Dezimalbrüche – Einführung

Dezimalbrüche – Einführung Übung

• Beschreibe die Dezimalbrüche.

  Tipps

  Die Stellenwerte einer Zahl werden von links nach rechts immer kleiner.

  Der Dezimalbruch $5,\!2$ liegt zwischen den natürlichen Zahlen $5$ und $6$. Das heißt, sie ist größer als $5$ und kleiner als $6$.

  Der Dezimalbruch $123,\!456$ entspricht dem Bruch $\dfrac{123\,456}{1\,000}$.

  Lösung

  „Ein Dezimalbruch ist eine Kommazahl. Die Stellen vor dem Komma heißen Vorkommastellen, die Stellen hinter dem Komma sind die Nachkommastellen. Einen Dezimalbruch kann man als Bruch schreiben, dessen Nenner eine Zehnerzahl ist. Die Anzahl der Nachkommastellen bestimmt die Anzahl der Nullen dieser Zehnerzahl.“

  Durch Erweiterung mit $10$ kann man die Anzahl der Nullen im Nenner natürlich auch vergrößern.

  „In der Stellenwerttafel entspricht die erste Nachkommastelle den Zehnteln, die zweite Nachkommastelle den Hundertsteln und die dritte den Tausendsteln. Eine Zahl mit Nachkommastellen liegt auf dem Zahlenstrahl zwischen der natürlichen Zahl mit denselben Vorkommastellen und der nächstgrößeren natürlichen Zahl.“

  So liegt z. B. der Dezimalbruch $5,\!2$ zwischen der natürlichen Zahl $5$ und der nächstgrößeren natürlichen Zahl $5+1 = 6$.

  „Um den Dezimalbruch $89,\!63$ als Bruch zu schreiben, wählen wir als Nenner die Zehnerzahl $100$, denn der Dezimalbruch hat zwei Nachkommastellen. Der Zähler des Bruchs ist die Zahl aus dem Dezimalbruch ohne Komma. Damit erhalten wir:“

  $89,\!63 =\dfrac{8\,963}{100}= 89\dfrac{63}{100}$

• Bestimme die Aussagen über Dezimalbrüche.

  Tipps

  Eine ganze Zahl hat kein Komma.

  Um den Dezimalbruch $43,\!21$ als Bruch zu schreiben, wählt man den Nenner $100$ und den Zähler $4\,321$.

  Ersetzt man bei einem Dezimalbruch die Vorkommastellen durch $0$, so erhält man eine Zahl zwischen $0$ und $1$.

  Lösung

  Folgende Sätze sind korrekt:

  • „Ein Dezimalbruch ... ist eine Zahl, die aus Vor- und Nachkommastellen besteht.“

  Die Nachkommastelle muss dabei ungleich null sein, sonst wäre es eine ganze Zahl und kein echter Bruch. Die Vorkommastelle kann hingegen gleich null sein.

  • „ Eine ganze Zahl ... ist eine Zahl ohne Nachkommastellen.“ Eine Zahl mit Nachkommastellen ist keine ganze Zahl, sondern liegt zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen.

  • „Der Nenner des Bruchs zu einer Kommazahl ... kann immer als Zehnerzahl gewählt werden.“

  Die erste Nachkommastelle ist die Zehntelstelle, die zweite die Hundertstelstelle usw. Daher kann man jeden Dezimalbruch als Bruch schreiben, dessen Nenner eine Zehnerzahl ist. Wie viele Nullen die Zehnerzahl im Nenner mindestens hat, ist durch die Anzahl der Nachkommastellen bestimmt.

  • „Der Zähler des Bruchs zu einer Kommazahl ... ist die Zahl aus dem Dezimalbruch ohne Komma.“

  Einen Dezimalbruch kann man als Bruch schreiben, indem man als Nenner eine Zehnerzahl wählt. Die kleinstmögliche Zehnerzahl hat genau so viele Nullen, wie der Dezimalbruch Nachkommastellen hat. Wählt man als Nenner des Bruchs diese Zehnerzahl, so ist der Zähler des Bruchs genau die Zahl aus dem Dezimalbruch ohne Komma.

• Ordne den Dezimalbrüchen Brüche bzw. gemischte Brüche zu.

  Tipps

  Rechne die Dezimalbrüche in Brüche um, indem du als Nenner eine passende Zehnerzahl wählst und als Zähler den Dezimalbruch ohne Komma einträgst.

  Wenn du einen Dezimalbruch als gemischten Bruch schreibst, so entsprechen die Nachkommastellen dem Zähler im gemischten Bruch.

  Der Dezimalbruch $123,\!45$ liegt zwischen den natürlichen Zahlen $123$ und $124$. Du kannst ihn deshalb als gemischten Bruch mit der ganzen Zahl $123$ und einem Bruch schreiben, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist.

  Lösung

  Wenn du den Dezimalbruch $123,\!45$ als Bruch schreibst, so kannst du $100$ als Nenner wählen, denn der Dezimalbruch hat zwei Nachkommastellen. Der Zähler ist die Zahl aus dem Dezimalbruch ohne Komma, also $12\,345$. Als gemischten Bruch wählst du denselben Nenner. Der Zähler besteht jetzt nur aus den Nachkommastellen, also $45$. Die ganze Zahl besteht aus den Vorkommastellen, also $123$. Du erhältst also $123,\!45 = 123\frac{45}{100}$.

  Auf diese Weise erhältst du folgende Umformungen:

  • $54,\!321 = \frac{54\,321}{1\,000}$

  • $543,\!21 = 543\frac{21}{100}$

  • $5,\!4321 = \frac{54\,321}{10\,000}$

  • $5\,432,\!1 = 5\,432\frac{1}{10}$

• Erschließe die jeweiligen Brüche zu den Dezimalbrüchen.

  Tipps

  In einem gemischten Bruch besteht die ganze Zahl aus den Vorkommastellen des Dezimalbruchs.

  In einem gemischten Bruch kannst du die Bruchzahl kürzen. Die ganze Zahl vor dem Bruch bleibt beim Kürzen unverändert.

  Lösung

  Beim Umrechnen der Dezimalbrüche in Brüche bzw. gemischte Brüche kannst du zuerst als Nenner eine Zehnerzahl passend zu den Nachkommastellen wählen und später kürzen. Beim Kürzen eines gemischten Bruches ändert sich nur der Zähler und Nenner des Bruchs, nicht die ganze Zahl vor dem Bruch.

  Hier erhältst du folgende Umformungen:

  $\bullet ~~87,\!654 = \dfrac{87\,654}{1\,000} = \dfrac{43\,827}{500} = 87\dfrac{654}{1\,000} = 87\dfrac{327}{500}$

  $\bullet ~~876,\!54 = \dfrac{87\,654}{100} = \dfrac{43\,827}{50} = 876\dfrac{54}{100} = 876\dfrac{27}{50}$

  $\bullet ~~8,\!765 = \dfrac{8\,765}{1\,000} = \dfrac{1\,753}{200} = 8\dfrac{765}{1\,000} = 8\dfrac{153}{200}$

  $\bullet ~~876,\!5 = \dfrac{8\,765}{10} = \dfrac{1\,753}{2} = 876\dfrac{5}{10} =876\dfrac{1}{2}$

• Berechne die Dezimalbrüche.

  Tipps

  Der Nenner des Bruches zu einem Dezimalbruch ist eine Zehnerzahl. Sie hat so viele Nullen, wie der Dezimalbruch Nachkommastellen hat.

  Der zugehörige Zähler des Bruches ist die Zahl aus dem Dezimalbruch ohne Komma.

  Manche Brüche kann man noch kürzen. So ist z. B. $5,\!5 = \frac{55}{10} = \frac{11}{2}$.

  Lösung

  Um einen Dezimalbruch in einen Bruch umzuwandeln, wählst du als Nenner die Zehnerzahl, die genau so viele Nullen hat, wie der Dezimalbruch Nachkommastellen hat. Der Zähler dieses Bruches ist die Zahl aus dem Dezimalbruch ohne Komma. Manchmal kannst du den erhaltenen Bruch noch kürzen oder in einen gemischten Bruch umwandeln.

  Hier sind folgende Gleichungen korrekt:

  • $5,\!2 = \frac{52}{10}$

  • $89,\!63 = 89\frac{63}{100}$

  • $5,\!2 = \frac{26}{5}$

  • $5,\!2 = 5\frac{1}{5}$

  Folgende Gleichungen sind falsch:

  • $89,\!63 = \frac{8\,963}{10}$. Hier ist der Nenner falsch. Korrekt wäre $89,\!63 = \frac{8\,963}{100}$.

  • $5,\!2 = 5\frac{2}{100}$. Wieder ist der Nenner falsch. Korrekt wäre hier $5,\!2 = 5\frac{2}{10}$.

  • $89,\!63 = 893\frac{3}{10}$. Die Umformung in einen gemischten Bruch ist nicht korrekt. Als Bruch lautet der Dezimalbruch $89,\!63 = \frac{8\,963}{100}$. Das entspricht dem gemischten Bruch $89\frac{63}{100}$.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Es gilt:

  • $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$.

  In Dezimalbrüchen lautet die Rechnung:

  • $0,\!25 \cdot 0,\!25 = 0,\!0625$.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Jeder positive Dezimalbruch ist kleiner als die Zahl mit denselben Ziffern ohne Komma.“ Das Weglassen des Kommas eines Dezimalbruchs entspricht der Multiplikation mit einer Zehnerzahl. Die Zehnerzahl hat so viele Nullen, wie der Dezimalbruch Nachkommastellen hat. Der Dezimalbruch ist kleiner als sein Produkt mit einer Zehnerzahl.

  • „Fügt man zu einem positiven Dezimalbruch eine Nachkommastelle $\neq 0$ hinzu, so wird der Dezimalbruch größer.“ Jede Nachkommastelle entspricht einem Bruch, dessen Zähler die Ziffer der entsprechenden Stelle und dessen Nenner die Zehnerzahl ist. Die Anzahl der Nullen der Zehnerzahl ist die Position der entsprechenden Nachkommastelle. Das Hinzufügen einer weiteren Nachkommastelle ist das Addieren dieses Bruchs. Durch das Addieren wird der Dezimalbruch größer. Zum Beispiel ist der Übergang von $123,\!4$ zu $123,\!45$ dasselbe, wie die Addition $123,\!45 = 123,\!4 + \frac{5}{100}$. Diese Summe ist größer als $123,\!4$, weil $\frac{5}{100} > 0$ ist.

  • „Die Summe zweier Kommazahlen mit drei Nachkommastellen kann weniger als drei Nachkommastellen haben.“ Dies geschieht dann, wenn sich die hinteren Ziffern zu einer Zehnerzahl addieren. So ist z. B. $1,\!23 + 5,\!67 = 6,\!90 = 6,\!9$ und $1,\!234 + 5,\!566 = 6,\!8$.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Eine Zahl mit weniger Nachkommastellen ist kleiner als eine Zahl mit mehr Nachkommastellen.“ Als Gegenbeispiel ist $5,\!6$ größer als $2,\!34$, obwohl die erste Zahl weniger Nachkommastellen hat.

  • „Ein Dezimalbruch mit $0$ als einziger Vorkommastelle ist stets kleiner als $0$.“ Jeder Dezimalbruch ist größer als die natürliche Zahl, die nur aus den Vorkommastellen gebildet wird.

  • „Jeden Bruch kann man als Dezimalbruch mit endlich vielen Stellen schreiben.“ Das gilt nur, wenn der Nenner des Bruchs aus den Primfaktoren $2$ und $5$ besteht. Zum Beispiel ist $\frac{1}{3} = 0,\!\overline{3}$ kein Dezimalbruch mit endlich vielen Stellen.

  • „Das Produkt zweier Kommazahlen mit drei Nachkommastellen hat wieder drei Nachkommastellen.“ Bei der Multiplikation von Dezimalbrüchen addiert sich die Anzahl der Nachkommastellen. So ist z. B. $1,\!111 \cdot 2,\!222 = 2,\!468642$.