Kapital, Zinsen, Zinssatz

Kapital, Zinsen, Zinssatz Übung

• Bestimme die Begriffe.

  Tipps

  Wenn Monty einen Kredit aufnimmt, muss er dafür jedes Jahr zusätzlich die Zinsen bezahlen.

  Der Zinssatz der Zinsrechnung entspricht dem Prozentsatz der Prozentrechnung und ist ein Verhältnis, das man in $\%$ oder als Dezimalbruch angeben kann.

  Wenn Monty einen Kredit von $200$ Knochen zu einem Zinssatz von $11\,\%$ aufnimmt, so muss er dafür jährlich $200 \cdot 0,\!11 = 22$ Knochen an Zinsen zahlen.

  Lösung

  Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung. Die Begriffe der Prozentrechnung haben in der Zinsrechnung eigene Namen. Die Formeln kannst du direkt übertragen. Der dem Grundwert entsprechende Wert heißt in der Zinsrechnung Kapital. Auf ein Kapital, das man als Kredit aufnimmt, muss man üblicherweise jährliche Zinsen zahlen. Die Zinsen sind also zusätzliches Geld, das der Kreditnehmer an den Kreditgeber bezahlt. Die Zinsen entsprechen dem Prozentwert aus der Prozentrechnung. Das bedeutet, dass die Höhe der Zinsen von der Höhe des als Kredit aufgenommenen Kapitals abhängt. Diese Abhängigkeit ist mit dem Zinssatz festgelegt. Dieser ist nämlich das Verhältnis aus Zinsen und Kapital. In der Prozentrechnung gibt es eine ganz analoge Größe, nämlich den Prozentsatz, d. h. das Verhältnis aus Prozentwert und Grundwert.

  Monty will ein Kapital von $K = 210$ Knochen als Kredit aufnehmen. Dafür soll er jährlich $Z = 21$ Knochen Zinsen zahlen. Monty rechnet den zugehörigen Zinssatz aus. Dazu teilt er Zinsen durch Kapital und erhält:

  $p\% = \frac{ Z}{ K} = \frac{21}{210} = 0,\!1 =10\,\%$.

  $21$ Knochen Zinsen pro Jahr sind Monty zu viel. Stattdessen bietet er an, nur $Z = 12$ Knochen Zinsen jährlich zu zahlen. Für die niedrigeren Zinsen begnügt er sich auch mit einem geringeren Kapital von $K = 150$ Knochen. Mit diesen Werten sind nicht nur Kapital und Zinsen niedriger. Auch der Zinssatz ist kleiner geworden:

  $p\% = \frac{ Z}{K} = \frac{12}{150} = 0,\!08 = 8\,\%$

• Definiere die Begriffe.

  Tipps

  Die Zinsen sind das Produkt aus Zinssatz und Kapital.

  Das Kapital ist der Wert, auf den sich die Zinsen beziehen.

  Das Verhältnis von Zinsen und Kapital entspricht dem Verhältnis von Prozentwert und Grundwert.

  Lösung

  Die Zinsrechnung ist eine direkte Anwendung der Prozentrechnung. Das Kapital $ K$ entspricht dem Grundwert $G$ aus der Prozentrechnung, die Zinsen $Z$ dem Prozentwert $W$ und der Zinssatz $p\%$ dem Prozentsatz $p\%$ . Die Formeln der Prozentrechnung kannst du direkt in die Zinsrechnung übertragen. So ist der Zinssatz das Verhältnis aus Zinsen und Kapital:

  $p\% =\dfrac{ Z}{ K}$

  Die Zinsen sind das Produkt aus Zinssatz und Kapital:

  $ Z = p\% \cdot K$.

  Das Kapital kannst du auch als Verhältnis von Zinsen und Zinssatz berechnen:

  $K =\frac{Z}{ p\%}$.

  Die Zinsen sind zusätzliches Geld, das für einen Kredit bezahlt werden muss. Üblicherweise werden die Zinsen einmal jährlich fällig.

  Mit diesen Überlegungen findest du folgende Sätze:

  • Der Grundwert ... heißt in der Zinsrechnung Kapital.

  • Der Zinssatz ... ist der Quotient aus Zinsen und Kapital.

  • Die Zinsen ... müssen jedes Jahr neu bezahlt werden.

  • Das Produkt aus Prozentsatz und Grundwert ... heißt Prozentwert.

• Bestimme das Kapital.

  Tipps

  Du kannst das Kapital aus den Zinsen und dem Zinssatz berechnen.

  Die Zinsen entsprechen dem Prozentwert $ W$, der Zinssatz dem Prozentsatz $p\%$. Den Grundwert kannst du daraus berechnen mit der Formel:

  $ G = \frac{W}{p\%}$.

  Die Zinsen von $Z = 250$ bei einem Zinssatz von $ p\% = 1\,\%$ gehören zu dem Kapital

  $K = \frac{ Z}{ p\%} = \frac{250}{1\,\%} = \frac{250}{0,01} = 25\,000$

  Lösung

  Für die Zinsrechnung sind die Begriffe Kapital, Zinssatz und Zinsen relevant. Der Zinssatz ist das Verhältnis aus Zinsen und Kapital. Die Zinsen sind das Produkt aus Zinssatz und Kapital. Das Verhältnis von Zinsen und Zinssatz ergibt wiederum das Kapital. In Formeln:

  $p\% = \frac{Z}{K}$ und $Z = p\% \cdot K$ und $ K = \frac{ Z}{p\%}$

  Du kannst also aus jedem Paar von Zinsen und Zinssatz mit der dritten Formel das Kapital berechnen. So findest du folgende Zuordnungen:

  Kapital $K = 1\,000$:

  • Hierzu passt das Paar aus Zinsen $ Z = 125$ und Zinssatz $ p\% = 0,\!125$, denn $\frac{125}{0,125} = 1\,000$.
  • Auch das Paar $ Z = 375$ und $p\% =37,\!5\,\%$ passt: $\frac{375}{37,5\,\%} = \frac{375}{0,375} = 1\,000$.

  Kapital $ K = 375$:

  • Als Kredit wäre es nicht günstig, aber als Übungsaufgabe passt das Paar $ Z = 375$ und $p\% = 100\,\%$, denn $\frac{375}{100\,\%} = \frac{375}{1} = 375$.
  • Dieser Kredit ist auch teuer, aber rechnerisch ebenso passend: $ Z = 75$ und $p\% = 20\,\%$, denn $\frac{75}{20\,\%} = \frac{75}{0,2} = 375$.

  Kapital $ K = 450$:

  • Zu diesem Kapital passt das Paar aus Zinssatz $ p\% = 0,\!2$ und Zinsen $Z = 90$, denn $\frac{90}{0,2} = 450$.
  • Auch das folgende Kreditangebot passt: $ p\% = 11\,\%$ und $ 49,\!5$, denn $\frac{49,5}{11\,\%} = \frac{49,5}{0,11} = 450$.

  Kapital $K=1\,250$:

  • Ein passendes Paar ist das aus Zinssatz $ p\% = 20\,\%$ und Zinsen $Z = 250$, denn hier ist $\frac{250}{0,2} = 1\,250$.
  • Gleichfalls passend ist das Paar aus Zinsen $Z = 125$ und Zinssatz $p\% = 0,\!1$: hierfür ist nämlich $\frac{125}{0,1} = 1\,250$.

• Ermittle die fehlenden Angaben bis auf die zweite Nachkommastelle.

  Tipps

  Wandle die Prozentangaben in einen Dezimalbruch um.
  Beispiel: $p\% = 5\,\% = 0,\!05$

  $p\% = \dfrac{Z}{K}$

  $Z = K \cdot p\%$

  $K = \dfrac{Z}{p\%}$

  Lösung

  Zur Berechnung der fehlenden Angaben hilft uns unser Wissen zur Prozentrechnung. Die Formeln der Prozentrechnung können in diesem Fall direkt auf die Zinsrechnung übertragen werden. Wir passen dabei lediglich die Begriffe an. Statt dem Grundwert $G$ sprechen wir vom Kapital $K$. Zum Prozentwert $W$ sagen wir Zinsen $Z$. Während wir den Prozentwert mit Prozentsatz $p\%$ berechnen, können wir die Zinsen mit dem Zinssatz berechnen. Auch hier verwenden wir ein $p\%$ als Abkürzung. Um mit diesen Werten rechnen zu können, wandeln wir die Prozentangabe in einen Dezimalbruch um. Beispielsweise entsprechen $3\,\%$ dem Dezimalbruch $0,\!03$. Somit ergeben sich folgende Formeln zur Berechnung der einzelnen Werte:
  

  • $p\% = \dfrac{Z}{K}$
  • $Z = K \cdot p\%$
  • $K = \dfrac{Z}{p\%}$

  In den folgenden beiden Aufgaben ist das Kapital $K$ gesucht. Die gegebenen Werte setzen wir somit in die Formel $K = \dfrac{Z}{p\%}$ ein.
  

  • Gegeben: $Z = 245$ und $p\%=35\,\%=0,\!35$. Somit rechnen wir $K = \dfrac{245}{0,\!35} = 700$.
  • Gegeben: $Z = 10,\!05$ und $p\%=0,\!1\,\%=0,\!001$. Wir rechnen also $K = \dfrac{10,\!05}{0,\!001} = 10\,050$.

  Bei den nächsten beiden Aufgaben sind die Zinsen $Z$ gesucht. Deshalb verwenden wir die Formel $Z = K \cdot p\%$.
  

  • Gegeben: $K = 400$ und $p\%=18\,\%=0,\!18$. Also rechnen wir $Z = 400 \cdot 0,\!18 = 72$.
  • Gegeben: $K = 1\,456$ und $p\%=3\,\%=0,\!03$. Wir rechnen $Z = 1\,456 \cdot 0,\!03 = 43,\!68$.

  Bei den letzten beiden Aufgaben war der Zinssatz $p\%$ zu ermitteln. Wir verwenden deshalb die Forml $p\% = \dfrac{Z}{K}$. Hier war zu beachten, dass die errechneten Werte in Prozent angegeben werden und somit der Dezimalbruch umgerechnet werden muss.

  • Gegeben: $K = 250$ und $Z = 25$. In die Formel eingesetzt ergibt sich dann $p\% = \dfrac{25}{250} = 0,\!1 = 10\,\%$.
  • Gegeben: $K = 520$ und $Z = 13$. Hier rechnen wir dann $p\%= \dfrac{13}{520} = 0,\!025 = 2,\!5\,\%$.

• Gib die Formeln der Prozent- und Zinsrechnung an.

  Tipps

  Der Zinssatz ist das Verhältnis aus Zinsen und Kapital.

  Die Formel für den Zinssatz kannst du auch nach dem Kapital oder den Zinsen auflösen.

  Bei einem Zinssatz von $2\,\%$ und einem Kapital von $400$ betragen die jährlichen Zinsen $2\,\% \cdot 400 = 0,\!02 \cdot 400 = 8$.

  Lösung

  Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung. Die Begriffe der Prozentrechnung heißen Grundwert $G$, Prozentsatz $ p\%$ und Prozentwert $W$. Der Grundwert ist der Wert, von dem ausgehend der Prozentwert bestimmt wird. Der Prozentsatz ist das Verhältnis von Prozentwert und Grundwert. In Formeln bedeutet das:

  $ p\% = \frac{W}{ G}$

  Diese Formel kannst du auch nach dem Prozentwert oder dem Grundwert auflösen. Dadurch findest du die Formeln:

  $W = p\% \cdot G$ und $ G = \frac{W}{ p\%}$

  In der Zinsrechnung entspricht der Grundwert dem Kapital $ K$. Der Prozentwert entspricht den Zinsen $ Z$ und der Prozentsatz dem Zinssatz $ p\%$.

  Setzt du diese Begriffe in die Formeln der Prozentrechnung ein, so findest du die Formeln auf dem Bild.

  Mit diesen Überlegungen findest du auch heraus, welche Formeln aus der Übung richtig sind:

  • $ p\% = \frac{ Z}{K}$: Der Zinssatz ist das Verhältnis aus Zinsen und Kapital.

  • $W = p\% \cdot G$: Den Prozentwert kannst du als Produkt aus Prozentsatz und Grundwert ausrechnen.

  • $ K = \frac{ Z}{p\%}$: Aus dem Verhältnis von Zinsen und Zinssatz erhältst du das Kapital zurück.

  • $p\% = \frac{ W}{G}$: Der Prozentsatz ist das Verhältnis von Prozentwert und Grundwert.

  Folgende Formeln dagegen sind falsch:

  • $K \neq \frac{p\%}{Z}$: Das Kapital kannst du als Quotient von Zinsen und Zinssatz bestimmen. Der Bruch muss also umgedreht werden, sodass die Formel stimmt.

  • $W \neq p\% \cdot Z$: Hier kommen die Begriffe der Prozent- und Zinsrechnung durcheinander. Es gibt keine solche Formel, in der sowohl der Prozentwert als auch die Zinsen vorkommen.

  • $ Z \neq \frac{K}{p\%}$: Die Zinsen sind das Produkt und nicht der Quotient aus Kapital und Zinssatz.

• Prüfe die Zinsberechnungen.

  Tipps

  Liegt der Zinssatz bei $20\,\%$ pro Jahr, so sind die Zinsen von $5$ Jahren mindestens so hoch wie das ursprüngliche Kapital.

  Bei einem Zinssatz von $9\,\%$ und einem Kapital von $111$ sind ${111 \cdot 0,\!09 = 9,\!99}$ Knochen Zinsen pro Jahr zu bezahlen.

  Lösung

  Die Hundemafia gibt sich alle Mühe, die Kreditbedingungen mit undurchsichtigen Sätzen zu verschleiern. Aber wenn du einen kühlen Kopf behältst und die Formeln der Zinsrechnung richtig anwendest, kannst du der Mafia auf die Pfoten schauen:

  Die Beziehung zwischen Kapital $\text K$, Zinssatz $\text p\%$ und Zinsen $\text Z$ wird durch folgende drei äquivalenten Formeln bestimmt:

  $\text Z = \text p\% \cdot \text K$ und $\text p\% = \frac{\text Z}{\text K}$ und $\text K = \frac{\text Z}{\text p\%}$.

  Mit diesen Formeln kannst du die Sätze überprüfen.

  Folgende Sätze sind richtig:

  • „Kein Kredit, dessen Zinsen in $10$ Jahren das ursprüngliche Kapital übersteigen, hat einen Zinssatz unter $10\,\%$ pro Jahr.“ Hat ein Kredit einen Zinssatz von weniger als $10\,\% = 0,\!1 = \frac{1}{10}$, so machen die jährlichen Zinsen weniger als ein Zehntel des Kapitals aus. In $10$ Jahren ist daher weniger als zehnmal ein Zehntel des Kapitals an Zinsen fällig, also weniger als das ursprüngliche Kapital.

  • „Legt der Mafiaboss seine Knochen mit Zinsen von $15\,\%$ pro Jahr an, so wird sich sein Vermögen während einer siebenjährigen Haftstrafe mindestens verdoppeln.“ Wenn der Mafiaboss jedes Jahr $15\%$ Zinsen erhält, so hat er nach $7$ Jahren $7 \cdot 15\,\% = 105\,\%$ an Zinsen erhalten. Dadurch hat sich sein Vermögen verdoppelt. Denn ihm gehört nicht nur das Kapital, sondern auch die Zinsen. In der Geldanlage-Praxis tritt die Verdoppelung sogar noch früher ein. Der Grund dafür ist der Zinseszins. Aber das ist ein weiterführendes Thema.

  Folgende Sätze sind falsch:

  • „$13$ Knochen Zinsen pro Jahr bei einem Zinssatz von $5\,\%$ versprechen ein Kapital von mehr als $300$ Knochen.“ Das Kapital zu diesen Kreditkonditionen wäre $\text K = \frac{\text Z}{\text p\%} = \frac{13}{0,05} = 260 < 300$.

  • „Um nicht mehr als $15$ Knochen pro Jahr an Zinsen bezahlen zu müssen, darf bei einem Zinssatz von $15\,\%$ das Kapital nicht kleiner als $150$ Knochen sein.“ Wieder kannst du das Kapital aus den Kreditkonditionen bestimmen: $\text K = \frac{\text Z}{\text p\%} = \frac{15}{0,15} = 100$. Tatsächlich darf also das Kapital unter diesen Bedingungen nicht größer als $100$ Knochen sein.

  • „Um mit höchstens $11$ Knochen Zinsen pro Jahr ein Kapital von $222$ Knochen zu erhalten, darf der Zinssatz bis zu $5\,\%$ betragen.“ Der Zinssatz ist das Verhältnis aus Zinsen und Kapital. Hier beträgt der Zinssatz also $\frac{11}{222} = 0,\!0495 = 4,\!95\,\% < 5\,\%$. Der Zinssatz darf also höchstens bei $4,\!95\,\%$ liegen.