Reelle Zahlen
Reelle Zahlen bestehen aus rationalen und irrationalen Zahlen. Natürliche Zahlen sind zählbare Zahlen, ganze Zahlen beinhalten ihre Gegenzahlen. Rationale Zahlen sind Brüche, irrationalen Zahlen können nicht als Bruch dargestellt werden. Erfahre mehr über reellen Zahlen und wie die alle rationalen und irrationalen Zahlen umfassen.
- Was sind reelle Zahlen?
- Zahlenmenge reelle Zahlen – irrationale Zahlen und rationale Zahlen
- Reelle Zahlen – Beispiele
- Beweis – Wurzel ist irrational
- Reelle Zahlen auf der Zahlengeraden
- Reelle Zahlen – Zeichen und Teilmengen
- Mit reellen Zahlen rechnen
- Ausblick – das lernst du nach Reelle Zahlen
- Reelle Zahlen – Zusammenfassung
- Häufig gestellte Fragen zum Thema Reelle Zahlen

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Grundlagen zum Thema Reelle Zahlen
Was sind reelle Zahlen?
Die Menge der reellen Zahlen besteht aus den rationalen und den irrationalen Zahlen.
Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen, mit denen wir zählen, wie z. B. , oder . Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit dem Symbol bezeichnet. Fügen wir noch die Gegenzahlen der natürlichen Zahlen hinzu, also z. B. oder , erhalten wir die Menge der ganzen Zahlen. Diese Menge bezeichnen wir mit dem Symbol . Bei einem Haus zählen wir z. B. die Stockwerke vom Erdgeschoss nach oben mit den positiven Zahlen, die Kellergeschosse nach unten mit den negativen Zahlen. Alle Zahlen, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lassen, heißen rationale Zahlen. Die Menge der rationalen Zahlen wird mit dem Symbol bezeichnet. Rationale Zahlen können wir z. B. als Kommazahlen an einer Waage ablesen. Jede Kommazahl mit endlich vielen Nachkommastellen können wir als Bruch darstellen, ebenso jede Kommazahl mit Periode. Zahlen, die wir nicht als Bruch schreiben können, heißen irrationale Zahlen. Wir bezeichnen die Menge der irrationalen Zahlen mit dem Symbol . Fügen wir zur Menge der rationalen Zahlen die Menge der irrationalen hinzu, erhalten wir die Menge der reellen Zahlen. Diese Menge wird mit dem Symbol bezeichnet.
Zahlenmenge reelle Zahlen – irrationale Zahlen und rationale Zahlen
In der Mathematik betrachten wir verschiedene Zahlenbereiche. Die Menge der reellen Zahlen teilt sich auf in die Menge der rationalen Zahlen und die Menge der irrationalen Zahlen. Jede natürliche oder ganze Zahl ist zugleich eine rationale Zahl, denn wir können sie als Bruch schreiben: ist dasselbe wie und ist dasselbe wie . Daher sind die Mengen und Teilmengen der Menge . Des Weiteren gehören endliche Dezimalbrüche sowie periodische Dezimalbrüche zur Menge der rationalen Zahlen. So ist z. B.:
und
Die Menge der irrationalen Zahlen besteht aus allen reellen Zahlen, die wir nicht als Bruch schreiben können. Dazu gehören zum Beispiel:
- die Kreiszahl : Sie kann zum Beispiel mit dem Näherungsverfahren nach Archimedes auf viele Stellen hinter dem Komma berechnet werden. Mittlerweile ist bereits auf mehr als 1 Billionen Stellen hinter dem Komma berechnet:
- Wurzeln aus natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind: Diese Zahlen haben unendlich viele Nachkommastellen und sind nicht periodisch. Zum Beispiel sind , , , irrational sowie:
Schlaue Idee
Sollten Wurzeln von natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, auftauchen, macht es in den meisten Fällen Sinn, die Wurzel an sich stehen zu lassen oder mit dieser weiterzurechnen. Die Dezimalzahl mit unendlich vielen Nachkommastellen bringt einen oft nicht weiter. Mit der Wurzel einer Zahl kann man beispielsweise die Wurzelgesetze anwenden oder die Zahl wieder quadrieren.
- Die eulersche Zahl ist eine irrationale Zahl:
Die Menge der reellen Zahlen kann auch als die Vereinigung der rationalen und der irrationalen Zahlen geschrieben werden:
Was ist der Unterschied zwischen reellen und rationalen Zahlen?
Die Menge der reellen Zahlen umfasst die Menge der rationalen Zahlen und geht über diese hinaus. Das bedeutet, jede rationale Zahl ist auch gleichzeitig eine reelle Zahl, aber nicht jede reelle Zahl ist eine rationale Zahl. Reelle Zahlen, wie z. B. oder , können nicht als Bruch geschrieben werden und sind daher irrational.
Was gehört nicht zu reellen Zahlen?
Die komplexen Zahlen gehören nicht zur Menge der reellen Zahlen. Die Menge der komplexen Zahlen schließt die Menge der reellen Zahlen ein und enthält außerdem die imaginäre Einheit . Dadurch lassen sich negative Zahlen unter der Wurzel schreiben.
Zusatz:
Eine Erweiterung der reellen Zahlen ist die Menge der komplexen Zahlen . Der Bereich enthält die reellen Zahlen und einen imaginären Teil. Für den imaginären Teil definieren wir die sogenannte imaginäre Einheit durch:
Die Lösung dieser Gleichung ist nur möglich, wenn auch negative Zahlen unter der Wurzel zugelassen werden.
Eine komplexe Zahl wird folgendermaßen geschrieben:
,
wobei reelle Zahlen sind und die imaginäre Einheit ist.
Fehleralarm
Im Bereich der komplexen Zahlen ist es mit der imaginären Einheit möglich, die Wurzel aus zu ziehen. Das gilt aber ausdrücklich nicht für die reellen Zahlen . Achte bei deinen Rechenaufgaben in der Schule darauf, dass du die Wurzel aus nicht ziehen darfst, wenn du dich in dem Zahlenbereich der reellen Zahlen bewegst!
Reelle Zahlen – Beispiele
Zu den reellen Zahlen gehören die natürlichen Zahlen
,
die ganzen Zahlen
,
die rationalen Zahlen
und die irrationalen Zahlen .
Jede rationale Zahl ist auch eine reelle Zahl, aber nicht jede reelle Zahl ist eine rationale Zahl. Die reelle Zahl z. B. ist keine rationale Zahl. Denn hat unendlich viele Nachkommastellen und ist nicht periodisch. Auch die eulersche Zahl ist eine irrationale reelle Zahl.
Zahlenmenge | Beispiele |
---|---|
Beweis – Wurzel ist irrational
Der Beweis der Irrationalität von kann durch einen Widerspruch geführt werden. Dabei werden die bereits bekannten Zahlensysteme benutzt. Wir nehmen an, dass eine rationale Zahl ist. Was würde dies bedeuten?
Da positiv ist, gilt und . Sicherlich sind nicht sowohl als auch gerade Zahlen.
Warum? Wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner gerade Zahlen sind, können wir so lange durch kürzen, bis entweder der Zähler oder der Nenner oder beide ungerade sind.
Sei nun der Zähler gerade und der Nenner ungerade, dann gilt
- und
- ,
wobei sowohl als auch natürliche Zahlen sind. Jetzt lässt sich wie folgt schreiben:
Nun können wir beide Seiten der Gleichung quadrieren und erhalten:
Dabei haben wir die erste binomische Formel verwendet. Nun multiplizieren wir auf beiden Seiten mit und dividieren dann durch :
Betrachten wir die linke und die rechte Seite:
- ist als Summe zweier gerader Zahlen und eine ungerade Zahl.
- ist wegen des Faktors eine gerade Zahl.
Das bedeutet, dass es eine Zahl geben muss, die sowohl ungerade als auch gerade ist. Dies ist ein Widerspruch. Damit können wir folgern, dass die Annahme, sei rational, nicht richtig sein kann.
ist somit nicht rational.
Übrigens: Dieser Beweis läuft vollkommen analog, wenn der Zähler ungerade ist und der Nenner gerade oder beide ungerade sind.
Reelle Zahlen auf der Zahlengeraden
Jede reelle Zahl hat eine eindeutig bestimmte Stelle auf der Zahlengeraden. Eine irrationale reelle Zahl hat aber unendlich viele Nachkommastellen und ist nicht periodisch. Daher ist es nicht einfach, ihre Stelle auf der Zahlengeraden genau zu bestimmen. Wir können diese aber mit einer Intervallschachtelung annähern:
Da gilt, erkennen wir an der Zahl vor dem Komma, dass zwischen den natürlichen Zahlen und liegt. Die erste Ziffer nach dem Komma zeigt an, dass zwischen den rationalen Dezimalbrüchen und liegt. Betrachten wir auch die zweite Stelle nach dem Komma, erkennen wir genauer, dass zwischen und liegt usw.
Wusstest du schon?
Die irrationale Zahl taucht häufiger im Alltag als du denkst! Bei einem Quadrat der Seitenlänge haben die beiden Diagonalen des Quadrats die Länge von Metern. Das kannst du mit dem Satz des Pythagoras nachrechnen.
Reelle Zahlen – Zeichen und Teilmengen
Das Zeichen für die reellen Zahlen ist . Manchmal möchten wir aber nur einen Teil der reellen Zahlen betrachten, zum Beispiel nur die positiven oder nur die negativen. Diese schreiben wir dann mit einem kleinen Zusatzzeichen. Hier sind die Teilmengen von :
Teilmenge | Zeichen | Definition |
---|---|---|
positive reelle Zahlen | ||
negative reelle Zahlen | ||
positive reelle Zahlen inklusive Null | ||
negative reelle Zahlen inklusive Null | ||
reelle Zahlen ohne Null |
Mit reellen Zahlen rechnen
Da manche reellen Zahlen unendlich viele Nachkommastellen haben, verwenden wir zum Rechnen meistens gerundete Werte. Um darzustellen, dass nicht dasselbe ist wie der gerundete Wert , schreiben wir .
In der folgenden Tabelle sind die Zahlbereiche übersichtlich zusammengefasst. Du siehst für jeden der Zahlbereiche die Beschreibung, das zugehörige mathematische Symbol des Zahlenbereichs und ein Beispiel:
Name des Zahlenbereichs | Beschreibung | Mathematisches Symbol | Beispiel |
---|---|---|---|
natürliche Zahlen | Zählzahlen | ||
ganze Zahlen | positive und negative Zahlen | ||
rationale Zahlen | endliche oder periodische Dezimalbrüche | oder | |
irrationale Zahlen | unendliche, nicht periodische Dezimalbrüche | oder | |
reelle Zahlen | alle Zahlbereiche zusammen | alle vorherigen |
Was berechnet man mit reellen Zahlen?
Mit reellen Zahlen können wir mit allen Grundrechenarten rechnen, so wie wir es von natürlichen oder ganzen Zahlen gewohnt sind. So können wir mit reellen Zahlen Additionen, Subtraktionen, Divisionen und Multiplikationen durchführen. Dabei müssen wir auf die folgenden Rechengesetze achten:
-
Kommutativgesetz:
und
Beispiele:
und -
Assoziativgesetz:
und
Beispiele:
und
-
Distributivgesetz:
Beispiel:
Außerdem können wir Zahlen potenzieren, die Wurzel ziehen oder Logarithmen bilden:
-
Potenzieren: Eine Zahl wird so oft wie der Wert der Hochzahl mit sich selbst multipliziert. Das bedeutet, für eine Zahl und eine Hochzahl gilt:
Beispiel: -
Wurzel ziehen: Wenn eine Zahl das Quadrat einer Zahl ist, also , wird Quadratwurzel genannt und man schreibt: .
Beispiel: -
Logarithmisieren: Wenn der Wert des Logarithmus einer Zahl mit Basis ist, also , bedeutet das, dass die Zahl mit potenziert werden muss, um zu erhalten, also: .
Beispiel:
Ausblick – das lernst du nach Reelle Zahlen
Falls du bereit für eine Herausforderung bist und dich weiter mit Zahlenmengen beschäftigen möchtest, dann versuche dich an Komplexe Zahlen. Ansonsten könnten Folgen und ihre Grenzwerte hilfreich sein, um dein Verständnis für reelle Zahlen zu erweitern.
Reelle Zahlen – Zusammenfassung
- Die Menge der reellen Zahlen wird mit dem Zeichen geschrieben.
- Sie enthält die natürlichen Zahlen , die ganzen Zahlen , die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen .
- Eine Zahl ist irrational, wenn sie nicht als Bruch oder endliche Dezimalzahl dargestellt werden kann. So sind zum Beispiel , oder irrational.
- Es können Teilmengen von reellen Zahlen betrachtet werden, zum Beispiel nur die positiven reellen Zahlen oder die reellen Zahlen ohne die Null.
- Um mit reellen Zahlen zu rechnen, müssen die Zahlen meist gerundet werden, da sie unendlich viele Nachkommastellen besitzen.
- Mit reellen Zahlen können alle vier Grundrechenarten unter Einhaltung der Rechengesetze (Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz) durchgeführt werden.
- Reelle Zahlen können potenziert, radiziert (Wurzel ziehen) und logarithmisiert werden.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Reelle Zahlen
Transkript Reelle Zahlen
Was sind reelle Zahlen überhaupt? Du kennst bestimmt schon die natürlichen Zahlen, die sogenannten "Zählzahlen", wie zum Beispiel die 6, 40 oder auch 110. Du kannst Zahlen wie diese an einem Rechenschieber, auch Abakus genannt, abzählen. Fügen wir zu den natürlichen Zahlen noch die negativen ganzen Zahlen hinzu, so erhalten wir die Menge der ganzen Zahlen. Stell dir einmal ein Haus mit mehreren Stockwerken vor. Es gibt Stockwerke im Keller, diese repräsentieren die negativen Zahlen. Das Haus hat aber auch Stockwerke, die über dem Keller liegen. Diese sollen die positiven Zahlen darstellen. Nehmen wir dazu dann noch alle negativen und positiven Zahlen, die man als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben kann, so erhalten wir die Menge der rationalen Zahlen. Wiegst du auf einer Waage etwas ab, so wird dir meist eine Kommazahl angezeigt. Diese Kommazahl kannst du auch als Bruch darstellen. Aber es gibt auch Zahlen, die du nicht als Bruch schreiben kannst. Diese nennt man dann irrationale Zahlen. Fügt man diese noch hinzu, so erhält man die Menge der reellen Zahlen. Sie wird mit diesem R gekennzeichnet. Du hast doch sicher schon einmal etwas von der Zahl Pi gehört, oder? Pi hat unendlich viele Nachkommastellen. Du kannst sie also nie ganz aufschreiben. Ein Computer könnte dir ganz viele Nachkommastellen anzeigen. Die Menge der reellen Zahlen besteht aus den RATIONALEN Zahlen und den IRRATIONALEN Zahlen. Aber was für Zahlen sind das denn jetzt alles? Die natürlichen und ganzen Zahlen sind Teil der Menge der reellen Zahlen, da man sie als Bruch schreiben kann. Sie sind also rational und gehören somit AUCH zu der Menge der reellen Zahlen. So kann man 5 als 5 Ganze schreiben und auch minus 4 als minus 4 Ganze schreiben. Auch endliche und periodische Dezimalbrüche können in einen Bruch umgewandelt werden. So sind minus 0,18 minus 18 Hundertstel. 0, periode 3 sind 1 Drittel. Dazu kommen dann noch die irrationalen Zahlen I, also die die man nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben kann. Wir haben soeben schon Pi als irrationale Zahl kennengelernt. Auch Wurzel 2 ist eine irrationale Zahl. Du kannst sie nicht als Bruch aus 2 ganzen Zahlen darstellen und sie hat unendlich viele Nachkommastellen. Auch viele andere Wurzeln sind irrational. Kann man die irrationalen Zahlen, wie zum Beispiel Wurzel 2, auch auf einer Zahlengerade eintragen, so wie bei den rationalen Zahlen? Da sie unendlich viele Nachkommastellen haben, geht dies nicht so einfach. Du kannst aber eine Intervallschachtelung durchführen und so abschätzen, wo die Zahlen ungefähr liegen. Vor dem Komma steht eine 1, also liegt Wurzel 2 im Intervall zwischen 1 und 2. Du kannst dies immer genauer machen. Die erste Stelle nach dem Komma ist eine 4, also liegt Wurzel 2 im Intervall von 1,4 und 1,5. So kannst du die Intervallschachtelung immer weiterführen. Aber wie kann man denn mit reellen Zahlen rechnen, wenn sie unendlich lang sind? Möchtest du mit einem Zwischenergebnis weiterrechnen, verwendest du meistens gerundete Werte. Fassen wir das noch einmal zusammen. Die Menge der reellen Zahlen besteht aus den RATIONALEN Zahlen und den IRRATIONALEN Zahlen. Dies enthält auch die Natürlichen und die ganzen Zahlen, denn jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. Jede ganze Zahl ist eine rationale Zahl und jede rationale Zahl ist auch eine reelle Zahl. Gibt es auch Zahlen, die nicht Teil dieser Menge sind? Damit beschäftigen wir uns in einem anderen Video.
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Als ich das Video zum ersten mal angekuckt habe habe ich es nicht verstanden aber beim zweiten mal habe ich es verstanden danke 😘❤❤❤❤❤❤💜💖
Noice!
Danke!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
In Minute 3:54 wird gesagt Intervall gehört das nicht in den Musik-Unterricht?
Und ich erst 6.