Zinseszinsen

Zinsen – Einführung

Stellen wir uns einmal vor, dass wir bei einer Bank Geld als Kapital anlegen. Dieses Geld vermehrt sich jedes Jahr um einen Betrag. Das vermehrte Geld kann dann wiederum als neues Kapital genommen und im nächsten Jahr erneut vermehrt werden. Da sich das Kapital geändert hat, verändert sich auch der Betrag, der hinzugerechnet wird. Diese Beträge nennen wir Zinsen bzw. Zinseszinsen. Wir wollen uns anschauen, wie wir die Zinsen, die jedes Jahr zu unserem Kapital hinzukommen, berechnen können.

Begriffe der Zinsrechnung

Für das Verständnis und die Berechnung von Zinseszinsen, sind die Begriffe der Zinsrechnung notwendig.

Berechnung der Größen $K$, $Z$ und $p\%$

Um eines der Größen der Zinsrechnung zu berechnen, benutzen wir die folgenden Grundformeln:

• Das Kapital $K$ berechnen wir mit der Formel:

$\qquad K = \dfrac{Z}{p\%}$

• Den Zinssatz $p\%$ berechnen wir mit der Formel:

$\qquad p\% = \dfrac{Z}{K}$

• Die Zinsen $Z$ berechnen wir mit der Formel:

$\qquad Z = K \cdot p\%$

Wenn ein Kapital über mehrere Jahre verzinst wird, dann berücksichtigen wir die Zinseszinsen.

Zinseszinsen – Definition

Es handelt sich also um Zinsen auf Zinsen. So steigen über eine Laufzeit Zinsen und Kapital immer mehr an. Dieses Phänomen wird auch Zinseszins-Effekt genannt.

Wir starten mit einem bestimmten Kapital $K$. Auf diesen bekommen wir Zinsen $Z$, die mit dem Zinssatz $p\%$ berechnet werden. Das darauffolgende Jahr, hat sich unser Kapital dann auf $K + Z$ erhöht. Dieses nehmen wir als neues Kapital und berechnen wieder die Zinsen mit dem Zinssatz $p\%$. Dabei erhöhen sich die Zinsen im Vergleich zum Vorjahr um die Zinseszinsen.

Zinseszinsen – Beispiel

Nehmen wir an, dass Archie bei einer Bank Geld anlegen möchte. Im ersten Jahr hat er ein Kapital von $K = 350$ Euro. Er bekommt darauf einen Zinssatz von $p\% = 3{,}5\,\%$.
Wir können Prozentsätze als Dezimalzahlen zwischen $0$ und $1$ schreiben, also $0$ entspricht $0\, \%$ und $1$ entspricht $100\, \%$. Unser Zinssatz beträgt $p\% = 3{,}5\,\% = 0{,}035$.
Wir werden nun zunächst Schritt für Schritt berechnen, wie sich das Kapital von Archie in drei Jahren durch Zinsen und Zinseszinsen entwickelt.

Berechnung der Zinsen für das erste Jahr

Wir setzen die Werte für das Kapital $K = 350$ und den Zinssatz in Dezimalform, also ${p\% = 0{,}035}$, in die Zinsformel ein und berechnen:

$Z = K \cdot p\%$

$Z = 350 \cdot 0{,}035 = 12{,}25$

Archie erhält auf sein Kapital nach dem ersten Jahr Zinsen in Höhe von $12{,}25$ Euro.
Addieren wir die Zinsen zu dem ursprünglichen Kapital von $350$ Euro, erhalten wir ein neues Kapital von $362{,}25$ Euro. Dieses bezeichnen wir mit $K_1$, da es das Kapital nach dem ersten Jahr ist.

$K_1 = 350 + 12{,}25 = 362{,}25$

Archie hat nun $362{,}25$ Euro auf seinem Konto. Das neue Kapital $K_1$ benötigen wir, um die Zinseszinsen für das zweite Jahr zu berechnen.

Berechnung der Zinseszinsen für das zweite Jahr

Für das zweite Jahr müssen wir nun $K_1$ als neues Kapital für die Berechnung der Zinsen verwenden.

Achtung: Der Zinssatz, also $p\%$ ändert sich nicht. Nur das Kapital ändert sich.

Wir setzen die Werte für das Kapital $K_1 = 362{,}25$ und den Zinssatz in Dezimalform, ${p\% = 0{,}035}$, in die Zinsformel ein:

$Z = K_1 \cdot p\%$

$Z = 362{,}25 \cdot 0{,}035 \approx 12{,}68$

Nun addieren wir wieder die Zinsen zu $K_1$ und erhalten das Kapital $K_2$ nach dem zweiten Jahr:

$K_2 = 362{,}25 + 12{,}68 = 374{,}93$

Archie hat nun $374{,}93$ Euro auf seinem Konto. Das neue Kapital $K_2$ benötigen wir, um die Zinseszinsen für das dritte Jahr zu berechnen.

Berechnung der Zinseszinsen für das dritte Jahr

Für das dritte Jahr müssen wir nun $K_2$ als neues Kapital für die Berechnung der Zinsen verwenden. Wir setzen die Werte für das Kapital $K_2 = 374{,}93$ und den Zinssatz in Dezimalform, $p\% = 0{,}035$, in die Zinsformel ein:

$Z = K_2 \cdot p\%$

$Z = 374{,}93 \cdot 0{,}035 \approx 13{,}12$

Nun addieren wir wieder die Zinsen zu $K_2$ und erhalten das dritte Kapital $K_3$ nach dem dritten Jahr:

$K_3 = 374{,}93 + 13{,}12 = 388{,}05$

Archie hat nun schon $388{,}05$ Euro auf seinem Konto!

Das hat sich ja ganz schön vergrößert. Schauen wir uns doch einmal die Veränderung des Kapitals über die Jahre hinweg an:

Wie wir sehen, wachsen wegen der Zinseszinsen die Zinsen im Laufe der Jahre. Entsprechend steigt das Kapital in jedem Jahr um einen größeren Betrag. Das Kapital nach drei Jahren können wir aber auch in einer Rechnung ermitteln.

Zinseszins – Berechnung des Kapitals über viele Jahre mit einer Formel

Das ursprüngliche Kapital von $350$ Euro entspricht $100\,\%$ und wir haben jedes Jahr einen Zinssatz von $3{,}5\,\%$. Für die Schreibweise in Prozent verwenden wir jetzt die Dezimalform:

$K ~\hat{=} ~ 100\, \% = 1~$ (in Dezimalform)
$p\% = 3{,}5\, \% = 0{,}035~$ (in Dezimalform)

Nach einem Jahr ist das neue Kapital $K_1$:

$K_1 ~\hat{=} ~ K + p\% = 103{,}5\, \% = 1{,}035~$ (in Dezimalform)

Wir erhalten den Wert für $K_1$ also auch, wenn wir $K$ mit $1{,}035$ multiplizieren:

$K_1 = K \cdot 1{,}035 = 350 \cdot 1{,}035 = 362{,}25$

Auf diese Weise können wir das jeweils neue Kapital für jedes weitere Jahr berechnen:

$K_1 = 350 \cdot 1{,}035$
$K_2 = 350 \cdot 1{,}035 \cdot 1{,}035$
$K_3 = 350 \cdot 1{,}035 \cdot 1{,}035 \cdot 1{,}035$

Vielleicht weißt du ja auch schon, was eine Potenz ist. Da wir immer den gleichen Wert miteinander multipliziert haben, können wir dieses Produkt auch als Potenz schreiben:

$K_3 = 350 \cdot 1{,}035^3$

Es kommt das Gleiche heraus wie oben:

$K_3 = 350 \cdot 1{,}035^3 = 388{,}05$

Archie hat nach drei Jahren $388{,}05$ Euro auf seinem Konto!

Der Exponent $3$ entspricht den $3$ Jahren, für die Zinseszinsen entstehen.

Zinseszins Berechnung mit allgemeiner Formel – Beispiel

Ayla hat Geld gespart und möchte es nun anlegen, um es zu vermehren. Sie hat ein Startkapital von $2000$ Euro. Die Bank bietet ihr einen jährlichen Zinssatz von $4{,}8\,\%$. Ayla möchte das Geld bei dieser Bank anlegen und es nach $7$ Jahren auszahlen lassen.
Wie viel Geld bekommt sie nach $7$ Jahren ausgezahlt?

Es gilt: $K = 2000$ und $p\% = 4{,}8\,\%$ für $x = 7$ Jahre.

Diese Werte setzen wir nun in die allgemeine Zinseszins-Formel ein und rechnen das Kapital $K_7$ nach $7$ Jahren aus:

$K_7 = 2000 \cdot \left(1 + \dfrac{4{,}8}{100}\right)^7 \approx 2000 \cdot 1{,}39 \approx 2776{,}89$

Nach $7$ Jahren wird Ayla also ungefähr $2776{,}89$ Euro haben.

Ausblick – das lernst du nach Zinseszinsen

Vertiefe dein Wissen mit Themen wie Jahres-, Monats- und Tageszinsen. Danach hast du die Möglichkeit weitere Übungen und Beispiele zur Zinsrechnung zu machen!

Häufig gestellte Fragen zum Thema Zinseszins