Zufallsversuch und Ergebnismenge – Einführung
Zufallsversuche beschreiben mathematisch unvorhersehbare Ereignisse. Ein Beispiel ist der Münzwurf mit vorhersehbaren Ergebnissen. Herr Müller an der Bushaltestelle ist kein Zufallsversuch. Erfahre mehr über Zufallsversuche! Interessiert? Das und vieles mehr findest du im folgenden Text.
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Grundlagen zum Thema Zufallsversuch und Ergebnismenge – Einführung
Zufallsversuch und Ergebnismenge – Mathe
Herr Müller steht an der Bushaltestelle, als ihm ein Vogel auf den Kopf kotet. Was für ein nerviger Zufall. Das konnte ja nun wirklich niemand erahnen. In der Mathematik kann man sich ähnlichen Situationen mithilfe von Zufallsversuchen und deren Ergebnismengen annähern. Schauen wir uns dafür an, was genau ein Zufallsversuch ist.
Was ist ein Zufallsversuch?
Mit Zufallsversuchen, auch Zufallsexperimente genannt, kann man Zufälle mathematisch beschreiben.
Bei einem Zufallsversuch gilt, dass
- alle möglichen Ausgänge bekannt sind,
- der Ausgang nicht vorhersehbar ist,
- der Versuch beliebig oft wiederholt werden kann
- und die Bedingungen bei der Durchführung immer gleich sind.
Schauen wir uns dafür das Beispiel eines Münzwurfs an. Die Münze landet entweder mit dem Kopf oder der Zahl oben. Das sind die einzigen möglichen Ausgänge und somit sind auch alle Ausgänge bekannt. Es wird davon ausgegangen, dass die Münze nicht auf der Kante landen kann.
Können wir vorhersehen, auf welcher Seite die Münze am Ende tatsächlich landet? Nein, normalerweise kann man den Wurf nicht kontrollieren und dementsprechend auch keine Vorhersage treffen. Die zweite Bedingung ist also auch erfüllt.
Wir könnten die Münze nun unzählige Male werfen. Prinzipiell ist es also möglich, den Versuch beliebig oft zu wiederholen. Bei diesem wiederholten Werfen der Münze sind alle Bedingungen jedes einzelnen Münzwurfs dieselben. Daher sind auch das dritte und vierte Kriterium erfüllt.
Du kannst die Münze werfen, wie du möchtest, sie wird in der Regel auf einer der beiden Seiten landen und diese Seite wirst du auch nach $1000$ Würfen nicht vorhersagen können. Wir wissen nun also, dass es sich bei einem Münzwurf wirklich um einen Zufallsversuch handelt, da alle Bedingungen erfüllt sind. Aber was ist dann kein Zufallsversuch?
Schauen wir noch einmal auf Herrn Müller an der Bushaltestelle. Er weiß nicht, wer als Nächstes aus dem Bus aussteigt, ist das also auch ein Zufallsversuch? Nein, denn Herr Müller kennt nicht alle möglichen Ausgänge, da er nicht weiß, wer im Bus sitzt. Somit ist das kein Zufallsversuch.
Aber wann der nächste Bus kommt, ist doch bestimmt ein Zufallsversuch, oder? Nein, da die Busfahrzeiten auf dem Fahrplan stehen und somit der Ausgang vorhersehbar ist.
Wenn ein Blitz zufällig irgendwo einschlägt, so haben wir keine Kontrolle über die Durchführung. Der Blitzeinschlag kann also nicht beliebig oft wiederholt werden.
Ein Auto fährt durch die Pfütze und Herr Müller wird komplett nass. Das hat ihm gerade noch so gefehlt. Allerdings ist die Pfütze jetzt kleiner, würde das nächste Auto hindurchfahren, so sind die Bedingungen anders. Somit handelt es sich auch hierbei nicht um einen Zufallsversuch.
Ergebnismenge – Erklärung
Zurück zum Münzwurf. Wir kennen die beiden Ausgänge: Kopf oder Zahl. Den Ausgang eines Zufallsversuchs nennt man Ergebnis. Oft wird ein Ergebnis mit dem kleinen griechischen Buchstaben Omega ($\omega$) bezeichnet. Die Ergebnisse beim Münzwurf sind also:
$\omega_1 = \text{Kopf}$
$\omega_2 = \text{Zahl}$
Fassen wir nun alle möglichen Ergebnisse in einer Menge zusammen, nennen wir diese die Ergebnismenge. Sie wird mit einem großen Omega ($\Omega$) bezeichnet.
$\text{Ergebnismenge: } \Omega = \lbrace \text{Kopf}; \text{Zahl} \rbrace$
Zufallsversuch – Beispiel
Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an. Stell dir ein Glücksrad mit drei verschiedenfarbigen Feldern vor. Ein Feld ist blau, eines grün und das dritte pink. Alle drei sind gleich groß. Überprüfen wir, ob es sich beim Drehen des Glücksrads um einen Zufallsversuch handelt.
- Sind alle möglichen Ausgänge bekannt? Ja, die Ergebnismenge enthält die Farben Blau, Grün und Pink.
$\text{Ergebnismenge: } \Omega = \lbrace \text{blau}; \text{grün}; \text{pink} \rbrace$
Ist der Ausgang vorhersehbar? Nein, wir können vor dem Drehen nicht sagen, bei welcher Farbe das Glücksrad stehen bleiben wird. Also ist der Ausgang nicht vorhersehbar.
Auch kann das Glücksrad beliebig oft gedreht werden. Der Versuch kann also beliebig oft wiederholt werden.
Die Farben und Aufteilungen können sich ebenfalls nicht ändern. Die Bedingungen bei der Durchführung des Versuchs sind also immer gleich.
$\Rightarrow$ Das Drehen eines Glücksrads ist also ebenfalls ein Zufallsversuch.
Zusammenfassung – Zufallsversuch und Ergebnismenge
Die folgenden Stichpunkte fassen das Wichtigste zum Thema Zufallsversuch und Ergebnismenge noch einmal zusammen.
- Ein Zufallsversuch muss vier Merkmale erfüllen.
- $1$. Merkmal: Alle möglichen Ausgänge müssen bei Beginn des Versuchs bekannt sein.
- $2$. Merkmal: Der genaue Ausgang ist nicht vorhersehbar.
- $3$. Merkmal: Ein Zufallsversuch kann beliebig oft wiederholt werden.
- $4$. Merkmal: Ein Zufallsversuch muss immer unter den gleichen Bedingungen durchgeführt werden.
- Jeder mögliche Ausgang wird Ergebnis genannt und kann mit $\omega$ bezeichnet werden.
- Alle möglichen Ergebnisse werden in der Ergebnismenge $\Omega$ zusammengefasst.
Ergänzend findest du hier auf der Seite Übungen und Arbeitsblätter mit Aufgaben zum Thema Zufallsversuch und Ergebnismenge.
Transkript Zufallsversuch und Ergebnismenge – Einführung
Huch, so ein bescheidener Zufall. Das konnte ja nun wirklich niemand erahnen. In der Mathematik kann man sich ähnlichen Situationen mithilfe von Zufallsversuchen und deren Ergebnismengen annähern. Schauen wir uns mal an, was genau ein Zufall ist. Das ist etwas, was niemand vorhersehen kann, es geschieht also unerwartet. Mit Zufallsversuchen, auch Zufallsexperimente genannt, kann man Zufälle mathematisch beschreiben. Schauen wir uns dazu mal einen Münzwurf an. Bei einem Zufallsversuch sind alle möglichen Ausgänge bekannt. Beim Münzwurf landet die Münze entweder mit der Zahl oder dem Kopf, ach nein, dem Sofa oben. Dies sind die einzigen möglichen Ausgänge und somit sind auch alle Ausgänge bekannt, wenn wir mal davon ausgehen, dass die Münze nicht auf der Kante landen kann. Der Ausgang eines Zufallsversuches ist nicht vorhersehbar. Können wir denn vorhersehen, auf welcher Seite die Münze am Ende eines Wurfes tatsächlich landet? Nein! Normalerweise kann man den Wurf nicht kontrollieren und dementsprechend auch keine Vorhersage treffen. Das dritte Merkmal eines Zufallsversuches ist, dass er beliebig oft wiederholt werden kann. Wir könnten die Münze nun natürlich unzählige Male werfen, aber das wäre ja langweilig. Prinzipiell ist das aber möglich. Zu guter Letzt müssen die Bedingungen bei der Durchführung des Zufallsversuchs immer gleich sein. Du kannst die Münze werfen, wie du möchtest, sie wird in der Regel auf einer der beiden Seiten landen und diese Seite wirst du auch beim tausendsten Wurf nicht vorhersagen können. Wir wissen also jetzt, dass es sich bei einem Münzwurf wirklich um einen Zufallsversuch handelt. Aber was ist dann kein Zufallsversuch? Wir wissen zum Beispiel nicht, wer als nächstes aus dem Bus aussteigen wird also ist das doch auch ein Zufallsversuch, oder? Wir kennen aber nicht alle möglichen Ausgänge. Man weiß nicht wer in dem Bus sitzt. Dann ist es kein Zufallsversuch. Aber wann der nächste Bus kommt, ist doch bestimmt ein Zufallsversuch. Ach, das steht ja auf dem Fahrplan! Dann ist es ja vorhersehbar. Wenn er nicht doch wieder zu spät kommt. Auch wenn der Blitz zufällig irgendwo einschlägt, haben wir keine Kontrolle über die Durchführung, er kann also nicht beliebig oft wiederholt werden jedenfalls nicht durch unser Zutun. Oh Mist und jetzt auch das noch. Ein Glück, dass die Pfütze nicht noch größer war. Jetzt ist sie jedenfalls kleiner als vorher. Wenn wieder ein Auto durch die Pfütze fahren würde, wären die Bedingungen also anders. Folglich ist auch das kein Zufallsversuch. Aber zurück zum Münzwurf. Wir kennen die beiden Ausgänge: Sofa und Zahl. Einen Ausgang eines Zufallsversuches nennt man Ergebnis. Oft wird ein Ergebnis mit einem kleinen Omega bezeichnet. Dieses sieht so aus fast wie ein kleines w. Die Ergebnisse hier sind also Omega 1 gleich Sofa und Omega 2 gleich Zahl. Fassen wir alle möglichen Ergebnisse in einer Menge zusammen, nennen wir diese die Ergebnismenge. Sie wird mit einem großen Omega bezeichnet. Rein zufällig haben wir hier noch ein Beispiel vorbereitet: Schauen wir uns dieses Glücksrad an. Sind alle möglichen Ausgänge bekannt? Klar! Unsere Ergebnismenge enthält hier diese drei Farben. Wir können auch nicht genau sagen, auf welcher Farbe das Glücksrad stehen bleiben wird. Also ist der Ausgang hier wieder nicht vorhersehbar. Das Glücksrad kann beliebig oft gedreht werden und die Farben und Aufteilung können sich auch nicht ändern. Die Bedingungen bleiben also immer gleich. Das Drehen eines Glücksrads ist also ebenfalls ein Zufallsversuch. Und zufällig kommt jetzt eine Zusammenfassung. Ein Zufallsversuch muss vier Merkmale erfüllen: Alle möglichen Ausgänge müssen bei Beginn des Versuchs bekannt sein. Jedoch ist der genaue Ausgang nicht vorhersehbar. Ein Zufallsversuch kann beliebig oft wiederholt werden und er muss immer unter den gleichen Bedingungen durchgeführt werden. Jeder mögliche Ausgang wird Ergebnis genannt und kann mit klein Omega bezeichnet werden. Alle Ergebnisse können wir in der Ergebnismenge groß Omega zusammenfassen. Und manchmal wendet sich dank des Zufalls doch alles zum Guten.
Zufallsversuch und Ergebnismenge – Einführung Übung
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Benenne die Eigenschaften eines Zufallsversuches.
TippsEin Münzwurf ist ein Beispiel für einen Zufallsversuch.
Bei einem Münzwurf haben wir zwei verschiedene Ausgänge.
Eine Münze ändert sich während eines Wurfes und auch nach der Durchführung eines Wurfes nicht.
LösungDiese Aussagen sind richtig:
- Alle möglichen Ausgänge des Zufallsversuches sind bekannt.
- Der Ausgang ist aber dennoch nicht vorhersehbar, denn jeder der möglichen Ausgänge kann auftreten.
- Der Zufallsversuch kann beliebig oft wiederholt werden.
- Die Bedingungen bei der Durchführung des Zufallsversuchs müssen immer gleich sein.
Diese Aussagen sind falsch:
- Jede Durchführung eines Zufallsversuches ist unterschiedlich.
- Den Ausgang eines Zufallsversuches kann man immer vorhersehen.
- Ein Zufallsversuch kann immer nur einmal durchgeführt werden.
-
Beschreibe die Merkmale eines Zufallsversuches anhand eines Beispiels.
TippsDie Ergebnismenge eines Würfelwurfes enthält zum Beispiel die Ergebnisse $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$.
Beim Würfeln eines Würfels kann man vorher nie vorhersehen, welche Zahl gewürfelt wird.
LösungBei einem Zufallsversuch sind alle möglichen Ausgänge bekannt.
Beim Münzwurf landet die Münze entweder mit der Zahl oder dem Sofa oben.
Dies sind die einzigen möglichen Ausgänge und somit sind auch alle Ausgänge bekannt.
Einen Ausgang eines Zufallsversuches nennt man auch Ergebnis. Oft wird ein Ergebnis mit einem kleinen Omega ($\omega$) bezeichnet.
Fassen wir alle möglichen Ergebnisse in einer Menge zusammen, nennen wir diese die Ergebnismenge. Sie wird mit einem großen Omega ($\Omega$) bezeichnet.
Der Ausgang eines Zufallsversuches ist nicht vorhersehbar.
Den Münzwurf kann man nicht kontrollieren und dementsprechend kann keine Vorhersage getroffen werden.
Das dritte Merkmal eines Zufallsversuches ist, dass er beliebig oft wiederholt werden kann.
Natürlich kann man eine Münze unzählige Male werfen.
Zu guter Letzt müssen die Bedingungen bei der Durchführung des Zufallsversuchs immer gleich sein.
Da die Münze sich nicht verändert und am Ende eines Wurfes immer auf einer Seite landet, ist beim Münzwurf auch diese Merkmal erfüllt.
Der Münzwurf ist also tatsächlich ein Zufallsversuch.
-
Ordne den Zufallsversuchen ihre Ergebnismenge zu.
TippsDen Ausgang eines Zufallsversuches nennt man Ergebnis.
Fasst man alle Ergebnisse eines Zufallsversuches in einer Menge zusammen, so nennt man diese Menge die Ergebnismenge.
LösungFassen wir alle möglichen Ergebnisse in einer Menge zusammen, so nennen wir diese Menge die Ergebnismenge. Dabei ist ein Ergebnis ein möglicher Ausgang eines Zufallsversuches.
Daher ergeben sich für die Zufallsversuche folgende Ergebnismengen:
Da die beiden anderen Ergebnismengen nicht ALLE möglichen Ergebnisse enthalten oder nicht die richtigen Farben enthalten, gehören sie nicht zu den gegebenen Zufallsversuchen.
-
Entscheide, ob es sich bei den Situationen um Zufallsversuche handelt.
TippsÜberlege dir, was der Unterschied zwischen einem Zufall im Alltag und einem Zufallsversuch ist.
Ein Zufallsversuch muss vier Bedingungen erfüllen.
LösungBei den folgenden Situationen handelt es sich um Zufallsversuche:
- Zwei Freunde spielen ein Würfelspiel, bei dem immer derjenige gewinnt, der die höhere Zahl würfelt.
- Zwei Freunde spielen ein Spiel mit einem Legostein, bei dem es darum geht, vorherzusagen, auf welcher Kante der Legostein landet.
Beide Situationen erfüllen die Bedingungen eines Zufallsversuches:
- alle möglichen Ausgänge sind bekannt: Sowohl bei dem Würfel, als auch dem Legostein sind dies die Seiten, auf denen sie landen können.
- Ausgang ist nicht vorhersehbar: Wir wissen weder bei dem Würfel, noch bei dem Legostein auf welcher Seite er tatsächlich landet.
- kann beliebig oft wiederholt werden: Wir können den Würfel und den Legostein natürlich beliebig oft werfen.
- immer gleiche Bedingungen: Verwenden wir immer den gleichen Würfel bzw. Legostein, so werden sich die Bedingungen bei der Durchführung des Wurfes nicht ändern.
Bei den folgenden Situationen handelt es sich nicht um einen Zufallsversuch
- Karl wettet, dass er jedem Datum, welches ihm zufällig genannt wird, einen Wochentag zuordnen kann.
- Es wurden drei Feuerwerksraketen aufgebaut und es wird zufällig gewettet, welche Rakete zuerst explodiert.
- Es wird eine Umfrage nach den Hobbys verschiedener Menschen durchgeführt.
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Bestimme, bei welchen Situationen es sich tatsächlich um einen Zufallsversuch handelt.
TippsEin Merkmal eines Zufallsversuch ist, dass alle Ergebnisse bekannt sind.
Ein Zufallsversuch kann beliebig oft wiederholt werden.
Der Ausgang eines Zufallsversuches ist nicht vorhersehbar.
Die Bedingungen eines Zufallsversuches sind immer gleich.
LösungBei dem Münzwurf und dem Glücksrad handelt es sich um einen Zufallsversuch, da diese alle Merkmale eines Zufallsversuches erfüllen:
- Alle möglichen Ausgänge sind bekannt. – Bei dem Münzwurf sind dies natürlich die beiden Seiten und bei dem Glücksrad die verschiedenen Farben.
- Der Ausgang eines Zufallsversuches ist nicht vorhersehbar. – Wir wissen nicht, auf welcher Seite die Münze landet, und auch nicht, auf welche Farbe des Glücksrads gedreht wird.
- Zufallsversuche können beliebig oft wiederholt werden. – Eine Münze kann beliebig oft geworfen und ein Glücksrad beliebig oft gedreht werden.
- Zufallsversuche werden immer unter den gleichen Bedingungen durchgeführt. - Sowohl die Münze, als auch das Glücksrad verändern sich nach oder während der Durchführung nicht.
Bei den anderen Situationen handelt es sich um keinen Zufallsversuch.
- Den Blitzschlag können wir nicht kontrollieren. Wir können ihn also nicht beliebig oft wiederholen.
- Der Busfahrplan ist vorhersehbar, da die Zeiten dort direkt abgebildet sind.
- Wir wissen zwar nicht, wer als nächstes aus dem Bus aussteigt. Doch auch dies ist kein Zufallsversuch, da wir nicht wissen, wer in dem Bus sitzt und somit auch nicht alle möglichen Ausgänge bekannt sind.
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Ordne den Situationen die passenden Ereignisse zu.
TippsEin Ereignis kann aus mehreren Ergebnissen bestehen.
Die Menge eines Ereignisses kann auch die gesamte Ergebnismenge enthalten.
LösungDu spielst mit deinen Freunden ein Würfelspiel und gewinnst, wenn du eine $2$ oder eine $3$ würfelst.
Da du hier sowohl bei einer $2$, als auch bei einer $3$ gewinnst, kannst du dies in dem Ereignis $\text{D}=\{2;3\}$ zusammenfassen.
Bei einem Würfelspiel kannst du deine Figur immer weitersetzen. Dabei ist es nicht wichtig, welche Zahl du würfelst. Dabei handelt es sich um einen regulären Würfel.
Da du deine Figur hier wirklich immer weitersetzen kannst, enthält das Ereignis hier die gesamte Ergebnismenge: $\text{B}=\{1;2;3;4;5;6\}$.
Du drehst ein Glücksrad mit den Farben blau, rot, gelb und orange. Bei den Farben blau und rot gewinnst du.
Du gewinnst, wenn das Glücksrad auf der Farbe blau oder rot landet. Das zugehörige Ereignis ist also: $\text{K}=\{\text{blau};\text{rot}\}$.
Du drehst ein Glücksrad mit den Farben blau, rot, gelb und orange. Bei den Farben gelb und orange verlierst du.
Du verlierst bei gelb oder orange. Da du also bei rot und blau gewinnst, ist das zugehörige Ereignis also: $\text{E}=\{\text{rot};\text{blau}\}$
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