Exponentielle Wachstumsvorgänge

Exponentielle Wachstumsvorgänge Übung

• Gib die allgemeine Form einer exponentiellen Wachstumsfunktion an und beschreibe die einzelnen Parameter.

  Tipps

  Die Variable $x$ steht in der Basis und wird potenziert: $f(x)=x^n$. Dies ist eine Potenzfunktion.

  Bei der Funktion $f(x)=a^x$ steht die Variable im Exponenten.

  Zum Zeitpunkt $0$, also am Anfang der Untersuchung, ist $f(0)=c\cdot a^0=c$.

  Lösung

  Exponentielles Wachstum, welches auch als unbegrenztes exponentielles Wachstum bezeichnet wird, liegt vor, wenn sich eine Größe in jeweils gleichen Zeitabschnitten immer um denselben Faktor verändert.

  Ein solches Wachstum kann in Form einer Exponentialfunktion beschrieben werden. Dies ist eine Funktion der Form

  $f(x)=c\cdot a^x$.

  Folgende Eigenschaften treffen zu:

  • $x$ ist die unabhängige Variable und steht im Exponenten.
  • $a\in \mathbb{R}^+$ ist die Basis der Exponentialfunktion.
  • $c\in \mathbb{R}$ ist eine Konstante. Diese steht für den Anfangswert bei exponentiellen Prozessen.

  Der Parameter $a$, die Basis der Exponentialfunktion, ist der Wachstumsfaktor. Wenn $a>1$ ist, wächst der Wert. Wenn $0<a<1$ ist, nimmt der Wert ab. Dieser Faktor wird dann Abnahmefaktor genannt.

• Ergänze die Wertetabelle für die Lactococcus lactis-Bakterien.

  Tipps

  Der Anfang entspricht Zeit gleich $0$.

  Bei einer Zellteilung teilt sich eine Zelle immer in zwei Zellen.

  Die Anzahl der Zellen wird also immer verdoppelt.

  Alle Einträge sind Zweierpotenzen.

  Lösung

  Hier ist die komplette Wertetabelle zu sehen:

  • Am Anfang gibt es ein Bakterium. Also steht bei der Zeit $0$ die Anzahl $1$.

  Von da an verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien alle $48$ Minuten:

  • nach $48$ Minuten gibt es zwei Bakterien,
  • nach $96$ Minuten $2\cdot 2=4$ Bakterien,
  • nach $144$ Minuten $2\cdot 4=8$ Bakterien und
  • nach $196$ Minuten $2\cdot 8=16$ Bakterien.

• Stelle die Wachstumsfunktion für die mit Seerosen bedeckte Fläche auf.

  Tipps

  $c$ ist der Anfangswert, also der Wert zu $x=0$.

  Du weißt, dass $f(2)=9$ ist.

  Löse bei bekanntem $c$ die Gleichung

  $c\cdot a^{2}=9$.

  Die Basis muss größer als $1$ sein.

  Insbesondere darf sie natürlich nicht negativ sein.

  Lösung

  Durch die Wachstumsfunktion wird die Veränderung der von Seerosen bedeckten Fläche nach $x$ Tagen angegeben.

  Am Anfang, also bei $x=0$, bedecken die Seerosen $4~m^2$. Mit dieser Information können wir schon folgende Gleichung aufstellen:

  $4=f(0)=c\cdot a^0=c$

  Somit ist $c=4$. Das kann man sich auch dadurch klarmachen, dass $c$ der Anfangswert ist.

  Nun kann man sich den Wachstumsfaktor anschauen. Es gilt $f(2)=9$. Dies führt zu der Gleichung $4\cdot a^{2}=9$. Wir lösen diese Gleichung nach $a$ auf, indem wir zuerst durch $4$ dividieren und dann die Wurzel ziehen. Wir erhalten $a=1,5$.

  Die gesuchte Funktion lautet somit $f(x)=4\cdot 1,5^x$.

• Gib die Funktion an, welche die Entwicklung von Pauls gespartem Geld beschreibt.

  Tipps

  Der Anfangswert ist das Guthaben, welches Paul anlegt.

  Bekannt ist die Wachstumsrate $p=2,5~\%$.

  Bei bekannter Wachstumsrate $p$ erhältst du den Wachstumsfaktor so

  $a=1+\frac{p}{100}$.

  Beachte, dass $a>1$ sein muss.

  Lösung

  Paul überlegt, wie er das Anwachsen seines Guthabens als exponentielle Wachstumsfunktion der Form $f(x)=c\cdot a^x$ aufschreiben kann.

  In der Wachstumsfunktion steht

  • $x$ für die Zeit in Jahren,
  • $f(x)$ für das angesparte Guthaben nach $x$ Jahren,
  • $c$ für den Anfangswert und
  • $a>1$ für den Wachstumsfaktor.

  Der Anfangswert ist $c=3000$ [€].

  Die Wachstumsrate $p=2,5~\%$ ist bekannt. Damit kann der Wachstumsfaktor

  $a=1+\frac{p}{100}=1,025$

  berechnet werden. Die gesuchte Funktion ist somit

  $f(x)=3000\cdot 1,025^x$.

• Beschreibe, wie eine Exponentialfunktion verläuft.

  Tipps

  Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

  Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

  Sowohl eine lineare als auch eine quadratische Funktion sind Polynomfunktionen. In diesen steht die Variable in der Basis.

  In einer Exponentialfunktion steht die Variable im Exponenten.

  Stelle dir beim Funktionsgraphen einer exponentiellen Wachstumsfunktion ein startendes Flugzeug vor.

  Lösung

  Hier ist der übliche Verlauf einer exponentiellen Wachstumsfunktion zu sehen.

  Man kann sich dies so vorstellen wie ein startendes Flugzeug.

  Je nach der Basis $a$ steigt diese Funktion steiler oder weniger steil an.

  Im Falle einer exponentiellen Abnahmefunktion ($0<a<1$) wird der Graph an der y-Achse gespiegelt.

• Berechne, wie hoch das Guthaben nach einer gegebenen Zeit ist, sowie die Zeit, die vergeht, bis das Guthaben eine gewisse Höhe erreicht hat.

  Tipps

  Der jeweilige Geldbetrag wird auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

  Wenn du die Zahl der Jahre kennst, setzt du diese in die Funktionsgleichung ein.

  Wenn du die Anzahl der Jahre suchst, musst du entweder probieren oder du verwendest den Logarithmus.

  Schaue dir das folgende Beispiel an: Wann ist das Guthaben auf $3655,21~€$ angewachsen?

  Es muss also die Gleichung $3655,21=3000\cdot 1,025^x$ gelöst werden.

  Dies kannst du hier sehen.

  Lösung

  • Entweder ist die Zeit $x$ bekannt und das Guthaben $f(x)$ gesucht oder
  • das Guthaben $f(x)$ bekannt und die Zeit ist gesucht.

  Im ersten Fall wird die Anzahl der Jahre in der nebenstehenden Funktionsgleichung eingesetzt:

  • $f(5)=3000\cdot 1,025^5\approx 3394,22$
  • $f(10)=3000\cdot 1,025^{10}\approx 3840,25$

  Im zweiten Fall muss eine Gleichung gelöst werden:

  Das Guthaben $3479,08~€$ ist bekannt:

  $\begin{array}{rclll} 3479,08&=&3000\cdot 1,025^x&|&:3000\\ 1,1597&=&1,025^x&|&\ln(~~~)\\ \ln(1,1597)&=&x\cdot \ln(1,025)&|&:\ln(1,025)\\ x&=&\frac{\ln(1,1597)}{\ln(1,025)}\approx 6 \end{array}$

  Das bedeutet, dass nach sechs Jahren das Guthaben auf den gegebenen Betrag angewachsen ist.

  Ebenso kann die Zeit berechnet werden, nach der das Guthaben auf $4344,89~€$ angewachsen ist. Dies führt zu $x=15$.