Zahlen auf dem Zahlenstrahl

Zahlen auf dem Zahlenstrahl Übung

• Beschreibe die Zahlen auf dem Zahlenstrahl.

  Tipps

  Der Zahlenstrahl beginnt links und zeigt nach rechts.

  Der Abstand einer Zahl zur $0$ wird nach rechts immer größer.

  Das Vergleichszeichen ist wie der Schnabel eines hungrigen Kükens zum größeren Happen hin geöffnet.

  Lösung

  Der Zahlenstrahl dient zur Veranschaulichung der natürlichen Zahlen. Diese sind auf dem Zahlenstrahl der Größe nach angeordnet. Der Zahlenstrahl beginnt links mit der $0$. Die Zahlen werden nach rechts immer größer. Du kannst dann jede natürliche Zahl auf dem Zahlenstrahl eintragen.

  Um zu einer vorgegebenen Zahl die passende Stelle auf dem Zahlenstrahl zu finden, kannst Du Dich z.B. an den Zehnern orientieren: Die Zahl $49$ besteht aus vier Zehnern und neun Einern. Du trägst sie auf dem Zahlenstrahl ab, indem Du von der $40$ noch $9$ Einerschritte nach rechts gehst. Du kannst aber auch von der Zahl $50$ aus einen Einerschritt nach links gehen, um zur $49$ zu gelangen.

  Die Zahl $13$ ist kleiner als die Zahl $49$, deswegen steht sie auf dem Zahlenstrahl weiter links. In Zeichen schreibt man:

  $13 < 49$.

  Um von der $13$ zur $49$ zu gelangen, musst Du auf dem Zahlenstrahl $36$ Einerschritte nach rechts gehen, denn $49$ ist um $36$ größer als $13$.

• Ergänze die Sätze über natürliche Zahlen auf dem Zahlenstrahl.

  Tipps

  Auf dem Zahlenstrahl werden die Zahlen nach rechts immer größer.

  Jede Zahl auf dem Zahlenstrahl (außer $0$) hat einen linken und einen rechten Nachbarn. Überlege, welcher Nachbar der kleinere ist.

  $10$ steht auf dem Zahlenstrahl weiter links als $100$.

  Lösung

  Die korrekten Sätze lauten:

  • „Jede natürliche Zahl steht auf dem Zahlenstrahl ... an genau einer Stelle.“ Keine natürliche Zahl fehlt auf dem Zahlenstrahl und keine kommt zweimal vor.

  • „Die Zahl $13$ steht auf dem Zahlenstrahl ... weiter links als die Zahl $49$.“ Je weiter links eine Zahl steht, desto kleiner ist sie: $13$ ist kleiner als $49$.

  • „In $36$ Schritten nach rechts auf dem Zahlenstrahl ... gelangst Du von $13$ zu $49$.“ Jeder Schritt auf dem Zahlenstrahl nach rechts entspricht dem Weiterzählen um $+1$. Wenn Du zu $13$ noch $36$ dazu zählst, kommst Du zu $49$.

  • „Links neben der Zahl $50$ ... steht die Zahl $49$.“ Der linke Nachbar einer natürlichen Zahl ist die nächstkleinere natürliche Zahl. Du findest die Zahl, indem Du $-1$ rechnest.

  • „Die Zahl $80$ steht auf dem Zahlenstrahl ... weiter rechts als die Zahl $49$.“ Die Zahl $80$ ist größer als die Zahl $49$. Daher steht sie auf dem Zahlenstrahl weiter rechts.

• Vergleiche die natürlichen Zahlen.

  Tipps

  Das Vergleichszeichen ist immer zur größeren Zahl hin geöffnet.

  $32$ ist größer als $21$, denn auf dem Zahlenstrahl steht $21$ weiter links als $32$.

  Du kannst $21 < 32$ oder auch $32 > 21$ schreiben.

  Lösung

  Das Vergleichszeichen zeigt an, welche von zwei natürlichen Zahlen die größere ist. Es ist wie der Schnabel eines hungrigen Vogelkükens immer zur größeren Zahl hin geöffnet. Die Größe einer natürlichen Zahl entspricht ihrem Abstand von $0$ auf dem Zahlenstrahl. Je weiter rechts eine Zahl steht, desto größer ist ihr Abstand zu $0$ (denn die steht ganz links) und desto größer ist die Zahl. Von zwei verschiedenen natürlichen Zahlen ist immer eine größer als die andere. Sie steht auf dem Zahlenstrahl weiter rechts. Mit diesen Überlegungen und einem Zahlenstrahl als Orientierungshilfe findest Du heraus:

  Folgende Ungleichungen sind richtig:

  • $415 > 389$. Die $415$ steht auf dem Zahlenstrahl rechts von $400$, die $389$ dagegen links von $400$.

  • $18 < 81$. Die Zahl $18$ steht viel weiter links als die Zahl $81$.

  • $313 > 131$. Die Zahl $131$ steht links von $200$, die Zahl $313$ steht rechts von $300$, daher ist $131$ kleiner als $313$.

  • $89 < 415$. Hier kannst Du schon an der Anzahl der Stellen erkennen, dass $89$ kleiner ist als $415$. Je mehr Stellen eine Zahl hat, desto weiter rechts steht sie auf dem Zahlenstrahl.

  Folgende Ungleichungen sind falsch:

  • $87 < 79$. Die Zahl $79$ steht links von $80$, die Zahl $87$ dagegen rechts von $80$. Daher $79$ links von $87$, ist also kleiner.

  • $113 > 131$. Die Zahl $113$ steht links von $120$, die Zahl $131$ aber rechts von $120$. Daher ist $113$ kleiner als $131$.

• Charakterisiere die Lage der Zahlen auf dem Zahlenstrahl.

  Tipps

  Von links nach rechts werden die Zahlen auf dem Zahlenstrahl größer.

  Der linke Nachbar einer natürlichen Zahl ist die nächstkleinere natürliche Zahl. Überlege, ob eine solche Zahl immer existiert.

  Lösung

  Auf dem Zahlenstrahl hat jede Zahl einen rechten Nachbarn, nämlich die nächstgrößere natürliche Zahl. Du findest sie, indem Du $+1$ rechnest. Da der Zahlenstrahl bei $0$ beginnt, gibt es aber genau eine natürliche Zahl, die keinen linken Nachbarn hat, nämlich $0$. Dies ist die kleinste natürliche Zahl. Eine größte natürliche Zahl gibt es nicht, denn zu jeder gegebenen natürlichen Zahl findest Du die nächstgrößere, indem Du $+1$ rechnest. Da der Zahlenstrahl nach links endet, nach rechts aber nicht, findest Du zu jeder Stelle auf dem Zahlenstrahl nur endlich viele kleinere, aber unendlich viele größere Zahlen. Damit erhältst Du folgende Sätze:

  • Genau eine Zahl auf dem Zahlenstrahl ... hat keinen linken Nachbarn.

  • Der rechte Nachbar einer Zahl ... ist größer als die Zahl selbst.

  • Die Anzahl der Stellen einer Zahl auf dem Zahlenstrahl ... nimmt nach rechts zu.

  • Die größte natürliche Zahl ... existiert nicht.

  • Jede natürliche Zahl ... hat unendlich viele größere, aber nur endlich viele kleinere natürliche Zahlen.

• Beschrifte den Zahlenstrahl.

  Tipps

  Überlege, wie viele Schritte es von $13$ bis $49$ sind.

  Die $13$ steht auf dem Zahlenstrahl zwischen der $10$ und der $20$.

  Teile den Weg auf dem Zahlenstrahl von der $13$ zur $49$ in Zehner- und Einerschritte auf und trage die passende Anzahl an Zehnern und Einern über dem Zahlenstrahl ab.

  Lösung

  Auf dem Zahlenstrahl sind die Zahlen der Größe nach angeordnet. Der Zahlenstrahl beginnt ganz links mit der $0$. Jedem Schritt nach rechts entspricht das Weiterzählen um $+1$. Du kannst die Zahlen $13$ und $49$ auf dem Zahlenstrahl positionieren: Die $13$ steht zwischen der $10$ und der $20$, aber nicht genau in der Mitte, sondern drei Schritte rechts von $10$ oder $7$ Schritte links von $20$.

  Den Weg von $13$ zu $49$ kannst Du in Zehner- und Einerschritte unterteilen. Es sind dann drei Zehnerschritte und sechs Einerschritte. $49$ ist also um $36$ größer als $13$, denn Du brauchst $36$ Schritte von der $13$ bis zur $49$.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Zeichne für jede Situation einen (oder mehrere) Zahlenstrahl(en) und prüfe die Beschreibungen daran.

  Lösung

  Folgende Beschreibungen sind richtig:

  • Maries Zuordnung: Legst Du zwei Zahlenstrahlen nebeneinander und markierst den oberen in Zweierschritten, den unteren in Dreierschritten, so kannst Du jeder Zahl der $2$er-Reihe eindeutig eine Zahl der $3$er-Reihe zuordnen und umgekehrt. Der $10 =5 \cdot 2$ entspricht die $15=5 \cdot 3$, der $12 =6 \cdot 2$ entspricht die $18=6 \cdot 3$ usw.

  • Claras Trick: Legst Du zwei Zahlenstrahlen in umgekehrter Orientierung aneinander, so erhältst Du die Zahlengerade. Darauf kannst Du die ganzen Zahlen der Größe nach anordnen. Die $0$ ist die Schnittstelle der beiden Strahlen. Von dort nach rechts verlaufen die positiven ganzen Zahlen. Sie entsprechen den natürlichen Zahlen. Nach links verlaufen die negativen ganzen Zahlen.

  Folgende Beschreibungen sind falsch:

  • Dr. Evils Zeitmaschine: Stehen auf der Skala nur natürliche Zahlen zur Verfügung, so kann Dr. Evil aus dem Jahr $2020$ höchstens um $2020$ Jahre in die Vergangenheit reisen, also bis in das Jahr $0$. Um weiter in die Vergangenheit reisen zu können, müsste er die Skala der Zeitmaschine auf die Zahlengerade der ganzen Zahlen erweitern.

  • Max’ Vermutung: Es gibt genau $10$ einstellige Zahlen, nämlich die Zahlen von $0$ bis $9$. Die Anzahl der Stellen erhöht sich also nach $10$ Schritten bereits um $1$. Es gibt aber $90$ zweistellige Zahlen, nämlich die Zahlen von $10$ bis $99$. Die Erhöhung der Stellenzahl von $2$ auf $3$ Stellen geschieht also diesmal erst nach $90$ Schritten auf dem Zahlenstrahl. Für die nächste Erhöhung von $3$ auf $4$ Stellen musst Du sogar $900$ Schritte auf dem Zahlenstrahl weiter gehen, von $100$ bis $1000$. Die Stellenzahl wächst also nicht gleichmäßig, sondern immer langsamer, je größer die Zahlen werden.