Natürliche Zahlen vergleichen

Natürliche Zahlen vergleichen Übung

• Beschreibe, wie du natürliche Zahlen vergleichst.

  Tipps

  Auf dem Zahlenstrahl sind die Zahlen nach der Größe angeordnet.

  Von der größeren Zahl kannst du die kleinere Zahl subtrahieren.

  Die offene Seite des Vergleichszeichens $<$ zeigt zur größeren Zahl.

  Lösung

  Es gibt mindestens vier Möglichkeiten, um herauszufinden, welche Zahl die größere ist.

  Zählen

  Du kannst die Elemente einer Menge zählen. Die Menge mit weniger Elementen ergibt die kleinere Anzahl. $9$ Elemente sind weniger als $12$ Elemente. Du kannst also schreiben:

  $9 < 12$

  Rechnen

  Du kannst die Zahlen auch voneinander abziehen. Sind die beiden Zahlen verschieden, so erhältst du nur bei einer der beiden möglichen Rechnungen ein sinnvolles Ergebnis. $12-9 = 3$ ist eine korrekte Rechnung, die Zahl $12$ ist daher größer als die Zahl $9$. In Zeichen:

  $12 > 9$.

  Die Aufgabe $9 - 12$ hat aber kein sinnvolles Ergebnis, denn die Zahl $9$ ist zu klein, um die Zahl $12$ davon abzuziehen. $9$ ist nämlich kleiner als $12$. In Zeichen:

  $9 < 12$.

  Ablesen

  Auf dem Zahlenstrahl kannst du die Zahlen ablesen. Dort erkennst du auch, welche Zahl die größere ist, denn die Zahlen sind auf dem Zahlenstrahl nach der Größe sortiert. Der Zahlenstrahl beginnt mit $0$ oder $1$, jeder Schritt nach rechts zählt um $1$ weiter. Die Zahlen werden daher nach rechts immer größer. Die Zahl $9$ steht weiter links als die Zahl $12$, daher ist:

  $9 < 12$

  Stellen vergleichen:

  Haben die beiden Zahlen verschieden viele Stellen, so ist die Zahl mit mehr Stellen die größere. Die Zahl $12$ hat zwei Sellen und damit mehr Stellen als die Zahl $9$. Es ist also:

  $12 > 9$

• Gib die Regeln zum Vergleich natürlicher Zahlen an.

  Tipps

  Wenn die Subtraktion zweier natürlicher Zahlen kein sinnvolles Ergebnis liefert, ist die abgezogene Zahl größer als die andere.

  Eine Zahl mit mehr Stellen ist größer als eine Zahl mit weniger Stellen.

  Die Spitze des Vergleichszeichens zeigt zur kleineren Zahl.

  Lösung

  Richtig sind diese Aussagen:

  • „Weil Du $167-42$ ausrechnen kannst, ist $167 > 42$.“

  • „Für die Aufgabe $20-42$ findest Du kein sinnvolles Ergebnis, daher ist $20 < 42$.“ Die Zahl $20$ ist zu klein, um $42$ davon abzuziehen, d.h. $20$ ist kleiner als $42$.

  • „Lucy-Fees $20$ Zähne liegen auf dem Zahlenstrahl weiter links als Jenny-Fees $42$ Zähne. Daher ist $42 > 20$.“ Je weiter rechts die Zahlen liegen, desto größer sind sie, denn der Zahlenstrahl entsteht durch das Weiterzählen um $1$ nach rechts.

  • „Die Zahl $167$ der Zähne von Fee-Lix hat mehr Stellen als die Zahl $20$ von Lucy-Fees Zähnen. Deshalb ist $20 < 167$.“ Natürliche Zahlen mit mehr Stellen sind stets größer als natürliche Zahlen mit weniger Stellen.

  Falsch sind diese Aussagen:

  • „Fee-Lix hat $167$ Zähne gesammelt und Jenny-Fee weniger, nämlich nur $42$. Daher ist $167 < 42$.“ Die kleine Seite des Vergleichszeichens zeigt zur kleineren Zahl, also zur Zahl $40$.

  • „Fee-Lix versucht, seine $167$ Zähne von Lucy-Fees $20$ Zähnen abzuziehen. Da er kein sinnvolles Ergebnis erhält, ist $167 < 20$.“ Die Zahl $20$ ist zu klein, um $167$ davon abzuziehen: $20$ ist kleiner als $167$, also $20 < 167$.

  • „Lucy-Fee vergleicht ihre $20$ Zähne mit den $42$ Zähnen von Jenny-Fee. Da Lucy-Fees Haufen viel kleiner ist, gilt $20 > 42$.“ Der kleinere Haufen gehört zur kleineren Zahl. Es ist also $20 < 42$.

• Entscheide, welche Vergleiche richtig sind.

  Tipps

  Eine Zahl mit weniger Stellen ist kleiner als eine Zahl mit mehr Stellen.

  Auf dem Zahlenstrahl stehen die kleineren Zahlen weiter links als die größeren Zahlen.

  $17$ ist kleiner als $38$, daher gilt die Ungeichung $17 < 38$.

  Lösung

  Die kleine Seite des Vergleichszeichens zeigt immer zur kleineren Zahl.

  Richtig sind diese Ungleichungen:

  • $67<76$, denn $67 - 76$ kannst du nicht rechnen.

  • $8765 < 10032$, denn die rechte Zahl hat mehr Stellen als die linke.

  • $41302 > 41032$, denn $41302 - 41032 = 270$ kannst du rechnen.

  • $5641 > 4561$, denn $4561 - 5641$ kannst du nicht ausrechnen.

  Falsch sind die folgenden Ungleichungen:

  • $176<167$, denn $167 - 176$ kannst du nicht rechnen.

  • $415 > 514$, richtig wäre $415 < 514$, denn $514 - 415 = 99$ kannst du ausrechnen.

  • $7631 < 6732$, denn $6732 - 7631$ kannst du nicht ausrechnen.

  • $78621 < 78619$, richtig wäre $78621 > 78619$, denn $78621 - 78619 = 2$ kannst du ausrechnen.

• Vergleiche die gegebenen natürlichen Zahlen.

  Tipps

  Auf dem Zahlenstrahl entspricht das Weiterzählen um $+1$ einem Schritt nach rechts.

  Je weniger Stellen eine Zahl hat, desto kleiner ist sie.

  Vergleiche die Stellen von links nach rechts, also z.B. Zehntausender, Tausender, Hunderter etc.

  Lösung

  Zunächt kannst du die kleinste und größte natürliche Zahl finden. $4$ ist einstellig und daher kleiner als alle anderen angegebenen Zahlen. $1031$ ist die größte dieser Zahlen, denn sie hat als einzige vier Stellen.

  Für die übrigen Zahlen kannst du zunächst die zweistelligen und die dreistelligen Zahlen zu Gruppen zusammenfassen. Die zweistelligen Zahlen sind kleiner als die dreistelligen. Innerhalb dieser beiden Gruppen findest du bspw. durch Subtraktion die Größenvergleiche.

  Insgesamt ergibt sich folgende Anordnung:

  $4$

  $23$

  $32$

  $67$

  $87$

  $176$

  $365$

  $761$

  $762$

  $1031$

• Bestimme die größere Zahl.

  Tipps

  Die Zahl $12$ ist zu groß, um sie von der Zahl $9$ abzuziehen, d.h. $12$ ist größer als $9$.

  Das Vergleichszeichen ist wie der Schnabel eines hungrigen Vogelkükens: Er ist immer zum größeren Bissen hin aufgesperrt.

  Auf dem Zahlenstrahl kannst du die natürlichen Zahlen eine nach der anderen ablesen. Beim Weiterzählen gehst du jeweils einen Schritt weiter nach rechts.

  Lösung

  Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um die drei Zahlen zu vergleichen.

  Zählen:

  Der Haufen von Fee-Lix ist größer, enthält also mehr Zähne, als der Haufen von Lucy-Fee. Daher ist:

  $20 < 167$

  Der Haufen von Jenny-Fee enthält mehr Zähne als der von Lucy-Fee, daher gilt hier:

  $42 > 20$

  Ablesen:

  Die Zahlen sind auf dem Zahlenstrahl nach der Größe sortiert, du kannst also ablesen, welche Zahl die größere ist. $20$ liegt weiter links als $42$, daher ist:

  $42 > 20$

  Die Zahl $167$ liegt weiter rechts als die Zahl $42$. Daher ist:

  $42 < 167$

  Rechnen:

  Die Zahl $167$ ist zu groß, um sie von $42$ abzuziehen. Deswegen gilt:

  $42 < 167$

  Aber du kannst von $42$ die Zahl $20$ abziehen. Daher ist:

  $42 > 20$

• Vergleiche die Zahlen.

  Tipps

  Wer jünger ist, muss nicht kleiner sein.

  $12 > 8$ und dieselbe Relation gilt auch für die Hälfte beider Zahlen: $6 > 4$.

  Lösung

  • Obwohl Sandro jünger ist als Sara, ist er bereits größer, denn $172 > 167$.

  • Sara hat kleinere Füße als Sandro. Für die Schuhgrößen gilt die Ungleichung $37 < 41$

  • Da Sara etwas kleiner als Sandro ist, kommt sie auf etwas mehr Schritte: $9842 < 10286$

  • Wenn Sara und Sandro jeweils noch $10~\text{cm}$ wachsen, dann bleibt Sandro trotzdem größer als Sara. Für ihre neuen Größen in $\text{cm}$ gilt dann: $177 < 182$

  • Wenn aber nur Sara um $15~\text{cm}$ wächst und Sandro nicht mehr wächst, dann gilt für ihre neuen Größen: $172 < 182$

  • Zählen Sara und Sandro auf ihrem Schulweg nur jeden zweiten Schritt, so kommen sie jeweils auf die Hälfte der Schritte. Immer noch zählt Sara mehr Schritte als Sandro. Für die neuen Schrittzahlen gilt die Ungleichung $5143 > 4921$