Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Gesetz der großen Zahlen
Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse eines Zufallsversuchs um die erwarteten Wahrscheinlichkeiten stabilisieren, wenn der Versuch immer wieder durchgeführt wird. Es gibt ein schwaches und ein starkes Gesetz der großen Zahlen, je nachdem, ob die Konvergenz der relativen Häufigkeiten wahrscheinlich oder fast sicher ist. Was heißt das für Gewinnspiele? Lass uns sehen!
- Gesetz der großen Zahlen – Definition
- Gesetz der großen Zahlen – Beispiel
- Gesetz der großen Zahlen – Anwendungsbereiche
- Gesetz der großen Zahlen bei Versicherungen
- Gesetz der großen Zahlen in der Medizin
- Gesetz der großen Zahlen im Casino
- Ausblick – das lernst du nach Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Gesetz der großen Zahlen
- Gesetz der großen Zahlen – Zusammenfassung
- Häufig gestellte Fragen zum Thema Gesetz der großen Zahlen
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Grundlagen zum Thema Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Gesetz der großen Zahlen
Gesetz der großen Zahlen – Definition
Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse eines Zufallsversuchs um die erwarteten Wahrscheinlichkeiten stabilisieren, wenn der Versuch immer wieder durchgeführt wird.
Um die Aussage des Gesetzes der großen Zahlen besser zu verstehen, wollen wir kurz wiederholen, was der Unterschied zwischen der relativen Häufigkeit und der Wahrscheinlichkeit von Ereignissen ist.
Relative Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit und das Gesetz der großen Zahlen
Die Formeln für die relative Häufigkeit eines Ergebnisses eines Zufallsexperiment und für die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses sehen sehr ähnlich aus: Beide Formeln werden durch einen Bruch von Anzahlen beschrieben.
- Für die relative Häufigkeit $h_n$ nach $n$-maliger Durchführung eines Zufallsversuchs wird die absolute Häufigkeit $H_n$, mit der ein Ereignis aufgetreten ist, durch die Anzahl der Durchführungen $n$ geteilt:
$h_n = \dfrac{H_n}{n}$ - Für die Wahrscheinlichkeit $P$ eines Ereignisses $E$ wird bei einem Laplace-Experiment die Anzahl günstiger Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse (Elemente der Ergebnismenge $\Omega$) geteilt:
$P(E) = \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} =\dfrac{\vert E \vert}{\vert \Omega \vert}$
Das Gesetz der großen Zahlen besagt zweierlei:
- Bei mehrfacher Durchführung eines Zufallsexperiments stabilisiert sich die relative Häufigkeit der Ergebnisse.
- Dieser Wert nähert sich auf lange Sicht der Wahrscheinlichkeit des zugehörigen Ereignisses an.
Fehleralarm
Es ist ein weit verbreiteter Irrtum, dass die relative Häufigkeit gleich der Wahrscheinlichkeit ist. Wahrscheinlichkeit ist eine theoretische Größe, während relative Häufigkeit auf realen Daten basiert.
Gesetz der großen Zahlen – Beispiel
Nun wollen wir die Aussage am Beispiel des Münzwurfs verdeutlichen. Dazu betrachten wir eine Münze mit den Seiten „Sofa“ und „Zahl“. Sie wird einmal, dreimal und $100$-mal geworfen.
Wird die Münze nur einmal geworfen, tritt genau eines der beiden Ergebnisse ein. Die relative Häufigkeit dieses Ergebnisses ist dann $1$, die des nicht eingetretenen Ergebnisses ist $0$. Beide Werte liegen so weit weg von der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ wie nur möglich. Wirfst du die Münze aber $100$-mal, fällt vielleicht $48$-mal „Sofa“ und $52$-mal „Zahl“. Die relativen Häufigkeiten von „Sofa“ und „Zahl“ sind dann $\frac{48}{100} = 0{,}48$ bzw. $\frac{52}{100} = 0{,}52$, also schon deutlich näher an der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2} = 0{,}5$.
Die folgende Grafik zeigt, wie sich die relative Häufigkeit für das Ergebnis „Sofa“ bei mehrfacher Durchführung des Zufallsversuchs mit unterschiedlicher Anzahl von Wiederholungen verhält. Dabei steht jeder Punkt für die relative Häufigkeit eines $n$-fachen Münzwurfs. Wir erkennen, dass die Punkte mit zunehmender Zahl an Wiederholungen $n$ zunehmend näher an der erwarteten Wahrscheinlichkeit $0{,}5$ liegen.
Gesetz der großen Zahlen – Anwendungsbereiche
Es gibt verschiedene Bereiche, in denen das Gesetz der großen Zahlen praktische Anwendung findet. Ein paar Beispiele wollen wir hier kurz betrachten.
Gesetz der großen Zahlen bei Versicherungen
Für Versicherungen erlaubt das Gesetz der großen Zahlen Vorhersagen über die Anzahl der zu erwartenden Schadensfälle. Diese sind bei einer großen Zahl von Versicherten mit gleichem Risiko besonders gut. Allerdings machen z. B. Naturkatastrophen oder allgemeine Entwicklungen wie der Klimawandel, die viele Personen gleichzeitig betreffen, eine Anpassung der zugrunde liegenden Annahmen erforderlich.
Gesetz der großen Zahlen in der Medizin
In der medizinischen Forschung wird das Gesetz der großen Zahlen genutzt, um den Einfluss von Messfehlern, z. B. bei Studien zur Wirksamkeit von Behandlungen oder Nebenwirkungen von Medikamenten, zu reduzieren. Mit einer entsprechend hohen Zahl an Testpersonen sind hier genaue Aussagen möglich.
Dies gilt nicht nur in der Medizin, sondern allgemein in der empirischen Forschung.
Gesetz der großen Zahlen im Casino
Kennst du das?
Hast du auch schon einmal beim Spielen mit einem Würfel bemerkt, dass manche Zahlen häufiger kommen als andere? Wenn du den Würfel oft genug wirfst, wirst du feststellen, dass sich die Häufigkeiten der einzelnen Zahlen annähern. Das zeigt dir das Gesetz der großen Zahlen!
Beim Glücksspiel, z. B. am Roulettetisch, ist man versucht, das Gesetz der großen Zahlen so zu interpretieren, dass, nachdem einige Male hintereinander die Farbe Rot gefallen ist, nun als Ausgleich die Kugel bei der Farbe Schwarz liegen bleiben muss. Dem ist aber nicht so, da die einzelnen Runden stets als voneinander unabhängige Zufallsexperimente zu betrachten sind.
Das Gesetz der großen Zahlen ist also nicht als Gesetz des Ausgleichs zu verstehen. Es besagt lediglich, dass bei einer (sehr) großen Zahl von Runden die relative Häufigkeit z. B. für die Farbe Schwarz mit großer Wahrscheinlichkeit nahe an der theoretischen Wahrscheinlichkeit des Ereignisses liegt. Dadurch ist aber keinerlei Rückschluss auf den Ausgang einer bestimmten Runde möglich.
Ausblick – das lernst du nach Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Gesetz der großen Zahlen
Vertiefe dein Wissen in der Mathematik und erkunde die Themen Gegenwahrscheinlichkeit und Laplace-Experimente. Diese bauen direkt auf deinem aktuellen Wissen auf und helfen dir dabei, noch komplexere Wahrscheinlichkeitsrechnungen zu verstehen.
Gesetz der großen Zahlen – Zusammenfassung
- Das Gesetz der großen Zahlen sagt aus, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses auf lange Sicht auf die theoretische Wahrscheinlichkeit eines Zufallsergebnisses einpendelt, wenn man das Zufallsexperiment sehr häufig wiederholt.
- Das Gesetz der großen Zahlen erlaubt in der empirischen Forschung Vorhersagen über Wahrscheinlichkeiten.
- Es ist nicht möglich, aus dem Gesetz der großen Zahlen auf den Ausgang der nächsten Durchführung eines Versuchs zu schließen, da es sich nicht um ein Gesetz des Ausgleichs handelt.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Gesetz der großen Zahlen
Transkript Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Gesetz der großen Zahlen
Große Reichtümer führen zu großen Streitigkeiten. Deswegen führt Käpt'n Da Gamma eine neue Methode zur Entscheidungsfindung ein: den Münzwurf. Eine Münze ist nämlich ein sehr gutes Zufallsgerät. Um ihre Chancen zu kennen, müssen sich die Piraten mit relativen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten auskennen. Da sie aber nicht die schlausten sind, müssen wir Ihnen dabei helfen, diese beiden Begriffe zu verstehen. Ein Münzwurf ist ein Zufallsversuch mit zwei möglichen Ausgängen, in unserem Fall mit den Ergebnissen Sofa und Zahl. Werfen wir eine Münze zehnmal. Wenn wir sechsmal das Ergebnis Sofa und viermal das Ergebnis Zahl erhalten, so nennen wir die Zahlen sechs beziehungsweise vier jeweils die absolute Häufigkeit der Ergebnisse. Die absolute Häufigkeit zeigt, wie oft ein Ergebnis aufgetreten ist. Sie zeigt uns allerdings nicht, wie dies im Zusammenhang mit der Gesamtzahl der Versuche steht. Das kann man aber mit der relativen Häufigkeit verdeutlichen. Sie gibt den Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtzahl der Durchführungen eines Zufallsversuches an und wird mit dieser Formel berechnet. Berechnen wir die relativen Häufigkeiten für den zehnmaligen Münzwurf, so ergibt sich für Sofa sechs zehntel, also drei Fünftel und für Zahl vier zehntel, also zwei Fünftel. Nun ist es so, dass ein Pirat gewinnen oder verlieren kann, je nachdem, welche Seite der Münze oben liegt. Das Gewinnen oder Verlieren eines Piraten ist ein Ereignis des Zufallsversuches. Aber wie wahrscheinlich ist es denn, dass ein Pirat gewinnt? Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse. Jedes Ergebnis, dass zu einem Ereignis führt, nennen wir ein 'für das Ereignis günstiges Ergebnis'. Wenn zum Beispiel ein Pirat auf das Sofa setzt, dann ist das Ergebnis Sofa ein günstiges Ergebnis für das Ereignis: der Pirat gewinnt. Die möglichen Ergebnisse sind alle Ergebnisse, die in dem Zufallsversuch auftreten können. In diesem Fall also Sofa und Zahl. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Pirat gewinnt, beträgt also 'Anzahl günstiger Ergebnisse', das ist 1 durch 'Anzahl möglicher Ergebnisse', das ist 2. Also ein Halb. Und die Wahrscheinlichkeit, dass der Pirat verliert, ist ebenfalls ein Halb. Käpt'n Da Gamma ist aber doch schlauer als gedacht und möchte seine Chancen erhöhen. Er hat eine spezielle Münze, welche auf beiden Seiten ein Sofa zeigt und setzt natürlich auf Sofa. "Das Ereignis 'Käpt'n Da Gamma gewinnt' enthält also diesmal zwei günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist demnach 2 geteilt durch 2, also 1. Da es auf dieser Münze keine Zahl gibt, also das Ereignis 'Käpt'n Da Gamma verliert' keine günstigen Ergebnisse enthält ergibt sich als Wahrscheinlichkeit hierfür 0 geteilt durch 2, also 0. Du hast gesehen, dass sowohl die relative Häufigkeit als auch die Wahrscheinlichkeit Brüche sind. Und zwischen diesen Brüchen gibt es auch eine Verbindung. Diese nennt man das Empirische Gesetz der großen Zahlen. Es besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsversuches bei mehrfacher Wiederholung stabilisiert und sich dieser Wert dem Wert der Wahrscheinlichkeit annähert. Aber was heißt denn das genau? Verwenden wir dazu wieder eine Münze, die eine Sofa-Seite und eine Zahl-Seite hat. Bei einmaliger Durchführung des Münzwurfs sind die relativen Häufigkeiten 1 und 0 also noch weit entfernt von der Wahrscheinlichkeit ein halb. Nach dem dritten Wurf hat zweimal Sofa und einmal Zahl oben gelegen. Es ergeben sich die relativen Häufigkeiten zwei Drittel und ein Drittel, wir sind also schon näher an die Wahrscheinlichkeit ein halb herangerückt. Nach dem hundertsten Wurf ist Sofa 48 Mal aufgetreten und Zahl 52 mal. Berechnen wir die relativen Häufigkeiten so sehen wir, dass diese ungefähr bei ein halb liegen. Fassen wir zusammen. Die relative Häufigkeit ist eine konkrete Zahl, die man mithilfe der absoluten Häufigkeit und der Gesamtzahl der Durchführungen eines Versuchs berechnet. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist dagegen eher ein Konzept, welches sich mithilfe der Anzahl der günstigen Ergebnisse und der Anzahl der möglichen Ergebnisse berechnen lässt. Das Empirische Gesetz der großen Zahlen besagt folgendes: Wird ein Versuch häufig durchgeführt, so stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten und nähern sich dem Wert der Wahrscheinlichkeiten an. Sieht so aus als wären die Piraten bereit für den alles entscheidenden Münzwurf.
Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Gesetz der großen Zahlen Übung
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Bestimme die korrekten Aussagen zu relativen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten.
TippsDer Wert der absoluten Häufigkeit kann theoretisch alle natürlichen Zahlen annehmen.
Wirfst du eine Münze sehr häufig, dann wird sich die relative Häufigkeit des Ereignisses „Zahl“ dem Wert $\frac{1}{2}$ annähern.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Ein Münzwurf wird als Zufallsexperiment mit vier möglichen Ausgängen angesehen.“
- Ein Münzwurf hat zwei mögliche Ausgänge. Die Möglichkeit, dass die Münze auf dem Rand landet, wird wegen der geringen Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses vernachlässigt.
- Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt an, wie oft dieses Ereignis eingetreten ist. Sie wird dabei nicht an der Gesamtzahl der Ereignisse relativiert. Der Wert der absoluten Häufigkeit kann theoretisch alle natürlichen Zahlen annehmen.
„Die relative Häufigkeit gibt den Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtzahl an.“
- Die Formel für die relative Häufigkeit lautet: $\text{relative Häufigkeit} = \frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtzahl}}$. Sie liegt immer zwischen $0$ und $1$.
- Bei einem Münzwurf gibt es für das Ereignis Zahl genau ein mögliches Ergebnis, dass Zahl geworfen wird. Insgesamt gibt es zwei mögliche Ergebnisse: Sofa oder Zahl. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Zahl“ $\frac{1}{2}$.
- Wirfst du also eine Münze sehr häufig, dann wird sich die relative Häufigkeit des Ereignisses Zahl dem Wert $\frac{1}{2}$ annähern.
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Gib dein Wissen zu relativen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten wieder.
TippsDie Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnest du allgemein, indem du die Anzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilst.
$100$ Durchführungen kann hier als häufig angesehen werden.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Bei einem Münzwurf gibt es für das Ereignis „Zahl“ genau ein mögliches Ergebnis. Insgesamt gibt es zwei mögliche Ergebnisse. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Zahl“ $\frac{1}{2}$.“
- Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnest du allgemein, indem du die Anzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse (hier $1$ Mal Zahl) durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse (entweder Sofa oder Zahl) teilst.
- Wichtig ist hier, dass dies nur bei häufiger Durchführung gilt. Wird das Experiment nur wenige Male durchgeführt, kann die relative Häufigkeit stark von der Wahrscheinlichkeit abweichen.
- Da $100$ Mal relativ häufig ist, gilt hier das empirische Gesetz der großen Zahlen. Die Hälfte von $100$ ist $50$.
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Ermittle die Wahrscheinlichkeiten und relativen Häufigkeiten.
TippsDie relative Häufigkeit kannst du bestimmen, indem du die absolute Häufigkeit eines Ereignisses bestimmst und diese anschließend durch die Gesamtzahl der Ereignisse teilst.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kannst du bestimmen, indem du die zum Ereignis gehörigen Ergebnisse durch alle möglichen Ergebnisse teilst.
LösungBei der Bestimmung gehst du wie folgt vor:
- Die relative Häufigkeit kannst du bestimmen, indem du die absolute Häufigkeit eines Ereignisses bestimmst und diese anschließend durch die Gesamtzahl der Ereignisse teilst.
- Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kannst du bestimmen, indem du die zum Ereignis gehörigen Ergebnisse durch alle möglichen Ergebnisse teilst.
Außerdem liegen insgesamt $9$ Kugeln in der Urne. Das ist die Gesamtzahl der Ergebnisse. $4$ dieser Kugeln sind gelb. Diese Ergebnisse gehören zum Ereignis, dass eine gelbe Kugel gezogen wird. Die Wahrscheinlichkeit ist also $\frac{4}{9}$.
Beim zweiten Beispiel wird die Münze insgesamt $10$ Mal geworfen, wobei sie $3$ Mal „Kopf“ anzeigt. Die relative Häufigkeit ist also $\frac{3}{10}$. Die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ beträgt allerdings $\frac{1}{2}$, denn bei zwei möglichen Ergebnissen, ist nur eines für „Kopf“ günstig.
Beim dritten Beispiel beträgt die relative Häufigkeit eine Sechs zu würfeln: $\frac{2}{5}$. Denn bei $5$ Würfen fällt $2$ Mal die Sechs. Die Wahrscheinlichkeit beim einmaligen Würfeln eine Sechs zu würfeln beträgt: $\frac{1}{6}$, denn es gibt $6$ mögliche Ergebnisse, von denen nur eines günstig ist.
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Wende das empirische Gesetz der großen Zahlen an.
TippsDas empirische Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses bei häufiger Durchführung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses annähert.
Hier können wir davon ausgehen, dass dieses Gesetz anwendbar ist, da die Anzahl der Durchführungen ausreichend groß ist.
LösungDas empirische Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses bei häufiger Durchführung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses annähert. Hier können wir davon ausgehen, dass dieses Gesetz anwendbar ist, da die Anzahl der Durchführungen ausreichend groß ist. Also berechnen wir die relative Häufigkeit des Ereignisses und schließen damit auf die Wahrscheinlichkeit.
- $\frac{23}{60} \approx \frac{1}{3}$. Die Wahrscheinlichkeit, dass Mario ins Tor trifft, beträgt also $P \approx \frac{1}{3}$.
- $\frac{71}{100} \approx 0,7$. Die Wahrscheinlichkeit, dass Tyler einen Kickflip landet, beträgt also $P \approx 0,7$.
- $\frac{11}{500} \approx 0,02$. Die Wahrscheinlichkeit, dass Joanna sich vertippt, beträgt also $P \approx 0,02$.
- $\frac{4}{300} \approx 0,01$. Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand Richards Partei beitritt, beträgt also $P \approx 0,01$.
- Da es sich hier um Beispiele handelt, bei denen die Wahrscheinlichkeit nur grob abgeschätzt werden kann, kann keine exakte Wahrscheinlichkeit $P$ angegeben werden, sondern nur eine ungefähre Wahrscheinlichkeit.
-
Gib die absoluten Häufigkeiten an.
TippsDie absolute Häufigkeit entspricht der Anzahl mit der ein Ereignis eingetroffen ist. Du kannst sie oft durch Abzählen bestimmen.
Manchmal kannst du aber auch die Formel
$\text{relative Häufigkeit} = \frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtzahl}}$
anwenden.
LösungDie absolute Häufigkeit entspricht der Anzahl, mit der etwas eingetroffen ist.
„Bei $100$ Münzwürfen landet eine Münze $48$ Mal auf „Sofa“. Die absolute Häufigkeit von „Sofa“ beträgt also $48$.“
- Hier kannst du die absolute Häufigkeit durch Abzählen bestimmen.
- Bei einem Münzwurf gibt es nur die Möglichkeiten „Sofa“ oder „Zahl“. Wird $100$ Mal geworfen und es tritt $48$ Mal „Sofa“ auf, dann beträgt die absolute Häufigkeit von Zahl $52$.
„Bei $3$ Münzwürfen wurde mit einer relativen Häufigkeit von $\frac{2}{3}$ „Sofa“ angezeigt. Die absolute Häufigkeit von „Sofa“ beträgt also $2$.“
- Hier berechnest du sie aus der relativen Häufigkeit mit der Formel: $\text{relative Häufigkeit} = \frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtzahl}}$
$\begin{array}{ll} \frac{2}{3}&= \frac{\text{abs. Häufigkeit}}{3} &\vert \cdot 3\\ 2 &= \text{abs. Häufigkeit}\\ \end{array}$
„Die relative Häufigkeit von „Zahl“ nach $10$ Würfen beträgt: $\frac{2}{5}$. Also beträgt die absolute Häufigkeit von „Zahl“ $4$.“
Hier ergibt sich:
$\begin{array}{ll} \frac{2}{5}&= \frac{\text{abs. Häufigkeit}}{10} &\vert \cdot 10\\ \frac{20}{5} &= \text{abs. Häufigkeit}\\ 4 &= \text{abs. Häufigkeit}\\ \end{array}$
-
Erschließe, wo das empirische Gesetz der großen Zahlen korrekt angewandt wurde.
TippsDas empirische Gesetz der großen Zahlen kannst du immer dann anwenden, wenn ein Versuch mit sehr großer Häufigkeit durchgeführt wurde. Dann nähert sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses an.
LösungDas empirische Gesetz der großen Zahlen kannst du immer dann anwenden, wenn ein Versuch mit sehr großer Häufigkeit durchgeführt wurde. Dann nähert sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses an. Damit kannst du bestimmen, dass folgende Aussagen falsch sind:
„Theo wirft eine Münze drei Mal und erhält $3$ Mal „Zahl“. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit für Zahl $P=1$.“
„Maria steht mit dem Rücken zu einem Basketballkorb und versucht einen Ball in den Korb zu treffen. Bei zwei Versuchen gelingt ihr das nicht. Es ist also unmöglich, den Ball auf diese Weise in den Korb zu treffen.“
- Hier wird das Experiment nicht oft genug durchgeführt, um das Gesetz anwenden zu können.
„Wirfst du einen normalen Würfel $100$ Mal, sollte ungefähr $17$ Mal eine $3$ gewürfelt werden.“
- Nach $100$ Versuchen sollte sich die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit von $P=\frac{1}{6}$ angenähert haben. Das ergibt bei $100$ Versuchen ungefähr $17$ Treffer.
- Wären die Wahrscheinlichkeiten gleichmäßig verteilt, sollte jede Ziffer mit einer Wahrscheinlichkeit von $P=0,1$ vorkommen (denn es gibt insgesamt $10$ Ziffern). Hier kommt die $3$ in ca. $\frac{1}{3}$ aller Fälle vor. Die Wahrscheinlichkeiten sind also nicht gleich verteilt. Hier wurde von der relativen Häufigkeit auf die Wahrscheinlichkeit geschlossen. Das ist möglich, da der Versuch sehr häufig durchgeführt wurde.
- $70$ Jahre Lebenszeit entspricht ungefähr $26~000$ Tagen. Hat er wirklich an jedem Tag Lotto gespielt, kann er also hier das empirische Gesetz der großen Zahlen anwenden. Die Wahrscheinlichkeit eines Hauptgewinns im Lotto ist tatsächlich fast Null. Bei einer beliebten deutschen Lotterie beträgt diese ungefähr $P=0,000000007$.
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War sehr verständlich aber ich habe eine Frage: Was ist ein absoluter Wert?
Die Piraten am Anfang waren sehr amüsant
so verständlich richtig geil danke libe eure videos
yes, its goooooooooood
super