Brüche und Dezimalzahlen durch Zehnerpotenzen dividieren

Brüche und Dezimalzahlen durch Zehnerpotenzen dividieren Übung

• Beschreibe, wie du die Menge Reis berechnest, die jeder Einwohner erhält.

  Tipps

  Hier siehst du den Anfang der Berechnung, wie viel Reis jeder Einwohner des zweiten Dorfs erhält:

  Dividiere $0,8~\text{t}:100$.

  Verschiebe nun das Komma im Dividenden $0,8~\text{t}$ um zwei Stellen nach links.

  Wieso um zwei Stellen? Schreibe $100=10^{2}$. Im Exponenten steht die Anzahl der Nullen. Dies ist auch die Anzahl der Stellen, um die das Komma verschoben wird.

  Jeder Einwohner des zweiten Dorfs erhält somit $0,008~\text{t}=8~\text{kg}$ Reis.

  Lösung

  Um zu berechnen, wie viel Reis jeder Einwohner des ersten Dorfs erhält, löst du diese Divisionsaufgabe:

  $0,8~\text{t}:1000$

  Da der Divisor, die $1000$, eine Zehnerpotenz ist $(1000=10^{3})$, musst du im Dividenden $0,8~\text{t}$ das Komma um drei Stellen nach links verschieben.

  So erhältst du $0,8~\text{t}:1000=0,0008~\text{t}$. Somit erhält jeder Einwohner $0,0008~\text{t}=0,8~\text{kg}$ Reis.

  Ebenso kannst du die Menge an Reis für jeden Bewohner des zweiten Dorfs berechnen:

  • Rechne $0,8~\text{t}:100$.
  • Verschiebe das Komma im Dividenden um zwei Stellen nach links.
  • So erhältst du $0,8~\text{t}:100=0,008~\text{t}=8~\text{kg}$.

  Jeder Einwohner des zweiten Dorfs erhält $8~\text{kg}$ Reis.

• Fasse das Dividieren von Brüchen und Dezimalzahl durch Zehnerpotenzen zusammen.

  Tipps

  Bei einem Bruch steht der Zähler oberhalb und der Nenner unterhalb des Bruchstriches.

  Wenn du $1$ durch eine Zehnerpotenz teilst, erhältst du:

  • $1:10=0,1$
  • $1:100=0,01$
  • $1:1000=0,001$

  Es ist $6,23:10=0,623$. Da die $10$ eine $0$ am Ende hat, wird das Komma bei der Division um eine Stelle nach links verschoben.

  Wenn du einen Bruch durch eine Zahl dividierst, kannst du entweder den Zähler durch diese Zahl dividieren oder den Nenner mit dieser Zahl multiplizieren.

  Lösung

  Division von Dezimalzahlen durch Zehnerpotenzen

  Wie kannst du eine Dezimalzahl durch eine Zehnerpotenz dividieren? Du verschiebst das Komma der Dezimalzahl.

  Teilt man eine Dezimalzahl durch eine Zehnerpotenz $10$; $100$; ..., so verschiebt sich das Komma um so viele Stellen nach links wie die Anzahl der Nullen der Zehnerpotenz.

  Hierfür schauen wir uns einmal ein Beispiel an: $6,23:1000$

  Die Zahl $1000$ hat drei Nullen. Du musst das Komma also um drei Stellen nach links verschieben.

  • ... eine Stelle: $0,623$
  • ... eine weitere Stelle: $0,0623$
  • ... und schließlich noch eine Stelle: $0,00623$

  Es ist also $6,23:1000=0,00623$.

  Division von Brüchen durch Zehnerpotenzen

  Wenn du einen Bruch durch eine Zehnerpotenz teilen möchtest, multiplizierst du seinen Nenner mit dieser Zehnerpotenz.

  Auch dies machen wir uns an einem Beispiel klar:

  $\dfrac{19}{289}:10=\dfrac{19}{289}\cdot \dfrac{1}{10}=\dfrac{19\cdot 1}{289\cdot 10}=\dfrac{19}{2890}$

  Übrigens gilt das für die Division eines Bruches durch eine beliebige Zahl. Du kannst entweder den Zähler durch diese Zahl dividieren oder den Nenner mit dieser Zahl multiplizieren.

• Berechne das jeweilige Ergebnis der Divisionsaufgabe.

  Tipps

  Beachte: Beim Dividieren einer Dezimalzahl durch eine Zehnerpotenz verschiebst du das Komma nach links. Um wie viele Stellen musst du das Komma verschieben? Zähle die Nullen bei der Zehnerpotenz. Um so viele Stellen musst du das Komma verschieben.

  Zum Beispiel musst du beim Dividieren durch $10$ das Komma um eine Stelle nach links verschieben.

  Was tust du, wenn die Zahl, die geteilt werden soll, kein Komma hat? Du denkst dir ein Komma am Ende dieser Zahl.

  Schau dir das Beispiel $4:1000$ an:

  Denke dir ein Komma hinter der „$4$“, also „$4,$“.

  Verschiebe dieses Komma um drei Stellen nach links:

  • ... eine Stelle: $0,4$
  • ... noch eine Stelle: $0,04$
  • ... schließlich die dritte Stelle: $0,004$

  Das Ergebnis ist $0,004$.

  Lösung

  Wenn du eine Dezimalzahl durch eine Zehnerpotenz teilst, verschiebst du das Komma nach links.

  Die Anzahl der Stellen hängt dabei von dem Exponenten der Zehnerpotenz bzw. der Anzahl der Nullen hinter der $1$ ab.

  Eine Zehnerpotenz ist eine natürliche Zahl, deren erste Ziffer eine $1$ ist, auf die nur $Nullen$ folgen.

  Das geht übrigens auch, wenn die Zahl kein Komma hat. Du denkst dir dann hinter der Zahl ein Komma. Hier siehst du die Verschiebung Schritt für Schritt:

  • $41:10=41,0:10=4,1$
  • $0,41:100=0,041:10=0,0041$
  • $2,2:1000=0,22:100=0,022:10=0,0022$
  • $0,022:100=0,0022:10=0,00022$

• Leite die Zehnerpotenz her, durch welche dividiert werden muss.

  Tipps

  Wie teilst du einen Bruch durch eine Zehnerpotenz? Du teilst entweder den Zähler durch die Zehnerpotenz oder du multiplizierst den Nenner mit der Zehnerpotenz.

  Achte jeweils auf den Zähler und den Nenner. Wurde evtl. gekürzt?

  Schau dir ein Beispiel an:

  $\dfrac{130}{123}:1000=\dfrac{130}{123000}=\dfrac{13}{12300}$

  Hier wird nach der Division noch gekürzt.

  Lösung

  Du sollst einen Bruch durch eine Zahl dividieren. Dazu kannst du

  • den Zähler durch diese Zahl dividieren oder
  • den Nenner mit dieser Zahl multiplizieren.

  Das gilt so auch beim Dividieren durch Zehnerpotenzen.

  • Wenn du den Nenner mit einer Zehnerpotenz multiplizierst, schreibst du entsprechend viele Nullen hinter den Nenner.
  • Wenn du den Zähler durch eine Zehnerpotenz dividierst, musst du entsprechend viele Nullen wegstreichen.
  • Du kannst auch die beiden Vorgehensweisen kombinieren.

  Möchtest du nun umgekehrt wissen, durch welche Zehnerpotenz geteilt wird, kannst du die zusätzlichen Nullen im Nenner oder die verschwundenen Nullen im Zähler zählen. Schauen wir uns nun die Aufgaben an.

  Beispiel 1 $~\dfrac{3}{11}:\text{???}=\dfrac{3}{11000}$

  • Der Zähler ist unverändert.
  • Im Nenner kommen nach der $11$ drei Nullen.

  Das bedeutet, dass durch $1000$ geteilt wird.

  Beispiel 2 $~\dfrac{250}{12}:\text{???}=\dfrac{25}{120}$

  • Im Zähler ist eine Null weggefallen.
  • In Nenner ist eine Null hinzugekommen.
  • Dies sind gesamt zwei Nullen.

  Es wird also durch $100$ geteilt.

  Beispiel 3 $~\dfrac{25}{123}:\text{???}=\dfrac{25}{1230}$

  • Der Zähler ist unverändert.
  • Im Nenner ist eine Null hinzugekommen.

  Hier wird durch $10$ geteilt.

  Beispiel 4 $~\dfrac{12}{230}:\text{???}=\dfrac{12}{23000}$

  • Auch hier ist der Zähler unverändert.
  • Im Nenner sind zwei Nullen hinzugekommen.

  Hier wird durch $100$ geteilt.

• Bestimme die Werte der Zehnerpotenzen.

  Tipps

  Es gilt $10^0 \cdot 1 = 1$.

  Eine Potenz hat die Form $a^{n}$. Sie ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt, bei dem der Faktor $a$ genau $n$-mal vorkommt.

  • $a$ wird als Basis bezeichnet.
  • $n$ ist der sogenannte Exponent.

  Ganz allgemein ist $10^{n}$, für $n\in\mathbb{N}$, $n\ge 1$, eine $1$ mit $n$ Nullen dahinter.

  Zum Beispiel ist $10^4=10\cdot 10\cdot 10\cdot 10$.

  Lösung

  Eine Zehnerpotenz ist eine Potenz, in der die Basis die Zahl $10$ ist, also $10^{n}$.

  Ist $n\ge 1$ eine natürliche Zahl, so erhältst du eine $1$ mit $n$ Nullen dahinter.

  • $10^{1}=10$
  • $10^{2}=10\cdot 10=100$
  • $10^{3}=10\cdot 10\cdot 10=1000$

  Wie sieht es denn mit $10^{0}$ aus? Wenn du eine beliebige Zahl ungleich $0$ mit $0$ potenzierst, erhältst du immer als Ergebnis die $1$. Somit ist $10^{0}=1$.

• Bestimme das jeweilige Ergebnis der Division durch Zehnerpotenzen.

  Tipps

  Bei der Division einer Dezimalzahl durch eine Zehnerpotenz verschiebst du das Komma nach links. Dabei zählst du die Anzahl der Nullen der Zehnerpotenz. Um so viele Stellen musst du das Komma verschieben.

  Dividierst du einen Bruch durch eine Zehnerpotenz, so multiplizierst du den Nenner mit dieser Zehnerpotenz.

  Kürzen bedeutet, dass du den Zähler und den Nenner eines Bruches durch dieselbe Zahl dividierst. Zum Beispiel gilt:

  $\dfrac{5}{15}=\dfrac{5:5}{15:5}=\dfrac13$.

  Lösung

  Merke dir:

  • Beim Dividieren von Dezimalzahlen durch eine Zehnerpotenz verschiebst du das Komma nach links. Dabei ist die Anzahl der Stellen gleich der Anzahl der Nullen in der Zehnerpotenz.
  • Beim Dividieren eines Bruches durch eine Zehnerpotenz multiplizierst du den Nenner mit dieser Zehnerpotenz.

  Pauls Fahrradtour

  Du dividierst $1230,5~\text{km}:100$. Das bedeutet, dass du das Komma um zwei Stellen nach links verschiebst. So erhältst du $12,305~\text{km}$ pro Stunde.

  Annas Urlaub

  Die $\frac23$ des gesamten Geldes sollen zu gleichen Teilen auf $10$ Tage aufgeteilt werden:

  $\frac{2}{3}:10=\frac{2}{3\cdot 10}=\frac{2}{30}=\frac{2:2}{30:2}=\frac1{15}$

  Getreidekörner

  Hier rechnest du $50,8~\text{kg}:100$. Dazu verschiebst du das Komma um zwei Stellen nach links. So erhältst du $0,508~\text{kg}=508~\text{g}$ Getreidekörner je Packung.

  Lucas' Kakaozubereitung

  Lucas muss die Divisionsaufgabe $2,5~\text{}:10$ lösen. Er verschiebt nun das Komma um eine Stelle nach links. So kommt er zu $0,25~\text{l}=250~\text{ml}$.

  So viel Milch kann er in jede Tasse füllen. Das sollte gut reichen für einen leckeren Kakao.