Reelle Zahlen – Vollständigkeit

In diesem Video geht es um die Vollständigkeit der reellen Zahlen. Was es heißt, dass die natürlichen Zahlen vollständig sind, kann man sich am besten geometrisch vorstellen. Da zeichnet man sich einen Zahlenstrahl. Man trägt eine 0 ein und eine 1, und wenn man diesen Einheitsschritt sozusagen hat, kann man sich auch alle anderen Schritte eintragen und dann sind die reellen Zahlen gewissermaßen alle Punkte, die man auf dieser Geraden findet. Als Beispiel habe ich hier mal die Zahlen -1,8 ,0,5 und π eingetragen. Wir können uns also vorstellen, dass wir ein unendlich langes Maßband haben, mit dem wir beliebig genaue Messungen machen können und da finden wir eben auch Punkte, die Zahlen respektieren, die nicht rational sind, wie zum Beispiel π. Und so gibt es überall auf der Zahlengerade Punkte, die nicht zu den rationalen Zahlen gehören. Und so in etwa kann man sich geometrisch vorstellen, was es bedeutet, dass die reellen Zahlen vollständig sind, die Rationalen aber nicht. Es gibt natürlich auch noch eine ganz genaue Definition davon, was Vollständigkeit sein soll. Ich möchte das jetzt hier mal mit Hilfe von Folgen andeuten, was das heißt. Und zwar nehmen wir da diese Folge: a1=2/1, a2=2/1×2/3, a3=2/1×2/3×4/3, bei a4 kommt noch der Faktor 4/5 hinzu, bei a5 der Faktor 6/5 und so weiter. Ich denke ihr seht, wie das gemeint ist und wie Folge weitergeht. Jedenfalls ist jedes Folgeglied eine rationale Zahl, denn ich kann ja alles als Bruch schreiben, aber der Grenzwert dieser Folge, das hat ein Herr Wallace rausgefunden, ist π/2 und das ist ja keine rationale Zahl. Wir haben also eine Folge von rationalen Zahlen, deren Grenzwert nicht rational ist und deswegen sind die rationalen Zahlen nicht vollständig. So was darf bei Vollständigkeit nicht passieren. Und bei reellen Zahlen ist es eben so, dass der Grenzwert einer reellen Folge deren Folgeglieder sich im Unendlichen immer weiter annähern, wirklich auch wieder eine reelle Zahl ist und das ist halt die Vollständigkeit. Gut und für die, die es ganz genau wissen wollen, möchte ich noch das Vollständigkeitsaxiom zitieren, das besagt: Jede nach oben beschränkte, nicht-leere Teilmenge Ac|R hat ein Supremum, also eine kleinste obere Schranke, S in |R. Entscheidend ist dabei, dass das Supremum in |R ist, denn das gilt für Q zum Beispiel nicht. Denn nehmen wir mal die Menge M aller rationalen Zahlen, deren Quadrat echt kleiner, als 2 ist. Dann ist das eine Teilmenge der rationalen Zahlen, aber das Supremum dieser Menge ist \sqrt(2) und das ist keine rationale Zahl. Ich denke, daran kann man gut sehen, was Vollständigkeit bedeutet. Ok und damit ist das Video auch schon vollständig.