Das Dualsystem
Das Dualsystem wird vor allem von Computern benutzt und basiert auf der Zahl 2. Es ermöglicht die Darstellung von Zahlen ausschließlich durch die Ziffern 0 und 1. Wie wandelst du Dezimalzahlen in Dualzahlen um? Interessiert? Das und vieles mehr findest du im obigen Text!
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Grundlagen zum Thema Das Dualsystem
Was ist das Dualsystem?
Hast du in Mathe schon einmal vom Dualsystem gehört? Das Dualsystem ist ein Zahlensystem oder genauer ein Stellenwertsystem, also ein System zur Darstellung von Zahlen. Es wird zum Beispiel von Computern verwendet, um Berechnungen durchzuführen. Aber wie genau funktioniert das Dualsystem? Bevor wir uns das anschauen, wiederholen wir kurz unser normales Zahlensystem.
Schauen wir uns zum Beispiel die folgende Zahl an: $127$
Wir können diese Zahl in eine Stellenwerttafel eintragen:
| 100 | 10 | 1 |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 7 |
In der ersten Zeile steht der Stellenwert, beginnend mit den Einern links. Um zur nächsthöheren Stelle zu gelangen, wird der Stellenwert jeweils mit $10$ multipliziert. Nach den Einern kommen also die Zehner und die Hunderter. Man sagt auch: Die Basis dieses Zahlensystems ist die $10$. Deswegen trägt es auch den Namen Dezimalsystem – decem bedeutet im Lateinischen zehn. Die Zahl $127$ im Dezimalsystem können wir also ausdrücken als Summe der Stellenwerte multipliziert mit der entsprechenden Ziffer:
$127 = 1 \cdot 100 + 2 \cdot 20 + 7 \cdot 1 $
Nach dieser kurzen Wiederholung können wir uns dem Dualsystem zuwenden.
Dualsystem – Definition
Der Name Dualsystem entstammt dem Lateinischen. Das lateinische Wort dualis bedeutet zwei enthaltend. Die Basis des Dualsystems ist die $2$. Das heißt, die erste Stelle hat den Wert $1$, die zweite Stelle den Wert $2$, die dritte Stelle den Wert $4$, die vierte den Wert $8$ und so weiter. Die Stellenwerte hängen also immer über eine Multiplikation mit $2$ zusammen:
$1~ \underbrace{\longrightarrow}_{\cdot 2}~ 2~ \underbrace{\longrightarrow}_{\cdot 2}~ 4 ~ \underbrace{\longrightarrow}_{\cdot 2}~ 8~ \underbrace{\longrightarrow}_{\cdot 2} ~ 16 ~ \underbrace{\longrightarrow}_{\cdot 2}~ 32$
... und so weiter. Um eine Zahl im Dualsystem darzustellen, benötigen wir nur die Ziffern $0$ und $1$.
Schauen wir uns dazu als Beispiel die Zahl $111_2$ im Dualsystem an. Die kleine $2$ im Index zeigt uns an, dass diese Zahl im Dualsystem geschrieben ist und nicht etwa eine einhundertelf im Dezimalsystem. Wir tragen die Ziffern der $111_2$ wieder in eine Stellenwerttafel ein:
| 4 | 2 | 1 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
Wir können also ganz analog im Dezimalsystem die Zahl $111_2$ wie folgt ausdrücken:
$111_2 = 1 \cdot 4 + 1\cdot 2 + 1\cdot 1 = 7_{10}$
Die Zahl $111_2$ im Dualsystem entspricht also der Zahl $7_{10}$ im Dezimalsystem. Wir haben eine $10$ in den Index geschrieben, um zu verdeutlichen, dass die $7$ im Dezimalsystem angegeben ist. Üblicherweise lassen wir diese $10$ weg, weil wir in der Regel mit dem Dezimalsystem rechnen.
Wie kann man Dezimalzahlen in Dualzahlen umwandeln?
Es gibt zwei Möglichkeiten, mit denen wir Dezimalzahlen in Dualzahlen umwandeln können. Wir schauen uns als Beispiel beide Möglichkeiten für die Zahl $94$ an.
Möglichkeit 1
Für den ersten Weg, die $94$ in eine Dualzahl umzuwandeln, müssen wir sie durch $2$ teilen und den Rest notieren:
$94 : 2 = 47 \quad \text{Rest: } 0$
Das Ergebnis teilen wir wiederum durch $2$ und notieren den Rest. So verfahren wir, bis die Division durch $2$ eine $0$ ergibt:
$94 : 2 = 47 \quad \text{Rest: } 0 \newline 47 : 2 = 23 \quad \text{Rest: } 1 \newline 23 : 2 = 11 \quad \text{Rest: } 1 \newline 11 : 2 = 5 \quad \text{Rest: } 1 \newline 5 : 2 = 2 \quad \text{Rest: } 1 \newline 2 : 2 = 1 \quad \text{Rest: } 0 \newline 1 : 2 = 0 \quad \text{Rest: } 1$
Notieren wir die Reste von unten nach oben als eine Zahl, ist das Ergebnis die gesuchte Zahl im Dualsystem. Also:
$94_{10} = 1011110_2$
Möglichkeit 2
Die zweite Möglichkeit, die $94$ umzuwandeln, ist es, die Stellenwerttafel zu nutzen. Dazu schreiben wir zunächst eine Tafel mit den Stellenwerten, aber noch ohne Ziffern auf:
| 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
Nun vergleichen wir die $94$ mit den Stellenwerten, um zu überprüfen, wie häufig diese in die $94$ gehen. Der erste Stellenwert, den wir notiert haben, ist die $128$. Die $128$ geht keinmal in die $94$, also steht hier die Ziffer $0$. Der nächste Stellenwert ist die $64$. Die $64$ geht einmal in die $94$, wir notieren an dieser Stelle also eine $1$. Als Rest der Division bleiben $30$. Der nächste Stellenwert ist die $32$. Diese geht keinmal in die $30$, also schreiben wir an diese Stelle eine $0$. Die $16$ geht wieder einmal in die $30$, wir schreiben also eine $1$ und rechnen mit dem Rest von $14$ weiter. So ergibt sich schließlich:
| 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | |
Jetzt kennen wir zwei Möglichkeiten, mit denen wir Zahlen vom Dezimalsystem ins Dualsystem umrechnen können. Aber wie geht es umgekehrt?
Wie kann man Dualzahlen in Dezimalzahlen umwandeln?
Um eine Dualzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, können wir so vorgehen, wie wir es in der Einführung bereits gemacht haben. Wir notieren die Zahl in einer Stellenwerttafel und rechnen im Anschluss die Summe der Stellenwerte multipliziert mit der dazugehörigen Ziffer aus. Sehen wir uns als Beispiel die Zahl $110101_2$ an. Wir schreiben sie zunächst in eine Stellenwerttafel.
| 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | ||
Jetzt gehen wir vor wie zuvor beschrieben:
$110101_2 = 1 \cdot 32 + 1 \cdot 16 + 0 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 53_{10} $
Die Zahl $110101_2$ entspricht also der Zahl $53$ im Dezimalsystem.
Das Video zum Dualsystem
In diesem Video wird dir das Dualsystem einfach erklärt. Du lernst die Unterschiede zwischen Dualsystem und Dezimalsystem kennen. Anhand von Beispielen wird dir gezeigt, wie man Zahlen zwischen beiden Stellenwertsystemen umrechnen kann.
Transkript Das Dualsystem
Pssst. Hallo. Wir befinden uns hier in einem Geheimlabor zur Suche nach außerirdischem Leben. Gerade wird ein Signal aufgefangen. Ist das endlich der Beweis für außerirdisches Leben? Eine Ziffernfolge aus Nullen und Einsen. Was ist das denn für eine Zahl? Um das herauszufinden, müssen wir Zahlen im Dualsystem umrechnen. Vielleicht ist dir schon aufgefallen, dass die Zahl anders aussieht als unsere gewöhnlichen Zahlen. Sie besteht nur aus den beiden Ziffern Null und Eins. Um zu verstehen, wie diese Zahlen funktionieren, sehen wir uns zuerst unsere gewohnten Zahlen etwas genauer an. Zum Beispiel die 127. Sie besteht aus den Ziffern 1, 2 und 7. Die schreiben wir an die richtige Stelle. Die Zahl 127 besteht aus einem Hunderter, zwei Zehnern und sieben Einern. Den nächsthöheren Stellenwert erhältst du, indem du mal zehn rechnest. Die Zehn ist die Basis unseres Stellenwertsystems. Daher wird es auch als Dezimalsystem oder Zehnersystem bezeichnet. Es gibt jedoch noch viele andere Stellenwertsysteme. Eines davon ist das Dualsystem. Manchmal wird es auch Binär- oder Zweiersystem genannt. Hier ist die Basis nicht 10, sondern zwei. Die Stellenwerte erhältst du im Dualsystem, indem du von der 1 ausgehend immer mal zwei rechnest. Sie sind also 1, 2, 4, 8, 16, 32, und so weiter. Und zum Aufschreiben der Zahlen braucht man nur die beiden Ziffern Null und Eins. Sehen wir uns beispielsweise die Dualzahl 111 an. Sie entspricht der Zahl 7 in unserem gewohnten Dezimalsystem. Die Ziffern bedeuten nämlich '1 mal 4 plus 1 mal 2 plus 1 mal 1'. Damit man immer weiß, von welchem Stellenwertsystem man gerade spricht, kann man die entsprechende Basis als Index an die Zahl schreiben. Bei der Dualzahl also eine kleine Zwei, bei der Dezimalzahl eine kleine Zehn. Da man meistens mit dem Dezimalsystem rechnet, schreibt man dort üblicherweise keine 10 an die Zahlen. Lass uns gemeinsam die Dualzahl zur Dezimalzahl 94 finden. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten. Die erste funktioniert so: Du teilst 94 durch 2 und schreibst das Ergebnis und den Rest auf – der kann immer nur 0 oder 1 sein! Dann teilst du das Ergebnis dieser Rechnung wieder durch zwei und notierst wieder das Ergebnis und den Rest. Das wiederholst du solange, bis das Ergebnis null ist. Und jetzt kommt es auf die Reste an. Die ergeben nämlich von unten nach oben gelesen die Zahl im Dualsystem. Für die zweite Möglichkeit hilft dir die Stellenwerttabelle. Du suchst den Stellenwert, der zwar möglichst groß ist, aber kleiner als die 94. Der größte Stellenwert, der noch in 94 passt, ist 64. Die 64 geht einmal in die 94 also notierst du eine Eins unter die 64. Jetzt ziehst du die 64 von der 94 ab das ergibt 30. Mit der 30 machst du es jetzt genauso. 32 passt in 30 gar nicht; also schreiben wir eine 0 in die 32er-Stelle. Wir belassen die 30 und gehen zur nächsten Stelle. Die 16 passt einmal in die 30 also schreibst du eine Eins hin. Du subtrahierst wieder also 30 minus 16 und machst mit der 14 weiter. So arbeitest du weiter, bis du an der kleinsten Stelle angekommen bist. Jetzt musst du die Dualzahl nur noch aus der Tabelle abschreiben und unten die kleine Zwei als Index hinzufügen. Das ist die gleiche Zahl wie eben: man liest sie als "eins null eins eins eins eins null". Wie funktioniert umgekehrt das Umwandeln von der Dualzahl in die entsprechende Dezimalzahl? Welche Dezimalzahl entspricht der Dualzahl "eins eins null eins null eins"? Dazu benutzt du am besten die Stellenwerttabelle. Du trägst unten die Dualzahl ein. Oben schreibst du - am besten von rechts nach links - die aufsteigenden Stellenwerte für jede Stelle deiner Dualzahl auf. Diese Stellenwerte multiplizierst du mit der Ziffer darunter und addierst die Ergebnisse dann. 1 mal die 32 plus 1 mal die 16 plus 0 mal die 8 plus 1 mal die 4 plus 0 mal die 2 plus 1 mal die 1. Das ergibt die Dezimalzahl 53. Das ist also die entsprechende Zahl im Dezimalsystem. Fassen wir nochmal alles zusammen. Das Dualsystem ist ein Stellenwertsystem mit der Basis zwei. Es hat nur zwei Ziffern, nämlich 0 und 1. Mit Hilfe der Stellenwerttabelle kannst du jede Dezimalzahl zu einer Dualzahl umrechnen und umgekehrt. Du kannst eine Dezimalzahl auch zu einer Dualzahl umrechnen, indem du wiederholt durch 2 dividierst: die Reste ergeben die Dualzahl. Und wie läuft's im Labor? Diese ganzen Botschaften ergeben irgendwie keinen Sinn. Was ist denn da los?
Das Dualsystem Übung
-
Definiere das Dualsystem.
TippsFür die Dezimaldarstellung der Zahl zwölf schreibst du an die Zehnerstelle die Ziffer $1$, an die Einerstelle die Ziffer $2$.
Die Anzahl der Ziffern in einem Stellenwertsystem entspricht genau der Größe der Basis.
Die dritte Stelle im Dualsystem hat den Stellenwert $4$, die vierte Stelle den Stellenwert $8$.
LösungDas Dezimalsystem und das Dualsystem sind beides Stellenwertsysteme. Beim Dezimalsystem verwendet man die Basis $10$, beim Dualsystem die Basis $2$. In einem Stellenwertsystem werden Zahlen durch Ziffern an der richtigen Stelle geschrieben. Die Bedeutung der Stellen ist durch die Stellenwerte festgelegt. Die Stellenwerte sind Potenzen der Basis, d.h. den nächsthöheren Stellenwert erhältst du immer durch Multiplikation mit der Basis. Im Dezimalsystem laufen die Ziffern von $0$ bis $9$, im Dualsystem von $0$ bis $1$.
Die Zahl $110101_2$ ist im Dualsystem notiert. Du kannst sie ins Dezimalsystem umrechnen. Dazu setzt du die Stellenwerte in die folgende Rechnung ein. Die Ziffern der Dualzahl geben dir an, welche Stellenwerte du nehmen musst:
$110101_2 = 1 \cdot 32 + 1 \cdot 16 + 1\cdot 4 + 1 \cdot 1=53_{10}$
-
Gib dieselben Zahlen im Dual- und Dezimalsystem an.
TippsBei den meisten Zahlen hat die Binärdarstellung mehr Ziffern als die Dezimaldarstellung.
Die Binärdarstellung $1101_2$ gehört zu der Zahl $1101_2 = 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 13_{10}$.
Im Dualsystem kommen nur die Ziffern $0$ und $1$ vor.
LösungDie Ziffern einer Dualzahl sind die Koeffizienten der Stellenwerte in der Berechnung der Zahl. Die Zahl $1101_2$ rechnest du zum Beispiel so aus:
$1101_2 = 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 13_{10}$
Nach demselben Prinzip kannst du auch alle anderen Dualzahlen berechnen.
Richtig sind diese Gleichungen:
- $94_{10} = 1011110_2$, denn $1011110_2 = 64 + 16 + 8 + 4 + 2 = 94_{10}$.
- $111_2 = 7_{10}$, denn $111_2 = 4 + 2 + 1 = 7_{10}$.
- $53_{10}=110101_2$, denn $110101_2 = 32 + 16 + 4 + 1 = 53_{10}$.
- $1_2 = 1_{10}$, denn $1_2 = 1 \cdot 1 = 1_{10}$.
- $111_{10} = 111_{2}$, denn $111_2 = 4 + 2 + 1 = 7_{10}$.
- $110101_2 = 35_{10}$, denn $110101_2 = 32 + 16 + 4 + 1 = 53_{10}$.
- $1011110_2 = 49_{10}$, denn $101110_2 = 64 + 16 + 8 + 4 + 2 = 94_{10}$.
-
Vergleiche die Zahlen.
TippsEine ungerade Zahl endet in der Dualdarstellung mit $1$.
Die Dualdarstellung von $2^k$ ist eine $1$ gefolgt von $k$ Nullen.
Es gilt $111_2 + 1_2 = 1000_2 = 8_{10}$.
LösungDie Ziffern einer Zahldarstellung in einem Stellenwertsystem geben an, wie oft der jeweilige Stellenwert in der Zahl vorkommt. Daher ist $111_2 = 1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$ und $111_{10} = 1 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 1 \cdot 1$. Du kannst die Zahlen aus dem Dualsystem ins Dezimalsystem umrechnen und umgekehrt. Du erhältst dann folgende Zuordnung:
- $1110110_2 = 118_{10}$
- $1101110_2 = 110_{10}$
- $1010_2 = 10_ {10}$
- $11111_2 = 31_{10}$
-
Analysiere die Aussagen zu Dezimal- und Binärdarstellungen.
TippsÜberlege, welche Ziffern im Dualsystem vorkommen.
Die Ziffer an der Einerstelle einer Dezimalzahl ist der Rest, den du erhältst, wenn du die Zahl durch $10$ dividierst.
Da die Basis des Dualsystems kleiner ist als die Basis des Dezimalsystems, hat die Binärdarstellung einer Zahl im Allgemeinen mehr Ziffern als die Dezimaldarstellung. Überlege, ob das für alle Zahlen gilt.
LösungFolgende Aussagen sind richtig:
- „Jede Ziffer des Binärsystems ist auch eine Ziffer im Dezimalsystem.“ Das Dualsystem hat die Ziffern $0$ und $1$, das Dezimalsystem die Ziffern $0$ bis $9$.
- „Die Zahl $1101_2$ ist kleiner als die Zahl $1101_{10}$.“ Denn $1101_2 = 8 + 4 + 1 = 13_{10} < 1101_{10}$.
- „$0$ und $1$ sind die beiden einzigen Zahlen, die in der Binärdarstellung nicht länger sind als in der Dezimaldarstellung.“ Da die Basis der Binärdarstellung kleiner ist als die Basis der Dezimaldarstellung, ist die Binärdarstellung im Allgemeinen länger als die Dezimaldarstellung. Die einzigen Ausnahmen sind die Zahlen $0_2 = 0_{10}$ und $1_2 = 1_{10}$.
- „Die Ziffern einer Dezimaldarstellung sind die Reste bei der fortgesetzten Division dieser Zahl durch $10$, in der umgekehrten Reihenfolge.“ Teilst du hundertdreiundzwanzig durch $10$, so erhältst du zwölf und den Rest $3$. Teilst du zwölf durch $10$, so erhältst du eins und den Rest $2$. Teilst du schließlich eins durch $10$, so bleibt nur der Rest $1$. Die Zahl hundertdreiundzwanzig kannst du jetzt als Dezimalzahl aus den Resten aufbauen: Ganz links steht der Rest der letzten Division, dann der vorletzte usw.: Du erhältst die Dezimalzahl $123$.
- „Jede durch eine Ziffernfolge im Binärsystem dargestellte Zahl ist kleiner als die durch die gleiche Ziffernfolge im Dezimalsystem dargestellte Zahl.“ Die Aussage ist richtig, wenn du „kleiner“ durch „kleiner oder gleich“ bzw. „nicht größer“ ersetzt.
- „Es gibt keine Zahlen, die im Dualsystem und im Dezimalsystem durch dieselbe Ziffernfolge dargestellt werden.“ Die gibt es doch, nämlich $0_2 = 0_{10}$ und $1_2 = 1_{10}$.
- „Die Ziffern der Binärdarstellung einer Zahl sind die Reste bei der fortgesetzten Division dieser Zahl durch $2$, in der Reihenfolge ihres Auftretens.“ Die Aussage ist richtig, wenn du die Reihenfolge der Ziffern umkehrst.
-
Stelle die Zahl im Dezimalsystem dar.
TippsDer Übergang von einem Stellenwert zum nächsten geschieht durch Multiplikation mit $2$.
Die erste Stelle rechts hat den Stellenwert $1$.
Trage die Ziffern der Dualzahl als Koeffizienten der Stellenwerte in der Rechnung ein.
LösungVon einer Stelle zur nächsten Stelle gelangst du im Dualsystem durch Multiplikation mit $2$. Die kleinste Stelle hat den Stellenwert $1$, danach kommen von rechts nach links die Stellenwerte $2$, $4$, $8$, $16$, $32$ usw.
Die Ziffern einer Dualzahl sind die Koeffizienten, mit denen die Stellenwerte beim Ausrechnen der Zahl multipliziert werden. Im Dualsystem sind $0$ und $1$ die einzigen Ziffern. Wenn du die Stellenwerte an der richtigen Stelle einsetzt, kannst du die Zahl $110101_2$ ins Dezimalsystem umrechnen.
-
Analysiere die Rechnungen.
TippsMultiplikation mit $10_2$ hat im Dualsystem denselben Effekt wie Multiplikation mit $10_{10}$ im Dezimalsystem.
LösungMultiplikation mit $10_2$ hat im Dualsystem denselben Effekt wie Multiplikation mit $10_{10}$ im Dezimalsystem: Die Multiplikation verschiebt die Ziffern um eine Stelle nach links und hängt rechts eine $0$ an. Dass das immer so ist, hängt mit den Stellenwerten zusammen: Multiplikation mit $2$ im Dualsystem bzw. mit $10$ im Dezimalsystem ist genau der Übergang von einer Stelle zur nächstgrößeren.
Folgende Rechnungen sind richtig:
- $1_2 + 1_2 = 1_2 \cdot 10_2$, denn $1_2 + 1_2 = 1_{10} + 1_{10} = 2_{10} = 10_{2} = 1_2 \cdot 10_2$.
- $10_2 \cdot 10_2 = 100_2$, denn $10_2 \cdot 10_2 = 2_{10} \cdot 2_{10} = 4_{10} = 100_2$.
- $10_2 \cdot 10_2 = 10_2 + 10_2$, denn $10_2 \cdot 10_2 = 100_2 = 4_{10} = 2_{10} + 2_{10} = 10_2 + 10_2$.
- $1010_2 + 101_2 = 1110_2$, denn $1010_2 + 101_2 = 1111_2$.
- $1_2 \cdot 1_2 = 10_2$, denn $1_2 \cdot 1_2 = 1_2$.
- $1000_2 : 10_2 = 10_2$, denn $1000_2 : 10_2 = 100_2$.
- $1010_2 - 110_2 = 101_2$, denn $1010_2 - 110_2 = 100_2$.
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