:

  1. Datenpaare in exponentielle Grundgleichung einsetzen

  Die zwei Datenpaare $(0|4)$ und $(18|16)$ werden in die Grundform der exponentiellen Gleichung $f(x)=c \cdot a^{x}$ eingesetzt, sodass zwei Gleichungen entstehen: (1) $4=c \cdot a^{0}$ und (2) $16=c \cdot a^{18}$

  2. Parameter aus Gleichungssystem bestimmen

  Gleichung (1) ist einfach zu lösen, da $a^{0}=1$ ergibt. Somit ergibt sich für Gleichung (1) als Lösung $c=4$. Nun kannst du die Lösung der Gleichung (1) in Gleichung (2) einsetzen. Es entsteht die Gleichung $16=4 \cdot a^{18}$, die du durch äquivalente Umformung nach dem Parameter a umstellen kannst (siehe Abbildung). Dann erhältst du als Lösung $a\approx1,08$.

  3. Parameter in exponentielle Grundgleichung einsetzen

  Wenn du nun die Parameter c und a in die Grundform einsetzt, erhältst du die passende exponentielle Gleichung für das Wachstum der Hasenpopulation: $f(x)=4 \cdot 1,08^{x}$

  4. x-Wert in Funktionsgleichung einsetzen

  Um die Anzahl der Hasen nach 36 Wochen zu bestimmen, musst du nur noch die Zeitspanne mit $x=36$ einsetzen und schon ergibt sich die gesuchte Größe: $f(36)=4 \cdot 1,08^{36}\approx 64$

• Analysiere die exponentiellen Wachstumsprozesse.

  Tipps

  Eine Funktionsgleichung beinhaltet fast immer eine bestimmende sowie eine davon abhängige Größe: x und $f(x)$. Diese werden auch als Argument und Funktionswert bezeichnet. Diese Größen sind veränderlich.

  Die feststehenden Größen eines Wachstums, wozu auch der Anfangswert c und der Wachstumsfaktor a zählen, bezeichnet man als Parameter. Diese Größen bestimmen den Anfangspunkt des Wachstums und dessen Stärke.

  Lösung

  Der Parameter a ist der Wachstumsfaktor. Dieser Faktor bestimmt das Ausmaß des Wachstums und legt fest, ob es sich um eine exponentielle Abnahme oder Zunahme handelt. Bei Sachaufgaben kannst du diesen Faktor häufig leicht identifizieren, da oft die Rede von einer „Verdoppelung”, „Verdreifachung” oder vom „4-fachen” ist.

  Der Parameter c bezeichnet den Anfangswert eines Wachstums zum Zeitpunkt $x=0$. Das ist also immer der Wert, der zum Beobachtungs- bzw. Versuchsbeginn vorhanden ist.

  Das Argument x verwendest du bei Wachstumsprozessen in der Regel für die Zeitspanne. Bei der Angabe von feststehenden Zeitdaten in Sachaufgaben, wie zum Beispiel bei der Monatsangabe „Mai 2014”, musst du diese zuerst in eine geeignete Zeitspanne umrechnen.

  Der Funktionswert $f(x)$ ist Ergebnis des Wachstums nach einer bestimmten Zeitspanne x. Der Funktionswert wird also nur von der Zeit bestimmt, da der Wachtumsfaktor a und der Anfangswert c feststehende Größen sind.

  In den Aufgabentexten waren alle Größen der exponentiellen Gleichung vorgegeben. Üblicherweise wird jedoch mindestens eine dieser Größen fehlen, die du dann rechnerisch ermiteln musst.

• Ermittle die Anzahl der Bakterien nach zwei Wochen.

  Tipps

  Um die Anzahl der Bakterien nach zwei Wochen zu berechnen, ist es zunächst erforderlich, eine exponentielle Gleichung zu ermitteln, die diesen Wachstumsprozess beschreibt.

  Als Datenpaare für die Ermittlung der Parameter der exponentiellen Funktion kannst du $(0|5)$ und $(8|52)$ verwenden.

  Setze dann die Datenpaare jeweils in die Grundform der exponentiellen Gleichung $f(x)=c \cdot a^{x}$ ein. Das Gleichungssystem kannst du lösen und anschließend die Parameter c und a zurück in die Grundgleichung einsetzen. Fertig ist die passende exponentielle Funktionsgleichung.

  Wenn du die gesuchte Zeit in die entstandene Gleichung einsetzt, kannst du die gesuchte Anzahl berechnen. Aber Vorsicht bei der Einheit: Du musst Wochen vorher in Tage umrechnen.

  Lösung

  Wir lösen die Aufgabe in vier Schritten:

  1. Datenpaare in exponentielle Grundgleichung einsetzen

  Die zwei Datenpaare $(0|5)$ und $(8|52)$ werden in die Grundform der exponentiellen Gleichung $f(x)=c \cdot a^{x}$ eingesetzt, sodass zwei Gleichungen entstehen: (1) $5=c \cdot a^{0}$ und (2) $52=c \cdot a^{8}$

  2. Parameter aus Gleichungssystem bestimmen

  Gleichung (1) ist einfach zu lösen, da $a^{0}=1$ ergibt. Somit ergibt sich für Gleichung (1) als Lösung $c=5$. Nun kannst du die Lösung der Gleichung (1) in Gleichung (2) einsetzen. Es entsteht die Gleichung $52=5 \cdot a^{8}$, die du durch äquivalente Umformung nach dem Parameter a umstellen kannst (siehe Abbildung). Dann erhältst du als Lösung $a\approx1,34$.

  3. Parameter in exponentielle Grundgleichung einsetzen

  Wenn du nun die Parameter c und a in die Grundform einsetzt, erhältst du die passende exponentielle Gleichung für das Wachstum der Bakterienkultur: $f(x)=5 \cdot 1,34^{x}$

  4. x-Wert in Funktionsgleichung einsetzen

  Um die Anzahl der Einzeller nach zwei Wochen zu bestimmen, musst du nur noch die Zeitspanne mit $x=14$ einsetzen, da das Wachstum im Sachverhalt auf Tage bezogen ist. Und schon ergibt sich die gesuchte Größe: $f(14)=5 \cdot 1,34^{14}\approx 301$

• Berechne die Anzahl der Hasen nach 0, 18 und 36 Monaten.

  Tipps

  Die im Sachverhalt gegebene Funktionsgleichung hilft dir dabei, die Anzahl der Hasen zu bestimmen.

  Die Zeiträume setzt du einfach für x in die Funktionsgleichung ein. So erhältst du die gesuchten y-Werte, die der Anzahl der Hasen entsprechen.

  Lösung

  Wir setzen $x=0$, $x=18$ und $x=36$ in die Funktionsgleichung $f(x)=4 \cdot 1,08^{x}$ ein:

  $\begin{align} f(0) &= 4 \cdot 1,08^{0}= 4 \\ f(18) &= 4 \cdot 1,08^{18}\approx 16 \\ f(36) &= 4 \cdot 1,08^{36}\approx 64 \end{align}$

  Die Ergebisse werden auf ganze Zahlen gerundet, da in der Natur nur ganze Hasen auftreten.

• Leite Aussagen her, die für die Modellierung exponentieller Funktionen zutreffen.

  Tipps

  Exponentielle Wachstumsprozesse aus der Realität lassen sich natürlich mathematisch modellieren, jedoch können viele „Unwägbarkeiten” der Natur nicht in einer einfachen Funktionsgleichung Ausdruck finden – so entsprechen Rechenergebnisse nie hundertprozentig den Werten der Realität.

  Das Wachstum tierischer und pflanzlicher Bestände verläuft anfangs typischerweise oft exponentiell, also in immer größer werdenden Schritten. Die Population tierischer Einzeller explodiert förmlich bei idealen Wachstumsbedingungen, findet aber häufig auch schnell wieder ein Ende.

  Innerhalb längerer Zeiträume stößt das Wachstum meist an seine natürlichen Grenzen: So findet beispielsweise eine Krötenpopulation irgendwann nicht mehr genug Nahrung, sodass diese dann nicht mehr ungehindert exponentiell wachsen kann.

  Lösung

  Wir nehmen die einzelnen Aussagen genauer unter die Lupe:

  1. Die mathematische Modellierung exponentieller Wachstumsvorgänge eignet sich, um reale exponentielle Prozesse annähernd abzubilden.

  Das ist überhaupt der Sinn einer jeden Modellierung in der Mathematik: reale Prozesse mit einer Funktionsgleichung zu beschreiben.

  2. Die mathematische Modellierung exponentieller Wachstumsvorgänge ist weniger dazu geeignet, exakte, mit der Realität absolut konforme Ergebnisse zu erzielen.

  Mit einer Modellierung lassen sich fast nie exakte, mit den tatsächlichen Werten aus der Realität absolut übereinstimmende Ergebnisse erzielen, denn eine Funktionsgleichung liefert lediglich „Rechenergebnisse” und kann nur eine Näherung darstellen.

  3. Die mathematische Modellierung liefert eher unrealistischere Ergebnisse, wenn Bestände in sehr langen Zeiträumen berechnet werden sollen.

  Innerhalb längerer Zeiträume stößt das Wachstum meist an seine natürlichen Grenzen: So findet beispielsweise eine Krötenpopulation irgendwann nicht mehr genug Nahrung, sodass diese dann nicht mehr ungehindert exponentiell wachsen kann. Dann eignet sich die Modellierung kaum mehr zur Beschreibung des Wachstums.

  4. Für die mathematische Modellierung einer exponentiellen Funktion ist es rechnerisch von Vorteil, wenn der Anfangswert für $x=0$ für die Ermittlung der Funktionsgleichung einbezogen wird.

  Sofern der Anfangswert für $x=0$ in die Berechnung einbezogen werden kann, lässt sich sofort der Parameter c bestimmen, denn $a^{0}=1$.

  5. Ein exponentieller Wachstumsvorgang liegt in der Regel dann vor, wenn die Anzahl oder Menge innerhalb gleicher Zeitabstände immer stärker zunimmt.

  Dies ist der wesentliche Unterschied zum linearen Wachstum, das innerhalb gleicher Zeitabstände um die gleiche Anzahl oder Menge zunimmt.