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Exponentielles Wachstum

Wachstum, Exponentialfunktion, Zerfall, Anfangswert, Wachtsumsfaktor, Ausgleichskurve, GTR, STAT

Inhaltsverzeichnis zum Thema

Was ist exponentielles Wachstum?

Schaue dir das folgenden Beispiel an.

Paul erhält 20 €20~€ Taschengeld. Jedes Jahr wird der Betrag um 2,50 €2,50~€ höher. Seine Schwester Camilla bekommt ebenfalls 20 €20~€ Taschengeld, welches jedes Jahr um 10%10\% erhöht wird.

1003_Tabellen_Taschengeld.jpg

  • Das Taschengeld von Paul wächst immer um den gleichen Betrag. Ein solches Wachstum wird als lineares Wachstum bezeichnet.
  • Das Taschengeld von Camilla wächst immer um den gleichen Faktor. Ein solches Wachstum wird als exponentielles Wachstum bezeichnet.

Kurve.png

Beispiele für exponentielles Wachstum

Schauen wir uns zunächst einige Beispiele für Wachstumsprozesse an:

  • Paul legt sein Geld bei einer Bank an. Dafür erhält er Zinsen. Wenn Paul kein Geld abhebt, nimmt das angelegte Geld exponentiell zu. Wie viel Geld dabei herauskommt, berechnest du mit der Zinsrechnung.
  • Die Vermehrung von Bakterienkulturen wird häufig exponentiell beschrieben.
  • Du erzählst drei Freunden einen Witz. Jeder dieser Freunde, erzählt den Witz wieder drei weiteren Freunden und so weiter. Die Verbreitung des Witzes ist exponentiell.

Um solche Prozesse zu beschreiben, verwendet man Exponentialfunktionen.

Definition

Exponentielles Wachstum, welches auch als unbegrenztes exponentielles Wachstum bezeichnet wird, liegt vor, wenn sich eine Größe in jeweils gleichen Zeitabschnitten (Perioden) immer um denselben Faktor verändert.

Exponentialfunktionen

Eine Exponentialfunktion hat die Funktionsgleichung

f(x)=caxf(x)=c\cdot a^x.

Dabei ist

  • xx die unabhängige Variable, diese steht im Exponenten,
  • aR+a\in \mathbb{R}^+ die Basis der Exponentialfunktion und
  • cRc\in \mathbb{R} eine Konstante. Diese steht für den Anfangswert bei exponentiellen Prozessen.

Der Parameter aa

Die Basis aa der Exponentialfunktion ist

  • der Wachstumsfaktor, wenn a>1a>1 ist, also bei exponentiellem Wachstum, und
  • der Abnahmefaktor, wenn 0<a<10 < a < 1, also bei exponentieller Abnahme.

Beispiel Camilla

Das Taschengeld von Camilla wächst exponentiell. Wir stellen hierzu die zugehörige Exponentialfunktion auf.

  • Der Anfangswert ist 2020 [€], das Taschengeld, welches Camilla zu Beginn der Beobachtung, x=0x=0, erhält.
  • Die Basis aa ist der Wachstumsfaktor. Dieser ergibt sich mit der bekannten prozentualen Erhöhung 10%10\% wie folgt

   a=1+10100=1,1\quad~~~a=1+\frac{10}{100}=1,1.

  • Damit ist

   f(x)=201,1x\quad~~~f(x)=20\cdot 1,1^x.

Beispiel „Nachricht“

Eine Nachricht verbreitet sich in zwei Gruppen. Die Verbreitung ist exponentiell:

  • In Gruppe AA kennen am Anfang 100100 Menschen die Nachricht, nach drei Tagen kennen bereits 152152 Menschen die Nachricht.
  • In Gruppe BB kennen nach zwei Tagen 145145 Menschen die Nachricht und nach weiteren drei Tagen 193193 Menschen.

Aufstellen der Exponentialfunktion

Zunächst stellen wir die zugehörigen Exponentialfunktion in Abhängigkeit der Variablen xx, in Tagen, auf.

Bei Gruppe AA kennen wir bereits den Anfangswert c=100c=100 sowie die Anzahl nach drei Tagen, also f(3)=152f(3)=152. Es gilt

152=100a3152=100\cdot a^3.

Wir dividieren durch 100100 und ziehen dann die dritte Wurzel: a=1,5231,15a=\sqrt[3]{1,52}\approx 1,15. Damit lautet die Exponentialfunktion, welche das Verbreiten der Nachricht in Gruppe AA beschreibt,

f(x)=1001,15xf(x)=100\cdot 1,15^x.

Ebenso kann die Exponentialfunktion für die Gruppe BB bestimmt werden:

  • g(2)=145g(2)=145, dies führt zu 145=ca2145=c\cdot a^2.
  • g(5)=193g(5)=193, dies führt zu 193=ca5193=c\cdot a^5.

Die obere Gleichung wird nach cc umgeformt. Hierfür wird durch a2a^2 dividiert:

c=145a2c=\frac{145}{a^2}.

Dieses cc wird in der unteren Gleichung eingesetzt:

193=145a2a5=145a3193=\frac{145}{a^2}\cdot a^5=145\cdot a^3.

Nun wird durch 145145 dividiert und die dritte Wurzel gezogen: a=1,3331,1a=\sqrt[3]{1,33}\approx1,1. Damit kann auch cc berechnet werden:

c=1451,12120c=\frac{145}{1,1^2}\approx 120.

Damit lautet die Exponentialfunktion, welche das Verbreiten der Nachricht in Gruppe BB beschreibt

g(x)=1201,1xg(x)=120\cdot 1,1^x.

Wie weit hat sich die Nachricht nach 10 Tagen in Gruppe A verteilt?

Wenn du wissen möchtest, wie weit sich die Nachricht nach einer gegebenen Zeit verbreitet hat, setzt du diese Zeitangabe in der entsprechenden Funktionsgleichung ein:

f(10)=1001,1510=404,55...f(10)=100\cdot 1,15^{10}=404,55....

Das bedeutet, dass nach 10 Tagen bereits 405405 Menschen die Nachricht kennen.

Wann kennen 400 Menschen die Nachricht in Gruppe B?

Du kannst auch nach der Zeit fragen. Dieses Mal ist der Funktionswert gegeben: 400=1201,1x400=120\cdot 1,1^x. Zuerst dividierst du durch 120120 und erhältst die Gleichung

1,1x=1031,1^x=\frac{10}3.

Eine solche Gleichung löst du mit Logarithmen:

x=ln(103)ln(1,1)=12,63...x=\frac{\ln\left(\frac{10}3\right)}{\ln(1,1)}=12,63....

Nach ungefähr 13 Tagen hat sich die Nachricht auf 400400 Personen verbreitet.

Wann hat sich die Zahl der Menschen, die die Nachricht in Gruppe A kennen, verdoppelt?

Du löst die Gleichung g(x)=240g(x)=240:

240=1201,1x:1202=1,1xln(   )x=ln(2)ln(1,1)x=7,27...\begin{array}{rclll} 240&=&120\cdot 1,1^x&|&:120\\ 2&=&1,1^x&|&\ln(~~~)\\ x&=&\frac{\ln(2)}{\ln(1,1)}\\ x&=&7,27... \end{array}

Nach etwas mehr als sieben Tagen hat sich die Nachricht in Gruppe AA auf die doppelte Anzahl an Menschen verbreitet. Diese Zeit wird als Verdoppelungszeit oder auch Generationenzeit bezeichnet.

Bei exponentieller Abnahme wird oftmals nach der Zeit gefragt, nach welcher ein Bestand sich halbiert hat. Diese Zeit wird als Halbwertzeit bezeichnet.

Wann hat sich die Nachricht in beiden Gruppen auf gleich viele Personen verbreitet?

Dieses Mal ist der Schnittpunkt zweier Funktionen gesucht: f(x)=g(x)f(x)=g(x).

Diese Gleichung wird nun umgeformt.

1001,15x=1201,1x:1001,15x=1,21,1x:1,1x(1,151,1)x=1,2ln(   )x=ln(1,2)ln(1,151,1)=4,10\begin{array}{crclll} &100\cdot 1,15^x&=&120\cdot 1,1^x&|&:100\\ \Leftrightarrow&1,15^x&=&1,2\cdot 1,1^x&|&:1,1^x\\ \Leftrightarrow&\left(\frac{1,15}{1,1}\right)^x&=&1,2&|&\ln(~~~)\\ &x&=&\frac{\ln(1,2)}{\ln\left(\frac{1,15}{1,1}\right)}\\ &&=&4,10 \end{array}

Nach ungefähr vier Tagen ist das Gerücht in beiden Gruppen gleichermaßen verbreitet.