Die Entwicklung des Dezimalsystems
Das Dezimalsystem basiert auf zehn Ziffern und ist ein Stellenwertsystem. Es wurde ursprünglich entwickelt, um auf einfache Weise mit den zehn Fingern zählen zu können. Die Darstellung von Zahlen erfolgt durch das Verschieben der Ziffern nach links. Interessiert? Dies und vieles mehr erfahren Sie im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Die Entwicklung des Dezimalsystems
Was ist das Dezimalsystem?
Der Name Dezimalsystem oder auch Zehnersystem geht auf das lateinische Wort „decem“ für „zehn“ zurück. Es ist ein Stellenwertsystem. Verwendet werden dabei zehn Ziffern für die Anzahlen von null ($0$) bis neun ($9$). Mit diesem System rechnen wir.
Ursprünge vom Dezimalsystem – Erklärung
Am Anfang stand das Zählen, was mit den zehn Fingern besonders einfach ging. Da dem Zählen mit zehn Fingern Grenzen gesetzt sind, zum Beispiel beim Zählen von sehr große Mengen, musste das System erweitert werden.
Die Anfänge des Dezimalsystems
Die Ägypter haben mit einfachen Zahlzeichen begonnen:
- Ein Strich steht für eine Eins,
- zwei Striche für eine Zwei,
- …
- neun Striche für eine Neun.
Für eine Zehn wurden keine Striche benötigt, da die Ägypter hierfür das Rindsgespann verwendeten, für Hundert eine Seilschlinge, für Tausend eine Wasserlilie, einen Finger für Zehntausend und einen Frosch oder eine Kaulquappe für Hunderttausend.
Zum Beispiel ist $235$ darstellbar durch zwei Seilschlingen, drei Rindsgespanne und fünf Striche.
Für eine Million steht „Heh“, das ägyptische Symbol für den Gott der Unendlichkeit.
Die Weiterentwicklung des Dezimalsystems
Das Stellenwertsystem geht auf die Chinesen sowie die Inder zurück. Sie schrieben eigene Ziffern für die Zahlen. Das bedeutet, dass sie nicht mehr so viele Zeichen zeichnen mussten.
- Die Rindsgespanne ersetzten sie dadurch, dass sie die entsprechende Ziffer eine Stelle nach links verschoben: Dies ist die Zehnerstelle.
- Die Seilschlinge führte zu einer Verschiebung um zwei Stellen nach links: Das ist die Hunderterstelle.
- Es folgen die Tausender, Zehntausender …
Beispiel für die Darstellung einer Zahl im Dezimalsystem
Die Zahl $234$ hat also eine Zwei an der Hunderter- (H), eine Drei an der Zehner- (Z) und eine Fünf an der Einerstelle (E):
$\begin{array}{c|c|c} \text{H}&\text{Z}&\text{E}\\ \hline 2&3&4 \end{array}$
Das funktioniert gut, da an jeder Stelle etwas steht. Wie sieht das nun aus, wenn irgendwo nichts steht, und woran kann man das erkennen?
Die Null
Hierfür ließen sich die indischen Mathematiker etwas einfallen: Sie malten einen kleinen Kreis an die Stelle, an der nichts stehen sollte. Sie nannten dies „Leere“ oder „Punkt“ oder „Himmel“. Das ist der Vorläufer der heute verwendeten Null ($0$).
Es dauerte einige Jahrhunderte, bis sich diese Darstellung von Zahlen durchsetzen konnte: Der arabische Mathematiker al-Chwarizmi verfasste im Jahr 825 ein Buch über das Rechnen mit den indischen Ziffern. Ihm ist es zu verdanken, dass sich das Dezimalsystem nach Europa ausbreitete und die Darstellung der heutige Zahlen als „Arabische Ziffern“ benannt werden.
Abgrenzung – Andere Zahlensysteme
- Die Mayas nahmen neben den zehn Fingern auch noch die zehn Zehen dazu. Sie zählten also bis $20$.
- Die Babylonier zählten mit dem Daumen der einen Hand die insgesamt zwölf Glieder der verbleibenden vier Finger. Mit den fünf Fingern der anderen Hand zählten sie, wie oft die Zwölf vorkommt. $12\cdot 5=60$: Die Babylonier konnten so bis $60$ zählen. Daher kommt die heutige Zeiteinteilung: Zum Beispiel hat eine Minute $60$ Sekunden.
- Computer funktionieren mit Stromleitungen: Entweder fließt der Strom (eins) oder nicht (null). Dies führt zu dem sogenannten Binärsystem.
Transkript Die Entwicklung des Dezimalsystems
Wie kann man eigentlich "nichts" darstellen? Gar nicht so einfach, oder? Sobald man etwas darstellt, ist es ja "etwas". Zum Glück machen wir hier aber Mathe, da ist auch sowas kein Problem! Die Idee von "nichts" wird in der Mathematik durch ein kleines, unscheinbares Zeichen symbolisiert. Und das kennst du auch schon: Genau, die Null! "Null" muss aber nicht immer "nichts" bedeuten. Mit der Ziffer Null haben wir zum Beispiel ganz schnell aus einer Eins eine Zehn gemacht! An dieser Stelle macht die Null also einen großen Unterschied! Die Null ist etwas ganz Besonderes. Ohne die Idee der Null wäre die Mathematik, so wie wir sie heute kennen, und insbesondere unser Zahlensystem, das Dezimalsystem, nicht vorstellbar. Aber das war nicht immer so. Eine lange Zeit lang zählten und rechneten die Menschen ohne Null. In diesem Video schauen wir uns daher mal an, wie das Dezimalsystem entstand, wie es funktioniert und welche Rolle dabei die "Idee der Null" spielt. Zählen und Rechnen, das können die Menschen schon seit sehr langer Zeit. Wie unterschiedlich die Zählweisen dabei waren, zeigt uns ein Blick auf einige Hochkulturen unserer Vorzeit. Grundsätzlich wurde gerne bis zehn gezählt. Das liegt einfach daran, dass wir zehn Finger haben. Die hast du selbst ja vielleicht auch schon mal zur Hilfe genommen. Den Maya ging das aber nicht weit genug. Sie nahmen auch noch ihre Füße hinzu und zählten so mit Fingern UND Zehen im Zwanziger-Rhythmus. Noch extravaganter zählten die Babylonier. Sie nutzen den Daumen einer Hand, um die GLIEDER der anderen vier Finger zu zählen, was für sie die ZWÖLF zu einer besonderen Zahl machte. Bis zwölf zählten die Babylonier also "mit links". Die rechte Hand hatten sie dann noch frei, um VIELFACHE von Zwölf zu zählen. So kamen die Babylonier, obwohl auch sie nur zwei Hände hatten, schon auf sechzig! Und das ist übrigens der Grund dafür, dass wir bis heute eine Stunde in sechzig Minuten und die Minute in sechzig Sekunden einteilen! Was aber, wenn man sich mit richtig großen Zahlen rumschlagen muss und einem langsam die Hände ausgehen? Mit diesem Problem beschäftigten sich auch die Ägypter. Sie nutzen Zahlzeichen, also Ziffern, mit denen sie relativ einfach und effektiv auch GROẞE Zahlen darstellen konnten. Bis zur Neun zählten sie einfach per Strichliste. Bei der Zehn änderten sie aber die Schreibweise ihrer Zählung. So ähnlich, wie wir es heute auch noch tun. Die Zahl Zehn wurde mit einem neuen Zeichen, dem "Rindergespann", symbolisiert. Zwei davon entsprachen dann der Zahl zwanzig und so weiter bis neunzig! Für die folgenden Zehnerpotenzen einhundert, eintausend, zehntausend,.. einhunderttausend und schließlich eine Million gab es dann auch jeweils wieder ein neues Zeichen. Das antike ägyptische System hat mit unserem heutigen Zahlensystem schon eine große Gemeinsamkeit. Es ist, genauso wie wir es heute gewohnt sind, ein DEZIMALES Zahlensystem – ein ZEHNERsystem. "Dezimal" leitet sich von "decem" ab, dem lateinischen Wort für "zehn". Allerdings wurden große Zahlen bei der ägyptischen Zählweise sehr schnell sehr lang. Das RÖMISCHE Zahlensystem, das du vielleicht auch schon kennst, war in dieser Hinsicht zwar schon etwas praktischer, hatte GRUNDSÄTZLICH aber noch die gleiche Herangehensweise. Ein revolutionär-neues Zahlensystem setzte sich dann einige Jahrhunderte später in Indien durch. Anstatt eine Strichliste zu führen, gaben indische Mathematiker den Zahlen eins bis neun jeweils eine eigene Ziffer, sodass man diese Zahlen nun deutlich kompakter und kürzer schreiben konnte. Die eigentlich GENIALE Idee war aber folgende: Anstatt der Zehn ein neues Symbol zu geben, nutzte man auch für diese Zahl die Ziffer Eins, nur dass man diese Eins nun weiter links platzierte. Genauer gesagt: Die Ziffer rückte eine STELLE weiter nach links. Damit war die grundlegende Idee eines "Stellenwertsystems" etabliert. Jede Stelle stand jetzt für eine Zehnerpotenz. Von Einern bis zu Tausendern und so weiter. Man konnte so die benötigten Ziffern einfach an den entsprechenden Stellen notieren. Für die Zahl 321, sah das dann zum Beispiel SO aus. Aber auch dieses Zahlensystem hatte noch ein nerviges Problem. Dadurch, dass Stellen auch leer bleiben konnten, war die Darstellung der Zahlen nicht eindeutig lesbar. Bei DIESER Ziffernkombination konnte es sich zum Beispiel um die Zahl 34, aber auch um 304, 340, oder vielleicht auch 3040 handeln. Doch auch hierfür wurde eine Lösung gefunden: Die Leere bekam ihr eigenes Zeichen. Und zwar einen kleinen Kreis, der symbolisierte, dass die Stelle an der er stand, leer bleiben sollte. Die Zahl Dreihundertvier von der Vierunddreißig zu unterscheiden, war jetzt kein Problem mehr. Die Idee der Null hatte sich ihren Weg in die Mathematik gebahnt und kam zusammen mit dem indischen Zahlensystem über Umwege, genauer gesagt über den arabischen Raum, schließlich auch in Europa an. Aus diesem Grund sprechen wir bei den Zahlzeichen, so wie wir sie heute kennen, auch von den "arabischen Ziffern". Der Begriff "Ziffer" selbst leitet sich übrigens von dem arabischen Wort für die Null, "sifr", ab. Die von den Arabern übernommenen, ursprünglich indischen, zehn Zahlzeichen lösten im Europa des Mittelalters die römischen Ziffern langsam aber sicher ab und sind heute auf der ganzen Welt gültig. Seine weltweite Verbreitung verdankt das Dezimalsystem dabei in erster Linie seiner Effizienz. Die Mathematik, wie wir sie heute kennen, wurde so erst durch die arabischen Ziffern ermöglicht. Die Ziffern Null bis Neun und ihre Anordnung in einem dezimalen Stellenwertsystem – dem Dezimalsystem – haben sich fest etabliert. Das sollte aber nicht die Sicht darauf verdecken, dass dieses System von uns so bewusst GEWÄHLT ist und es durchaus auch Alternativen gibt. Ein wichtiges Beispiel ist das DUALE Zahlensystem, das nur mit den Ziffern Null und Eins arbeitet und das für die Informatik und die Funktionsweise unserer Computer unverzichtbar ist! Die NULL spielt aber auch hier eine tragende Rolle. Schon verrückt, was sich aus einer "Idee von dem Nichts" so alles entwickelt hat!
Die Entwicklung des Dezimalsystems Übung
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Gib die Probleme der Zahlensysteme wieder.
TippsÜberprüfe, wie groß die Zahlen in den Zahlensystemen werden können.
Versuche, die Zahl $45\,238$ mit den verschiedenen Zahlensystemen darzustellen.
Die Zahl $45\,238$ wird im ägyptischen Zahlensystem so dargestellt.
LösungIn dieser Aufgabe geht es um die Probleme, die zur Entwicklung des Dezimalsystems führten.
Im Zahlensystem der Mayas wurde mit Fingern und Zehen gezählt. Hierbei konnten die Menschen sicher bis zwanzig zählen.
Um höhere Zahlen zählen zu können, wurden für das babylonische Zahlensystem die Glieder der Finger genutzt. Hierdurch konnte an einer Hand bis $12$ gezählt werden. Mit der zweiten Hand addierten die Menschen hinzu, wie oft sie die $12$ Glieder schon gezählt hatten. Sie kamen auf diese Weise sicher bis sechzig:
$12+12+12+12+12= 5 \cdot12= 60$
Im ägyptischen Zahlensystem wurden Ziffern (Zahlzeichen) genutzt, um einfach und effektiv große Zahlen darzustellen. Hierbei verwendeten die Menschen für die $1$ bis $9$ Striche und für die Zehnerpotenzen $10$, $100$, $1\,000$, $10\,000$, $100\,000$ sowie $1\,000\,000$ jeweils ein eigenes Zeichen. Da die verschiedenen Zeichen bis zur Verwendung des nächstgrößeren Zeichens sehr häufig hintereinandergeschrieben wurden, entstanden sehr lange Zahlbezeichnungen.
Um die Zahlbezeichnungen zu verkürzen, wurden im indischen Zahlensystem der $1$ bis $9$ einzelne Ziffern zugeordnet. Beim Darstellen der $10$ rückte die Ziffer der $1$ eine Stelle weiter nach links. Jede Stelle stand auch in diesem System für eine Zehnerpotenz (ein Vielfaches von $10$). Allerdings gab es anfangs kein Zeichen, das eingesetzt wurde, wenn eine Stelle leer bleibt. Die dadurch entstehenden leeren Stellen in Zahlen machten es schwierig, bestimmte Zahlen zu unterscheiden.
Erst durch die Einführung der $0$ konnten Zahlen, $304$ zum Beispiel, eindeutig von der $34$ unterschieden werden.
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Bestimme die Dezimalsysteme (Zehnersysteme).
TippsIn Dezimalsystemen werden für die Zehnerpotenzen $10$, $100$, $1\,000$, $10\,000$, $100\,000$ und $1\,000\,000$ andere Zahlzeichen oder eine Zusammensetzung der Ziffern $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ und $9$ genutzt.
Beim Aufschreiben von Zahlen wird in Dezimalsystemen bis $9$ gezählt.
Überprüfe, ob du Ziffern für $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ und $9$ auf den Bildern sehen kannst.
Achte darauf, ob die $10$ eine besondere Zahl in dem Zahlensystem ist und nicht darüber hinaus gezählt wird.
LösungFür diese Aufgabe beschäftigen wir uns mit dem Erkennen von Dezimalsystemen.
Der Name „Dezimalsystem“ oder auch „Zehnersystem“ geht auf das lateinische Wort „decem“ für „zehn“ zurück. Zehnersysteme nutzen die $10$ als besondere Zahl (Basis). Für die Zehnerpotenzen $10$, $100$, $1\,000$, $10\,000$, $100\,000$ und $1\,000\,000$ werden bestimmte Zahlzeichen oder eine Zusammensetzung der Ziffern $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ und $9$ verwendet.
Computer funktionieren mit dem Dualsystem. Da hierfür nur die Ziffern $0$ und $1$ genutzt werden, ist es kein Dezimalsystem.
Im ägyptischen Zahlensystem wurden für die Ziffern $1$ bis $9$ Striche und für die Zehnerpotenzen $10$, $100$, $1\,000$, $10\,000$, $100\,000$ sowie $1\,000\,000$ jeweils ein eigenes Zeichen verwendet. Es war ein Dezimalsystem.
Für das babylonische Zahlensystem wurden die Glieder der Finger genutzt. Hierdurch konnten die Menschen an einer Hand bis $12$ zählen. Mit der zweiten Hand addierten sie hinzu, wie oft sie die $12$ Glieder schon gezählt hatten. Sie kamen auf diese Weise sicher bis $60$. Ihr Zahlensystem hat deshalb die Basis $60$ und heißt Sexagesimalsystem. Es ist kein Dezimalsystem.
Im indischen Zahlensystem wurden für die $1$ bis $9$ einzelne Ziffern festgelegt. Beim Darstellen der $10$ rückte die Ziffer der $1$ eine Stelle weiter nach links. (Es wurde ein Stellenwertsystem angewendet.) Jede Stelle stand in diesem System für eine Zehnerpotenz (ein Vielfaches von $10$). Es ist ein Dezimalsystem.
Im Zahlensystem der Mayas wurde mit Fingern und Zehen gezählt. Hierbei konnten die Menschen sicher bis $20$ zählen. Ihr Zahlensystem hat deshalb die Basis $20$ und heißt Vigesimalsystem. Es ist kein Dezimalsystem.
Die arabischen Ziffern verwenden wir. Durch eine Zusammensetzung der Ziffern $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ und $9$ sowie die Nutzung des Stellenwertsystems können wir alle möglichen Zahlen darstellen. Es ist ein Dezimalsystem.
-
Zeige die Stellenwerte in den verschiedenen Dezimalsystemen.
TippsÜberlege, welche Ziffer im römischen Zahlensystem nicht dargestellt wird.
Bei der Zuordnung der einzelnen Stellenwerte zu den Zeichen kannst du dich an der folgenden Tabelle orientieren:
$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \color{#F3DB00}{\text{Tausender}} & \color{#FF66FF}{\text{Hunderter}} & \color{#66D8FF}{\text{Zehner}} & \color{#99FF32}{\text{Einer}} \\ \hline1\,000 & 100 & 10 & 1 \\ \hline M & C & X & I \\ \hline\end{array}$
LösungDiese Aufgabe dreht sich um das Vergleichen zweier Dezimalsysteme:
Während das römische Dezimalsystem alle notwendigen Zeichen aneinanderreiht, nutzen wir ein Stellenwertsystem, in welches die Ziffern eingeordnet werden. Hierdurch wird zum einen die Verwendung der $0$ nötig. Zum anderen wird die Zahlbezeichnung besonders kurz.
In den Aufgaben sind die $\color{#F3DB00}{\text{Tausender}}$, $\color{#FF66FF}{\text{Hunderter}}$, $\color{#66D8FF}{\text{Zehner}}$ und $\color{#99FF32}{\text{Einer}}$ folgendermaßen zu markieren:
1) $4\color{#F3DB00}{5} \, \color{#FF66FF}{2} \color{#66D8FF}{3} \color{#99FF32} {8}$
2) $\color{#F3DB00}{\text{MM}} \color{#FF66FF}{\text{CCC}} \color{#66D8FF}{\text{XXXXX}} ~\color{black}{=} ~\color{#F3DB00}{2} \, \color{#FF66FF}{3} \color{#66D8FF}{5} \color{#99FF32} {0}$
3) $\color{#F3DB00}{\text{MMMMM}} \color{#66D8FF}{\text{XX}}~\color{black}{=}~ \color{#F3DB00}{5} \,\color{#FF66FF}{0} \color{#66D8FF}{ 2} \color{#99FF32}{0}$
4) $\color{#F3DB00}{\text{MMMM}} \color{#FF66FF}{\text{CD}} \color{#99FF32}{\text{II}} ~\color{black}{=} ~\color{#F3DB00}{ 4} \,\color{#FF66FF}{ 4} \color{#66D8FF}{ 0} \color{#99FF32}{2}$
5) $\color{#F3DB00}{\text{MMMMMMMM}} \color{#66D8FF}{\text{XXXX}} \color{#99FF32}{\text{III}} ~\color{black}{=}~ \color{#F3DB00}{ 8} \, \color{#FF66FF}{ 0} \color{#66D8FF}{ 4} \color{#99FF32}{ 3}$
6) $\color{#F3DB00}{\text{MMMMMM}} \color{#FF66FF}{\text{CM}} \color{#66D8FF}{\text{XXXX}} ~\color{black}{=} ~\color{#F3DB00}{ 6} \,\color{#FF66FF}{ 9} \color{#66D8FF}{4} \color{#99FF32}{0}$
-
Untersuche die Auswirkung der Null an verschiedenen Stellen.
TippsDie Abkürzungen in der Stellentafel stehen für folgende Bezeichnungen:
- ZT = Zehntausender
- T = Tausender
- H = Hunderter
- Z = Zehner
- E = Einer
Der Wert der Zahlen an den Stellen steigt von rechts nach links:
ZT $>$ T $>$ H $>$ Z $>$ E
Sehr kleine Zahlen haben niedrige Ziffern an den größten Stellenwerten:
$1 < 6$
Sehr große Zahlen haben hohe Ziffern an den größten Stellenwerten:
$75\,631 > 57\,631$
Alle Nullen, die links neben der ersten anderen Ziffer stehen, verändern den Wert der Zahl nicht.
Die folgende Stellenwerttafel zeigt zum Beispiel die Zahl $6$:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0& 0 & 0 & 0 & 6 \\ \hline\end{array}$
LösungHier wird die Funktion der Null gezeigt. Sie markiert leere Stellen und kann dadurch den Wert einer Zahl verändern.
Um mit den Ziffern $0$, $2$, $0$, $0$ und $9$ unterschiedlich große Zahlen zu bilden, müssen die Nullen an die richtige Stelle gesetzt werden. Dabei hilft es, zunächst zu bedenken, dass alle Nullen, die links neben der ersten anderen Ziffer stehen, den Wert der Zahl nicht verändern.
Um eine möglichst kleine Zahl zu bilden, tragen wir alle Nullen links neben den anderen Ziffern ein:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0& 0 & 0 & 2 & 9\\ \hline 0& 0 & 0 & 9 & 2 \\ \hline\end{array}$
Da die $29$ eine Zwei und die $92$ eine Neun an der größten Stelle (der Zehnerstelle) haben, ergibt sich:
$29<92$
Um eine möglichst große Zahl zu bilden, tragen wir alle Nullen rechts neben den anderen Ziffern ein:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 2 & 9 & 0 & 0 & 0\\ \hline 9& 2 & 0 & 0 & 0 \\ \hline\end{array}$
Da die $29\,000$ eine Zwei und die $92\,000$ eine Neun an der größten Stelle (der Zehntausenderstelle) haben, folgt daraus:
$92\,000>29\,000$
Beginnen wir beim Eintragen mit der kleinsten Zahl, entsteht diese Stellentafel:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0& 0 & 0 & 2 & 9\\ \hline 9& 2 & 0 & 0 & 0 \\ \hline\end{array}$
-
Stelle die Zahlen richtig in der Stellenwerttafel dar.
TippsVergleiche die Zahlen $2\,353$ und $40\,821$, um herauszufinden, welche du zuerst einsetzen musst.
Es kann helfen, wenn du dir dafür die Anzahl der Stellen anschaust wie in diesem Beispiel:
$1\,000 < 10\,000$
Beginne beim Einsetzen der Ziffern mit dem Einer: Er steht ganz rechts.
In dem folgenden Beispiel ist der Einer der Zahl $6\,47\color{#99CC00}{8}$ schon in die Stellenwerttafel eingesetzt worden:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline & & & & \color{#99CC00}{8} \\ \hline\end{array}$
Ziehe danach den Zehner, den Hunderter und den Tausender in das richtige Feld.
LösungIn dieser Aufgabe hast du die Zahlen $2\,353$ und $40\,821$ nach ihrem Stellenwerten notiert.
Hierfür ordnen wir die Ziffern von rechts nach links ihren Stellenwerten zu.Die $2\,353$ hat eine Drei an der Einerstelle (E), eine Fünf an der Zehnerstelle (Z), eine Drei an der Hunderterstelle (H) und eine Zwei an der Tausenderstelle (T). Die Zehntausenderstelle (ZT) bleibt leer.
Die $40\,821$ hat eine Eins an der Einerstelle (E), eine Zwei an der Zehnerstelle (Z), eine Acht an der Hunderterstelle (H), eine Null an der Tausenderstelle (T) und eine Vier an der Zehntausenderstelle (ZT).
Beim Vergleichen der beiden Zahlen wird deutlich, dass die $2\,353$ keine Zehntausenderstelle (ZT) besitzt. Sie ist also kleiner als die $40\,821$:
$2\,353 < 40\,821$
Es entsteht folgende Stellentafel:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline &\text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E}\\ \hline \text{kleinere Zahl} & & 2 & 3 & 5 & 3 \\ \hline \text{größere zahl} & 4 & 0 & 8 & 2 & 1 \\ \hline\end{array}$
-
Leite aus den Angaben die Zahl her.
TippsEine Stellenwerttafel hilft dir, die Angaben wie im nachfolgenden Beispiel in Zahlen umzuformen:
$8$ZT $0$T $6$H $1$Z $3$E
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 8& 0 & 6 & 1 & 3 \\ \hline\end{array}$
$8$ZT $0$T $6$H $1$Z $3$E $= 80\,613$
Achte auf die Reihenfolge der Stellenwerte:
$8$Z $0$T $6$E $1$ZT $3$H
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 1& 0 & 3 & 8 & 6 \\ \hline\end{array}$
$8$Z $0$T $6$E $1$ZT $3$H $= 10\,386$
Überprüfe, ob Angaben einzelner Stellenwerte über $10$ sind: Unser Dezimalsystem führt dazu, dass die Werte in die nächsthöhere Stelle übernommen werden müssen.
Beispiel:
$10$E $=$ $1$Z
$19$E $=$ $1$Z $9$E
$8$ZT $0$T $6$H $1$Z $\color{#99CC00}{19}$E $=$ $8$ZT $0$T $6$H $\color{#99CC00}{2}$Z $\color{#99CC00}{9}$E
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 8 & 0 & 6 & \color{#99CC00}{2} & \color{#99CC00}{9} \\ \hline\end{array}$
$8$ZT $0$T $6$H $1$Z $19$E $= 80\,629$
LösungHier waren die Angaben in unserem Stellenwertsystem der passenden Zahl zuzuordnen.
Es kann dafür hilfreich sein, eine Stellenwerttafel aufzuzeichnen und die einzelnen Ziffern in die richtige Stelle einzutragen.Für die verschiedenen Aufgaben würde das folgendermaßen aussehen:
Aufgabe 1:
$5$ZT $0$T $4$H $0$Z $5$E
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 5& 0 & 4 & 0 & 5 \\ \hline\end{array}$
$5$ZT $0$T $4$H $0$Z $5$E $=50\,405$
Aufgabe 2:
$4$E $0$Z $4$ZT $5$T $5$H
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 4& 5 & 5 & 0 & 4 \\ \hline\end{array}$
$4$E $0$Z $4$ZT $5$T $5$H $=45\,504$
Aufgabe 3:
$0$ZT $4$T $5$H $3$Z $\color{#99CC00}{15}$E $=0$ZT $4$T $5$H $\color{#99CC00}{4}$Z $\color{#99CC00}{5}$E
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0 & 4 & 5 & 4 & 5 \\ \hline\end{array}$
$0$ZT $4$T $5$H $3$Z $15$E $=4\,545$
Aufgabe 4:
$4$E $5$Z $5$H $0$T $4$ZT
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 4& 0 & 5 & 5 & 4 \\ \hline\end{array}$
$4$E $5$Z $5$H $0$T $4$ZT $=40\,554$
Aufgabe 5:
$0$ZT $0$T $0$H $4$Z $\color{#99CC00}{14}$E $=0$ZT $0$T $0$H $\color{#99CC00}{5}$Z $\color{#99CC00}{4}$E
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0 & 0 & 0 & 5 & 4 \\ \hline\end{array}$
$0$ZT $0$T $0$H $4$Z $14$E $=54$
Aufgabe 6:
$4$E $0$Z $5$H $0$T $0$ZT
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0 & 0 & 5 & 0 & 4 \\ \hline\end{array}$
$4$E $0$Z $5$H $0$T $0$ZT $=504$
8'905
sofaheld-Level
6'601
vorgefertigte
Vokabeln
7'232
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Wow einfach Geschichte und Mathematik 😯😯😯
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