Summenregel für Wahrscheinlichkeiten

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Summenregel für Wahrscheinlichkeiten
• Weitere Anwendungsbeispiele
• Schnittmengen und Vereinigungsmengen
• Anwendungsbeispiel

Summenregel für Wahrscheinlichkeiten

Hierbei geht es um Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die sich aus mehreren Ergebnissen zusammensetzen.

Um das zu veranschaulichen, helfen uns Beispiele zu Zufallsversuchen:

Zunächst betrachten wir das abgebildete Glücksrad mit zwei roten, zwei grünen und einem blauen Sektor.

Die fünf Sektoren sind jeweils gleich groß. Wir ordnen diese Farben nun den folgenden Ereignissen zu:

• $E_1$: Glücksrad bleibt auf rotem Sektor stehen
• $E_2$: Glücksrad bleibt auf grünem Sektor stehen
• $E_3$: Glücksrad bleibt auf blauem Sektor stehen

Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten entsprechen dem Quotienten aus der Anzahl der zutreffenden Sektoren und der Gesamtzahl der Sektoren des Glücksrads.

$\begin{array}{lll} P(E_1) &=& \frac{2}{5} \\ P(E_2) &=& \frac{2}{5} \\ P(E_3) &=& \frac{1}{5} \end{array}$

Nun betrachten wir folgendes Ereignis:

• $A$: Glücksrad bleibt auf rotem oder blauem Sektor stehen

Die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ bestimmen wir, indem wir die jeweiligen Einzelwahrscheinlichkeiten addieren:

$P(A)=P(E_1\cup E_3)=P(E_1) + P(E_3) =\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$

Wir können mit dieser Methode auch die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass das Glücksrad nicht auf dem blauen Sektor stehen bleibt, ermitteln. Dazu müssen wir $P(E_1)$ und $P(E_2)$ addieren:

$P(E_1\cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) = \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$

Die Wahrscheinlichkeit, also das Ergebnis unserer Rechnung, muss $\leq 1$ sein.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das sich aus mehreren Ergebnissen zusammensetzt, ist gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten der Ergebnisse.

Weitere Anwendungsbeispiele

Wir wenden die Summenregel an, um Wahrscheinlichkeiten für zusammengesetzte Ereignisse von Zufallsversuchen zu ermitteln. Hierzu betrachten wir zunächst den hier abgebildeten herkömmlichen Würfel mit Augenzahlen von $1$ bis $6$:

Es sollen nur die geraden Zahlen gewürfelt werden, also betrachten wir folgendes Ereignis:

• $E ={2;4;6}$

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $E$ entspricht der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten:

$P(E) = P(\{2\}) + P(\{4\}) + P(\{6\}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} +\frac{1}{6} = \frac{1}{2}$

Anschließend betrachten wir den zweifachen Münzwurf.

Hier sollen in beiden Würfen gleiche Bilder fallen, also entweder Kopf und Kopf oder Zahl und Zahl. Wir betrachten also folgendes Ereignis:

• $E = {(K;K);(Z;Z)}$

Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis erhalten wir wie folgt:

$P(E)= P((K;K)) + P((Z;Z)) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Schnittmengen und Vereinigungsmengen

Es gibt Fälle, bei denen bestimmte Elemente zu zwei Mengen gehören. Dies nennt man Schnittmenge.

In dem Venn-Diagramm überlappen sich die beiden Mengen. Der schraffierte Bereich ist die Schnittmenge beider Mengen, in der sich gemeinsame Elemente dieser Mengen befinden.

Sind $A$ und $B$ die Ereignisse eines Zufalls, so enthält die Vereinigungsmenge $A\cup B$ Elemente, die aus $A$ oder $B$ sind.

Anwendungsbeispiel

Wir betrachten die Zahlen von $1$ bis $10$, die sich in folgende Teilmengen untergliedern:

• $E_1 = {1;2;3;4;5;6;7}$
• $E_2 = {3;4;5;6;7;8;9;10}$

Wir wenden die Summenregel an, um die Wahrscheinlichkeit für die Vereinigungsmenge $E_1\cup E_2$ zu bestimmen :

$P(E_1) + P(E_2) = \frac{7}{10} + \frac{8}{10} = \frac{15}{10} = 1,5$

Weiter oben heißt es aber, die errechnete Wahrscheinlichkeit muss $\leq 1$ sein. Wo liegt der Fehler?

Die Zahlen $3;4;5;6;7$ befinden sich in den beiden Mengen $E_1$ und $E_2$. Sie bilden also die Schnittmenge dieser beiden Mengen. In unserer obigen Rechnung haben wir sie doppelt erfasst.

Somit müssen wir die Schnittmenge in diesem Fall wieder abziehen, was sich folgendermaßen auf die Summenregel auswirkt:

$P(E_1\cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1\cap E_2)= \frac{7}{10} + \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = 1$

Nun beträgt die errechnete Wahrscheinlichkeit genau $1$. Dieses Ergebnis zeigt, dass alle Zahlen von $1$ bis $10$ erfasst wurden. Die Vereinigungsmenge umfasst nun alle Zahlen aus den zwei Teilmengen und die Elemente aus der Schnittmenge zählen nicht doppelt.

Befinden sich bei einem Zufallsversuch Elemente aus der einen Menge auch in der anderen Menge, müssen wir bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit des zusammengesetzten Ereignisses nach Addition der Teilwahrscheinlichkeiten die Schnittmenge wieder subtrahieren.