Zahlenbereiche

Zahlenbereiche Übung

• Definiere die verschiedenen Zahlenbereiche.

  Tipps

  Die Zahl $6$ ist eine natürliche Zahl. Damit gehört sie aber auch gleichzeitig zu den ganzen und auch zu den rationalen Zahlen.

  Die Zahl $\sqrt{3}$ ist nicht als abbrechender oder periodischer Dezimalbruch darstellbar.

  Lösung

  Die ersten Zahlen, die du kennengelernt hast, sind die natürlichen Zahlen und tragen das Symbol $\mathbb{N}$. Die natürlichen Zahlen sind alle positiven ganzen Zahlen ohne die Null. Daher gehören die Zahlen $6$ oder $21$ zu ihnen.

  Fügst du die Zahl $0$ zu den natürlichen Zahlen hinzu, so erhälst du die so genannten nicht negativen ganzen Zahlen mit dem Symbol $\mathbb{N}_0$.

  Die ganzen Zahlen werden durch das Symbol $\mathbb{Z}$ dargestellt. Dabei handelt es sich um alle natürlichen Zahlen sowie ihre Gegenzahlen und die $0$. Die Gegenzahl zu $11$ ist zum Beispiel $-11$. Daher sind $-14$ oder $-230$ ganze Zahlen.

  Die rationalen Zahlen tragen das Symbol $\mathbb{Q}$ und ergänzen die ganzen Zahlen um alle positiven und negativen Brüche wie $\frac{1}{2}$ oder $-\frac{2}{3}$ und abbrechenden und periodischen Dezimalbrüche wie $5,12$. Daher gehören die Zahlen $\frac{1}{2}$ oder $8,11$ zu den rationalen Zahlen, allerdings nicht zu den ganzen Zahlen. Trotzdem sind alle ganzen Zahlen auch rationale Zahlen.

• Bestimme die gesuchten Zahlenmengen.

  Tipps

  Das Symbol $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ steht für die irrationalen Zahlen.

  Eine irrationale Zahl kann nicht als Bruch endlicher Zahlen oder als periodischer Dezimalbruch dargestellt werden.

  Lösung

  Bei der Zahl $50$ handelt es sich natürlich um eine natürliche Zahl. Dieser Zahlenbereich wird mit dem mathematischen Symbol $\mathbb{N}$ abgekürzt.

  Die Zahl $-230$ ist eine negative ganze Zahl, da sie die Gegenzahl der natürlichen Zahl $230$ ist. Der Zahlenbereich der ganzen Zahlen trägt das Symbol $\mathbb{Z}$.

  Die Zahl $-\frac{2}{3}$ stellt einen endlichen Bruch dar. Da er sich auch nicht zu einer ganzen Zahl kürzen lässt, handelt es sich um eine rationale Zahl. Der Zahlenbereich der rationalen Zahlen trägt das Symbol $\mathbb{Q}$.

  Die Zahl $-2 \sqrt{5}$ besteht aus der ganzen Zahl $-2$ und der Zahl $\sqrt{5}$. Die Wurzel aus $5$ lässt sich nicht als abbrechende Dezimalzahl und auch nicht als periodischen Dezimalbruch darstellen. Daher handelt es sich bei $\sqrt{5}$ um eine irrationale Zahl und damit ebenfalls bei $-2 \sqrt{5}$. Diese werden mit dem Symbol $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ abgekürzt.

  Zusammen mit den rationalen Zahlen bilden die irrationalen Zahlen die reellen Zahlen $\mathbb{R}$.

• Prüfe die Aussagen über Zahlenbereiche auf ihre Richtigkeit.

  Tipps

  Wenn du die Null zu den natürlichen Zahlen hinzufügst, so erhältst du den Zahlenbereich $\mathbb{N}_0$.

  Die $-37$ ist eine ganze Zahl, aber keine natürliche Zahl.

  Lösung

  • Aussage 1: „Jede ganze Zahl ist auch eine natürliche Zahl.“
  • Aussage 2: „Der Zahlenbereich $\mathbb{N}$ ist in dem Zahlenbereich $\mathbb{Z}$ enthalten.“
  • Aussage 4: „Die Zahl $77$ ist eine natürliche und damit auch eine ganze Zahl.“

  Die Aussage 1 ist falsch. Der Bereich der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der ganzen Zahlen. Daher verhält es sich genau andersherum als in Aussage 1 behauptet. Damit ist Aussage 2 richtig. Dies kann man auch am Beispiel der Zahl $77$ sehen. $77$ ist eine natürliche und damit auch eine ganze Zahl. Damit ist Aussage 4 auch richtig.

  • Aussage 3: „Die Gegenzahl zu $2$ ist $-2$.“

  Diese Aussage ist richtig. Die Gegenzahl zu einer natürlichen Zahl ist diejenige negative Zahl, die den gleichen Betrag hat. Zu jeder natürlichen Zahl gibt es daher genau eine negative ganze Zahl, die deren Gegenzahl ist.

  • Aussage 5: „Die Null ist in den nicht negativen, ganzen Zahlen enthalten.“

  Diese Aussage ist richtig. Der Bereich der nicht negativen ganzen Zahlen mit Symbol $\mathbb{N}_0$ enthält zusätzlich die Null.

  • Aussage 6: „Das Ergebnis aus $-33+32$ ist eine natürliche Zahl.“

  Diese Aussage ist falsch. Das Ergebnis beträgt $-1$. Die Zahl $-1$ ist eine negative Zahl und kann daher keine natürliche Zahl sein.

• Erschließe den Zahlenbereich zu den folgenden Zahlenwerten.

  Tipps

  Die Zahl $9$ ist eine Quadratzahl.

  Das Symbol $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ steht für die irrationalen Zahlen. Zu diesen gehören alle Zahlen, die sich nicht als Bruch darstellen lassen, also alle Zahlen, die keine abbrechenden oder periodischen Dezimalzahlen darstellen.

  Lösung

  Rationale Zahlen $\mathbb{Q}$:

  Die Zahl $\frac{1}{4}$ ist, da es sich um einen Bruch aus ganzen Zahlen handelt, eine rationale Zahl.
  Die Zahl $-14,222$ ist eine endliche Dezimalzahl. Daher handelt es sich dabei auch um eine rationale Zahl.
  Die Zahl $-2\sqrt{9}$ lässt sich noch weiter vereinfachen, da $9$ eine Quadratzahl ist. Daher gilt:
  $-2\sqrt{9}=-2 \cdot 3=-6$
  Daher handelt es sich um eine rationale Zahl.

  Irrationale Zahlen $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$:

  Die Zahl $\sqrt{7}$ lässt sich weder weiter vereinfachen, noch als Bruch oder abbrechende oder periodische Dezimalzahl darstellen. Daher handelt es sich um eine irrationale Zahl.
  Genauso verhält es sich mit $3 \pi$. Da $\pi$ eine irrationale Zahl mit unendlich vielen Stellen hinter dem Komma ist, ist auch jedes Vielfache von $\pi$ eine irrationale Zahl.
  Die Zahl $-17\sqrt{23}$ lässt sich auch nicht weiter vereinfachen. Steht unter einer Wurzel keine Quadratzahl, handelt es sich immer um eine irrationale Zahl. Dies ändert sich auch nicht, wenn zu dieser Zahl eine ganze Zahl hinzukommt. Daher handelt es sich bei $-17\sqrt{23}$ um eine irrationale Zahl.

• Gib die Einteilung der Zahlenbereiche wieder.

  Tipps

  Der Zahlenbereich $\mathbb{N}_0$ enthält alle natürlichen Zahlen und die Null.

  Die Zahl $\frac{2}{3}$ ist eine rationale Zahl.

  Lösung

  Der innerste Zahlenbereich ist der der natürlichen Zahlen. Diesen kannst du mit dem Symbol $\mathbb{N}$ abkürzen. Die Zahlen $11, 50, 6$ und $21$ sind natürliche Zahlen.

  Fügst du die $0$ zu den natürlichen Zahlen hinzu, so erhältst du die nicht negativen, ganzen Zahlen mit Symbol $\mathbb{N}_0$.

  Fügst du nun noch alle Gegenzahlen zu den natürlichen Zahlen und der Null hinzu, so erhältst du den Bereich der ganzen Zahlen, abgekürzt mit dem Symbol $\mathbb{Z}$. Die Zahlen $-14, -230$ und $-3$ sind ganze Zahlen.

  Der nächste Zahlenbereich sind die rationalen Zahlen. Dieser Zahlenbereich enthält alle positiven und negativen Brüche sowie alle abbrechenden und periodischen Dezimalzahlen. Für ihn wird das Symbol $\mathbb{Q}$ verwendet. Beispiele für rationale Zahlen sind die Brüche $\frac{1}{2}$ oder $- \frac{2}{3}$ oder die Dezimalzahl $8,1$.

  Fügst du nun noch alle irrationalen zu den rationalen Zahlen hinzu, also alle Zahlen, die sich nicht als abbrechende oder periodische Dezimalzahlen darstellen lassen, so erhältst du den Bereich der reellen Zahlen. Dieser trägt das Symbol $\mathbb{R}$.

• Ordne die Zahlenwerte aufsteigend nach der Anzahl der Zahlenbereiche, in denen sie enthalten sind.

  Tipps

  Jede natürliche Zahl ist eine nicht negative, ganze Zahl. Jede nicht negative, ganze Zahl ist eine ganze Zahl und jede ganze Zahl ist eine rationale Zahl.

  Die Zahl $3$ liegt in $\mathbb{N} \subset \mathbb{N}_0 \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ und damit in mehr Zahlenbereichen als beispielsweise die Zahl $-3$, die nur in $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ liegt.

  Lösung

  Für die Sortierung der Zahlenwerte aufsteigend nach der Anzahl an Zahlenbereichen, in denen sie vorkommen, kannst du dir zuerst einmal klar machen, wie die Reihenfolge der Zahlenbereiche ist.

  $\mathbb{N} \subset \mathbb{N}_0 \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

  Wenn du die irrationalen Zahlen außen vor lässt, so folgen auf den größten Zahlenbereich (die reellen Zahlen) die rationalen Zahlen. Eine Teilmenge der rationalen Zahlen sind die ganzen Zahlen. Wiederum eine Teilmenge hiervon sind die nichtnegativen ganzen Zahlen. Diese enthalten wiederum die natürlichen Zahlen.

  Die Zahl $2$ ist daher zum Beispiel eine natürliche, nicht negative ganze, ganze, rationale und reelle Zahl. Sie ist also in fünf Zahlenbereichen enthalten.

  $2 \in \mathbb{N} \subset \mathbb{N}_0 \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

  Die Zahl $7,6$ ist allerdings nur eine rationale und eine reelle Zahl und damit nur in zwei Zahlenbereichen enthalten.

  $6,7 \in \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

  Erste Zahlenreihe

  Die Zahl $\frac{1}{5}$ ist eine rationale Zahl, da es sich um einen Bruch handelt. Damit ist sie in zwei Zahlenbereichen enthalten.
  Die Zahl $-4$ ist eine ganze Zahl, da es sich um die Gegenzahl zu einer natürlichen Zahl handelt. Daher ist sie in drei Zahlenbereichen enthalten.
  Wie oben beschrieben, ist die $2$ in fünf Zahlenbereichen enthalten.
  Daher ist die Reihenfolge $\frac{1}{5}, -4,2$.

  Zweite Zahlenreihe

  Die Zahl $7,6$ ist eine rationale Zahl, da es sich um eine abbrechende Dezimalzahl handelt. Damit ist sie in zwei Zahlenbereichen enthalten.
  Die Zahl $0$ ist eine nicht negative ganze Zahl. Daher ist sie in vier Zahlenbereichen enthalten.
  Bei der Zahl $100$ handelt es ich um eine natürliche Zahl. Daher ist sie in fünf Zahlenbereichen enthalten.
  Daher ist die Reihenfolge $7,6$ gefolgt von $0$ und $100$.

  Dritte Zahlenreihe

  Die Zahl $-1$ ist eine ganze Zahl, da es sich um die Gegenzahl zur natürlichen Zahl $1$ handelt. Damit ist sie in drei Zahlenbereichen enthalten.
  Die Zahl $0$ ist eine nichtnegative ganze Zahl. Daher ist sie in vier Zahlenbereichen enthalten.
  Bei der Zahl $1$ handelt es ich um eine natürliche Zahl. Daher ist sie in fünf Zahlenbereichen enthalten.
  Daher ist die Reihenfolge $-1,0,1$.