Zinsrechnung (Übung)
Hier kannst du mit vielfältigen Aufgaben das Berechnen von Zinsen, Kapital und Zinssätzen üben. Erfahre, wie sich Geldbeträge über verschiedene Zeiträume verändern, und festige dein Wissen durch praktische Anwendungen.
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Grundlagen zum Thema Zinsrechnung (Übung)
Einleitung zum Thema Zinsrechnung
In der Zinsrechnung lernst du, wie Geldbeträge durch Zinsen über eine bestimmte Zeitspanne wachsen können. Diese mathematischen Konzepte findest du nicht nur in der Schule, sondern auch im realen Leben, etwa beim Sparen oder bei Krediten.
Von der Berechnung einfacher Zinsen bis hin zur Zinseszinsrechnung – die Zinsrechnung ist ein grundlegendes Thema der Mathematik. In diesem Text übst du, verschiedene Zinsformeln anzuwenden und berechnest, wie sich Geldbeträge über Zeit verändern können.
Unsere Einführung zur Zinsrechnung bietet dir einen Überblick über die wichtigsten Formeln und Beispiele, die dir den Einstieg erleichtern.
Unter den Aufgaben findest du jeweils Lösungen und Erklärungen.
Merke
Zinsen werden oft jährlich berechnet. Wenn der Zeitraum kürzer oder länger ist, wird die Zinsformel entsprechend angepasst.
Teste dein Wissen zum Thema Zinsrechnung
Berechne: Zinsen, Kapital und Zinssatz
Berechne: Zinsen für verschiedenen Zeiträume
Berechne: Zinsen für mehrere Jahre (Zinseszins)
Aufgabe 1
Ein Startkapital von $500$ Euro wird zu einem Zinssatz von $4 \, \%$ jährlich für $3$ Jahre angelegt. Die Zinsen werden am Ende jedes Jahres zum Kapital hinzugefügt (Zinseszins).
Wie hoch ist das Endkapital nach $3$ Jahren?
Aufgabe 2
Ein Betrag von $1\,000$ Euro wird zu einem Zinssatz von $5 \, \%$ jährlich für $4$ Jahre angelegt. Die Zinsen werden jedes Jahr zum Kapital hinzugefügt.
Wie viel Kapital steht am Ende der $4$ Jahre zur Verfügung?
Aufgabe 3
Ein Startkapital von $800$ Euro wird zu einem Zinssatz von $3 \, \%$ jährlich für $2$ Jahre und $10$ Monate angelegt. Die Zinsen werden jedes Jahr zum Kapital hinzugefügt.
Wie viel Kapital steht am Ende des gesamten Zeitraums zur Verfügung?
Aufgabe 4
Ein Betrag von $1\,500$ Euro wird zu einem Zinssatz von $4 \, \%$ jährlich für $1$ Jahr, $5$ Monate und $20$ Tage angelegt. Die Zinsen werden jedes Jahr zum Kapital hinzugefügt.
Wie viel Kapital steht am Ende des gesamten Zeitraums zur Verfügung?
Zinsrechnung im Alltag
Weltreise:
Antje möchte in $3$ Jahren eine Weltreise machen. Sie rechnet mit Kosten von mindestens $3\,500$ Euro.
a) Reicht ihr Geld für die Reise, wenn sie $3\,000$ Euro bei $5{,}2\,\%$ jährlicher Verzinsung anlegt?
b) Nach einem Jahr bekommt Antje von ihren Großeltern $400$ Euro auf ihr Sparkonto. Wie viel Geld hat sie für die geplante Reise zur Verfügung?
c) Nach wie vielen Jahren kann Antje die Reise machen, wenn sie bei $8\,\%$ Zinsen $1\,000$ Euro anlegt und zusätzlich $600$ Euro im Jahr spart und auf das Konto einzahlt?
Angebotsvergleich:
Ein Kunde möchte $20\,000$ Euro für $2$ Jahre anlegen und hat zwei Angebote zur Auswahl:
- Angebot A: Fester Zinssatz von $4{,}5 \, \%$ jährlich, mit jährlicher Zinsgutschrift.
- Angebot B: Ein variabler Zinssatz von $6 \, \%$ im ersten Jahr und $3 \, \%$ im zweiten Jahr, ebenfalls mit jährlicher Zinsgutschrift.
Für welches Angebot sollte er sich entscheiden?
Ausblick – so kannst du weiterlernen
Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung. Im Alltag begegnet sie dir auch bei Berechnungen zu Krediten und Tilgung.
Wenn du mehr zum Thema Zinseszins wissen möchtest, kannst du dich auch mit exponentiellem Wachstum beschäftigen.
Transkript Zinsrechnung (Übung)
Oooh, wie schön! Das ist ein absolutes Urlaubsparadies. Aber sicher auch nicht billig. Die „Zinsrechnung“ kann uns dabei helfen, für das ein oder andere Mitbringsel aus unserem Urlaub zu sparen. Am besten wiederholen wir dafür noch einmal, was wir bereits zur Zinsrechnung wissen. Mit diesen Grundformeln können wir jeweils Zinsen, Kapital, und Zinssatz berechnen. Bei unseren Beispielen handelt es sich immer um einen festen Zinssatz. Dieser bezieht sich meist auf ein Jahr, auf Latein „per annum“. Deshalb findet man beim Zinssatz häufig die Abkürzung „p a“. So, dann schauen wir mal, wie wir am besten für eine Reise auf unsere Trauminsel sparen können. Nehmen wir mal an, wir wollen unsere Ersparnisse von dreihundert Euro zu einem Zinssatz von zwei Prozent anlegen, wie viele Zinsen bekommen wir dann nach einem Jahr? Nun, dann müssen wir zuerst die richtige Grundformel auswählen, und die gegebenen Informationen einsetzen. Zwei Prozent müssen wir dabei noch in eine Dezimalzahl umwandeln, also zwei durch einhundert teilen. Das sind 0,02. Dann bekommen wir also nach einem Jahr ganze sechs Euro Zinsen! Dafür können wir uns im Urlaub bestimmt drei Postkarten mit Briefmarke kaufen. Nun gut, wie hoch müsste denn der Prozentsatz sein, wenn wir auf die dreihundert Euro fünfzehn Euro Zinsen haben wollen? Diesmal suchen wir den Zinssatz, wir brauchen also diese Grundformel. Und dann teilen wir ganz einfach die Zinsen durch unsere Ersparnisse. Das Ergebnis ist gleich 0,05. Die müssen wir noch mit einhundert multiplizieren, um den Zinssatz angeben zu können. Fünf Prozent sind wirklich ein unschlagbares Angebot! Nur leider sind solche Zinssätze momentan wirklich nur ein schöner Traum. Aktuell bekommen wir bei unserer Bank nämlich nur 0,07 Prozent Zinsen. Wie viel Kapital müssen wir hier anlegen, um fünfzehn Euro Zinsen zu erhalten? Dafür brauchen wir natürlich erst einmal die entsprechende Grundformel. Dann können wir die gegebenen Größen einsetzen, und müssen noch den Zinssatz umwandeln, damit wir K berechnen können. Ach du Schreck! Das ist ja wirklich eine Menge Schotter. Zum Glück brauchen wir für unsere Urlaubsreise nicht so viel. Wir wollen unser Erspartes ja nur anlegen, um mit den Zinsen das ein oder andere Souvenir kaufen zu können. Aber was ist eigentlich, wenn es bis zum Urlaub kein ganzes Jahr mehr dauert? Wir rechnen hier schließlich mit Jahreszinsen und die gibt es ja „per annum“, also pro Jahr, oder? Zum Glück kann man auch Zinsen für kürzere Zeiten bekommen, zum Beispiel für 4 Monate. Dann müssen wir unsere Grundformel einfach nur noch um einen Zeitfaktor erweitern. Dafür müssen wir neben den bekannten Größen nun auch die Anzahl der Monate für m einsetzen. Noch schnell die Prozente umwandeln, dann erhalten wir den Zinsbetrag von stattlichen zwei Euro. Da geht das Eis am Strand quasi aufs Haus. In der gleichen Art und Weise können wir auch die Zinsen für einen bestimmten Zeitraum von Tagen berechnen. Hier bist du jetzt gefragt. Welchen Anteil der Jahreszinsen würden wir denn nach siebenundzwanzig Tagen bekommen? Pausiere doch kurz das Video und rechne selbst schnell nach. Wir erhalten fünfundvierzig Cent. Naja, wer den Pfennig nicht ehrt, ist den Taler nicht wert. Bevor wir noch einmal einen Blick auf unser Urlaubsparadies werfen, fassen wir kurz zusammen. Zur Berechnung von Zinsen, Kapital, und Zinssatz helfen uns diese Formeln. Wenn wir unser Geld nur monats-, oder tageweise anlegen wollen, können wir die Zinsen auch anteilig berechnen. Für einen traumhaften Urlaub muss man vielleicht nicht um die halbe Welt reisen, wenn es doch daheim auch ganz schön ist!
Zinsrechnung (Übung) Übung
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Gib die Formeln zur Berechnung der Zinsen für eine bestimmte Anzahl an Monaten oder Tagen an.
TippsEin Jahr hat $12$ Monate und ca. $360$ Tage.
$6$ Monate sind $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ eines Jahres.
Daher erhält man für $6$ Monate genau halb so viele Zinsen wie für ein Jahr.
$72$ Tage sind $\frac{72}{360} = \frac{1}{5}$ eines Jahres.
Daher erhält man für $72$ Tage ein Fünftel der Jahreszinsen.
LösungWir kennen die Grundformeln für Zinsen, Zinssatz und Kapital. Diese gehen stets davon aus, dass das Kapital ein Jahr lang verzinst wird. Wir können aber auch ausrechnen, wie viele Zinsen wir erhalten, wenn wir Geld für einen Zeitraum, der geringer als ein Jahr ist, anlegen.
Betrachten wir zunächst die Grundformel für die Zinsen:
$Z = K \cdot p\,\%$Diese gibt an, wie viele Zinsen $Z$ wir erhalten, wenn wir ein Kapital $K$ für ein Jahr mit einer jährlichen Verzinsung von $p\,\%$ anlegen.
Ist der Anlagezeitraum nun kürzer als ein Jahr, so entspricht der Anteil an den jährlichen Zinsen, den wir bekommen, dem Anteil an einem Jahr, für den das Geld angelegt wurde. Um diesen Anteil zu bestimmen, teilen wir die Anzahl der Monate $m$ oder Tage $t$ durch die Gesamtzahl der Monate bzw. Tage eines Jahres.Da ein Jahr $12$ Monate hat, beträgt der Anteil von $m$ Monaten $\dfrac{m}{12}$. Ein Jahr hat außerdem ungefähr $360$ Tage, daher entsprechen $t$ Tage $\dfrac{t}{360}$ eines Jahres.
Die gesuchten Formeln erhalten wir, indem wir die Grundformel mit dem passenden Faktor multiplizieren:
- Zinsen nach $m$ Monaten: $\quad Z = K \cdot p\,\% \cdot \dfrac{m}{12}$
- Zinsen nach $t$ Tagen: $\quad Z = K \cdot p\,\% \cdot \dfrac{t}{360}$
Beispiele:
Nach $6$ Monaten erhält man so genau $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$, also die Hälfte der Jahreszinsen.
Nach $72$ Tagen erhält man genau $\frac{72}{360} = \frac{1}{5}$ der Jahreszinsen. -
Stelle die Zinsen für verschiedene Zeiträume in einer Tabelle dar.
TippsFormeln zur Berechnung der Jahres-, Monats- und Tageszinsen:
Setze die passenden Werte für den Zinssatz $p\,\%$ und das Kapital $K$ ein und ergänze, wenn nötig, den Faktor für die Monate $m$ oder die Tage $t$, um die Zinsen $Z$ zu berechnen.
LösungDie Zinsen $Z$, die wir mit einem Zinssatz $p\,\%$ auf ein Kapital $K$ erhalten, können wir mit der Grundformel
$Z = K \cdot p\,\%$ bestimmen.
Ist der Anlangezeitraum kürzer als ein Jahr, dann müssen wir die Formel noch um einen Zeitfaktor erweitern. Dieser lautet $\frac{m}{12}$ für $m$ Monate und $\frac{t}{360}$ für $t$ Tage.Damit erhalten wir bei einem Zinssatz von $p\,\% = 3\,\% = 0{,}03$ p.a. folgende Formeln für die in der Tabelle aufgeführten Zeiträume:
- $10$ Tage: $\quad Z = K \cdot p\,\% \cdot \frac{10}{360}$
- $4$ Monate: $\ \ Z = K \cdot p\,\% \cdot \frac{4}{12}$
- $6$ Monate: $\ \ Z = K \cdot p\,\% \cdot \frac{6}{12}$
- ein Jahr: $\quad Z = K \cdot p\,\%$
Beispiel: $K = 1500\,€$
- $10$ Tage: $\quad Z = 1500\,€ \cdot 0{,}03 \cdot \frac{10}{360} = 1{,}25\,€$
- $4$ Monate: $\ \ Z = 1\,500\,€ \cdot 0{,}03 \cdot \frac{4}{12} = 15\,€$
- $6$ Monate: $\ \ Z = 1\,500\,€ \cdot 0{,}03 \cdot \frac{6}{12} = 22{,}50\,€$
- ein Jahr: $\quad Z = 1\,500\,€ \cdot 0{,}03 = 45\,€$
Vollständige Tabelle:
$\begin{array}{l|c|c|c|c} \mathbf{Kapital} & \mathbf{10}~\mathbf{Tage} & \mathbf{4}~\mathbf{Monate} & \mathbf{6}~\mathbf{Monate} & \mathbf{ein}\ \mathbf{Jahr}\\ \hline 1\,500\,€ & 1{,}25\,€ & 15\,€ & 22{,}50\,€ & 45\,€ \\ \hline 2\,000\,€ & 1{,}67\,€ & 20\,€ & 30\,€ & 60\,€ \\ \hline 5\,000\,€ & 4{,}17\,€ & 50\,€ & 75\,€ & 150\,€ \end{array}$
-
Bestimme den Zinssatz.
TippsDu erhältst den Zinssatz, indem du die Zinsen durch das Kapital teilst.
Denke daran, das Ergebnis der Formel in eine Prozentzahl umzuwandeln.
Beispiel:
$0{,}047 = 4{,}7\,\%$Beispiel: $6\,€$ Zinsen für $100\,€$
$K = 100\,€, Z = 6\,€$
$p\,\% = \frac{6\,€}{100\,€} = 0{,}06 = 6\,\%$LösungDen Zinssatz $p\,\%$ können wir bei bekanntem Kapital $K$ und Zinsen $Z$ mit der Grundformel $p\,\% = \frac{Z}{K}$ berechnen.
Wir setzen die gegebenen Werte ein und erhalten:
Konto 1: $K = 15\,000\,€,\ Z = 750\,€$
$p\,\% = \dfrac{750\,€}{15\,000\,€} = 0{,}05 = 5\,\%$Konto 2: $K = 220\,000\,€, Z = 1100\,€$
$p\,\% = \dfrac{1100\,€}{220\,000\,€} = 0{,}005 = 0{,}5\,\%$Konto 3: $K = 5700\,€, Z = 199{,}50\,€$
$p\,\% = \dfrac{199{,}50\,€}{5700\,€} = 0{,}035 = 3{,}5\,\%$Konto 4: $K = 350\,€, Z = 5{,}60\,€$
$p\,\% = \dfrac{5{,}60\,€}{350\,€} = 0{,}016 = 1{,}6\,\%$ -
Entscheide, wer den höchsten Geldbetrag angelegt hat.
TippsWenn wir für $3$ Monate $15\,€$ Zinsen erhalten, dann wären es für ein Jahr $4 \cdot 15\,€ = 60\,€$ Zinsen.
Die Grundformel für das Kapital lautet:
$K = \dfrac{Z}{p\,\%}$
Vergiss nicht für die Berechnung, den Zinssatz als Dezimalzahl zu schreiben.
Beispiele:
- $23\,\%\ = 0{,}23$
- $5\,\%\ \ \ = 0{,}05$
- $3{,}6\,\% = 0{,}036$
LösungEndlich sind die Freunde zusammen auf dem Konzert von Mr. Robert, für das sie so fleißig gespart haben. Wir können aus den Zinsen $Z$ und dem Zinssatz $p\,\%$ das angelegte Kapital $K$ der vier Pinguine mit der Formel
$K = \dfrac{Z}{p\,\%}$
berechnen.
Plitsch: $p\,\% = 3\,\%$ und $Z = 51\,€$
$K = \dfrac{51\,€}{3\,\%} = \dfrac{51\,€}{0{,}03} = 1700\,€$Platsch: $p\,\% = 7\,\%$ und $Z = 35\,€$
$K = \dfrac{35\,€}{7\,\%} = \dfrac{35\,€}{0{,}07} = 500\,€$Pingu: $p\,\% = 1{,}7\,\%$ und $Z = 34\,€$
$K = \dfrac{34\,€}{1,7\,\%} = \dfrac{34\,€}{0{,}017} = 2000\,€$Paul: $p\,\% = 4\,\%$ und $20\,€$ Zinsen für $6$ Monate $\Rightarrow$ pro Jahr: $Z = 2 \cdot 20\,€ = 40\,€$
$K = \dfrac{40\,€}{4\,\%} = \dfrac{40\,€}{0{,}04} = 1000\,€$Damit ergibt sich die Reihenfolge:
- Platsch mit $500\,€$
- Paul mit $1000\,€$
- Plitsch mit $1700\,€$
- Pingu mit $2000\,€$
-
Vervollständige das Dreieck zu den Grundformeln der Zinsrechnung.
TippsEs gilt:
$Z = p\,\% \cdot K$
Beispiel:
Das Dreieck steht für die Formeln:- $a = b \cdot c$
- $b = \frac{a}{c}$
- $c = \frac{a}{b}$
LösungFür die Zinsrechnung kennen wir drei Grundformeln, mit denen wir bei einer Aufgabe die gesuchte Größe mithilfe von zwei gegebenen Größen berechnen können. Die drei Formeln für den Zusammenhang von Kapital $K$, Zinsen $Z$ und Zinssatz $p\,\%$ können wir auch, wie oben, als Dreieck darstellen. Sie lauten:
- $Z = p\,\% \cdot K$
- $p\,\% = \dfrac{Z}{K}$
- $K = \dfrac{Z}{p\,\%}$
Hinweis: Da die Multiplikation kommutativ ist, gilt $Z = p\,\% \cdot K = K \cdot p\,\%$. Daher können auch die Zeichen $K$ für das Kapital und $p\,\%$ für den Zinssatz unten im Dreieck vertauscht werden.
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Ermittle, ob die Zinsen für das Abendessen reichen.
TippsBestimme zunächst den Zeitraum, für den Herr Knausrig Zinsen erhält.
Die Formel, um die Zinsen für eine bestimmte Anzahl an Stunden zu berechnen, ist genauso aufgebaut, wie die Formel für die Monats- oder Tageszinsen.
LösungBis zum Abendessen in der goldenen Muschel sind es noch genau $7$ Stunden. Um zu bestimmen, wie viele Zinsen Herr Knausrig in diesem Zeitraum erhält, können wir so vorgehen, wie wenn wir die Zinsen für eine bestimmte Anzahl an Monaten oder Tagen berechnen.
Ein Jahr hat ca. $360$ Tage, davon hat jeder genau $24$ Stunden. Das macht für ein Jahr: $360 \cdot 24 = 8640$ Stunden.
Damit können wir die Formel $Z = K \cdot p\,\% \cdot \frac{h}{8640}$ aufstellen, um die Zinsen nach $h$ Stunden zu berechnen.Wir setzen alle Angaben ein: $K = 15\,450\,219\,€$, $p\,\% = 1{,}8\,\% = 0{,}018$, $h = 7$
$Z = 15\,450\,219\,€ \cdot 0{,}018 \cdot \dfrac{7}{8640} \approx 225{,}32\,€$
Herr Knausrig kann also, wenn er nur die Zinsen seit dem Mittag ausgeben möchte, für $225\,€$ in der goldenen Muschel zu Abend essen.
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Gutes Video
Ich bin so begeistert 🤩
ein sehr schönes Video.Habe es damit viel besser verstanden
ein tolles Video hab in Mathe Arbeit ein 2 geschrieben
schön sachlich und nicht zu kindisch