Wie löse ich Aufgaben mit dem Dreisatz?

Wie löse ich Aufgaben mit dem Dreisatz? Übung

• Gib an, wie man mit Dreisätzen rechnet.

  Tipps

  Im ersten Schritt wird eine Größe auf $1$ heruntergerechnet. Hierzu teilt man beide Größen durch dieselbe Zahl. Die Zahl, durch die man teilt, entspricht genau der Größe, die wir auf $1$ herunterrechnen wollen.

  Wüsstest du zum Beispiel, wie viel $30$ Partyhüte kosten, müsstest du die Gleichung durch $30$ teilen.

  Lösung

  So kannst du die Lückentexte vervollständigen:

  • Um die Kosten der Milch zu bestimmen, teilt er zunächst beide Seiten des Dreisatzes durch $3$. So erhält er:

  $1$ Flasche $\widehat{=}$ $1,2$ Taler

  Im ersten Schritt wird eine Größe auf $1$ heruntergerechnet. Dafür teilt man beide Größen durch dieselbe Zahl. Die Zahl, durch die man teilt, entspricht genau der Größe, die wir auf $1$ herunterrechnen wollen. Hier lautet diese $3$. Um auf $1$ herunterzurechnen, musst du also durch $3$ teilen. Die andere Größe teilst du durch denselben Wert.

  • Anschließend multipliziert er beide Seiten der Gleichung mit $30$. So erhält er:

  $30$ Flaschen $\widehat{=}$ $36$ Taler

  Um von $1$ auf $30$ hochzurechnen, musst du beide Seiten der Gleichung mit $30$ multiplizieren. So erhältst du das Ergebnis.

  • Hier teilt er zuerst beide Seiten der Gleichung durch $100$. So erhält er:

  $1$ Partyhut $\widehat{=}$ $0,205$ Taler

  Da hier die bekannte Größe einen Faktor von $100$ besitzt, müssen wir durch $100$ teilen.

  • Anschließend multipliziert er beide Seiten mit $40$. Dann ergibt sich:

  $40$ Partyhüte $\widehat{=}$ $8,2$ Taler

• Bestimme die Lösung mit einem Dreisatz.

  Tipps

  Erhöht sich die Anzahl der Teile, dann verringert sich die Länge jedes Teils um den gleichen Faktor. Eine solche Zuordnung heißt antiproportional.

  Lösung

  Erhöht sich die Anzahl der Teile, dann verringert sich die Länge jedes Teils um den gleichen Faktor. Eine solche Zuordnung heißt antiproportional. Auch hier kannst du einen Dreisatz nutzen, du musst jedoch umgekehrte Rechenoperationen anwenden. Das heißt, multiplizierst du eine Seite des Dreisatzes mit einer Zahl, musst du die andere Seite durch diese Zahl teilen.

  Hier teilen wir zunächst die linke Seite durch $4$, um auf $1$ herunterzurechnen. Gleichzeitig müssen wir die rechte Seite mit $4$ multiplizieren.

  Beim Hochrechnen multiplizieren wir die linke Seite mit $6$, während die rechte Seite durch $6$ geteilt wird.

• Ermittle die Lösungen mithilfe eines Dreisatzes.

  Tipps

  Um den Dreisatz aufzustellen, musst du dir überlegen, wie viel der einen Größe welcher Menge der anderen Größe entspricht.

  Hast du den Dreisatz aufgestellt, kannst du auf $1$ herunterrechnen.

  Lösung

  Du kannst die Lösungen mithilfe eines Dreisatzes bestimmen. Dazu stellst du zunächst den Dreisatz auf. Für den ersten Dreisatz erhalten wir:

  $3$ Kugelschreiber $\widehat{=}$ $3,6$ Taler

  Um auf $1$ herunterzurechnen, müssen wir beide Seiten durch $3$ teilen. So erhalten wir:

  $1$ Kugelschreiber $\widehat{=}$ $1,2$ Taler

  Um den Preis für $5$ Kugelschreiber zu ermitteln, müssen wir jetzt beide Seiten mit $5$ multiplizieren. Dann erhalten wir:

  $5$ Kugelschreiber $\widehat{=}$ $6$ Taler

  Stellen wir ähnliche Dreisätze für die anderen Aufgaben auf, dann erhalten wir:

  $4$ Bleistifte $\widehat{=}$ $12,4$ Taler

  $7$ Filzstifte $\widehat{=}$ $3,5$ Taler

  $3$ Füller $\widehat{=}$ $55,2$ Taler

• Erschließe die Lösungen mitmilfe eines Dreisatzes.

  Tipps

  Je mehr Menschen sich an der Arbeit beteiligen, desto weniger Zeit benötigen sie. Hier handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung.

  Betrachte folgenden Dreisatz:

  $3$ Menschen $\widehat{=}$ $5$ Stunden

  Möchten wir dies auf $1$ herunterrechnen, müssen wir die linke Seite durch $3$ teilen und die rechte Seite mit $3$ multiplizieren.

  Lösung

  Hier handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung: Je mehr Menschen sich an der Arbeit beteiligen, desto weniger Zeit benötigen sie. Also stellen wir folgenden Dreisatz auf:

  $2$ Menschen $\widehat{=}$ $6$ Stunden

  Möchten wir dies auf $1$ herunterrechnen, müssen wir die linke Seite durch $2$ teilen. Da es sich hier um eine antiproportionale Zuordnung handelt, multiplizieren wir die rechte Seite mit $2$:

  $1$ Mensch $\widehat{=}$ $12$ Stunden

  Jetzt können wir den Dreisatz auf die gesuchte Anzahl hochrechnen. Dazu multiplizieren wir die linke Seite mit der angegebenen Zahl an Menschen, während wir die rechte Seite durch diese Zahl teilen. So erhalten wir für $3$ Helfer:

  $3$ Menschen $\widehat{=}$ $4$ Stunden

  Und für $5$ Menschen:

  $5$ Menschen $\widehat{=}$ $2,4$ Stunden

  Bei dem anderen Dreisatz gehen wir genauso vor. Wir erhalten:

  $4$ Menschen $\widehat{=}$ $9$ Stunden

  Wir rechnen auf $1$ herunter:

  $1$ Mensch $\widehat{=}$ $36$ Stunden

  Und anschließend rechnen wir auf die gesuchte Anzahl hoch:

  $3$ Menschen $\widehat{=}$ $12$ Stunden

  $2$ Menschen $\widehat{=}$ $18$ Stunden

• Bestimme die korrekten Aussagen zum Rechnen mit Dreisätzen.

  Tipps

  Wird beim Rechnen eines Dreisatzes mit antiproportionalen Zuordnungen eine der Größen mit einer Zahl multipliziert, wird die andere Größe durch diese Zahl geteilt.

  Beim Rechnen mit Dreisätzen gehst du normalerweise so vor:

  Du rechnest eine Größe auf $1$ herunter (damit siehst du, wie viel der anderen Größe das entspricht), um anschließend auf die gesuchte Anzahl hochzurechnen.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  • Nur bei antiproportionalen Zuordnungen kannst du einen Dreisatz anwenden.
  • Egal, ob antiproportionale oder proportionale Zuordnung: Du teilst beim Herunterrechnen auf $1$ immer beide Größen durch dieselbe Zahl.

  Dreisätze kannst du bei Rechnungen mit antiproportionalen und proportionalen Zuordnungen verwenden. Allerdings musst du beachten, dass bei antiproportionalen Zuordnungen eine der Größen mit einer Zahl multipliziert und die andere Größe durch diese Zahl geteilt wird.

  Diese Aussagen sind richtig:

  • Wenn du eine Größe mit einem Faktor multiplizierst und sich eine andere Größe um den gleichen Faktor verändert, dann handelt es sich bei den beiden Größen um eine proportionale Zuordnung.
  • Aufgaben, bei denen es um proportionale Zuordnungen geht, kannst du mit einem Dreisatz lösen.
  • Beim Rechnen mit einem Dreisatz musst du zunächst „auf $1$ herunterrechnen“.

  Das ist das generelle Prinzip beim Rechnen mit Dreisätzen: Du rechnest eine Größe auf $1$ herunter (damit siehst du, wie viel der anderen Größe das entspricht), um anschließend auf die gesuchte Anzahl hochzurechnen.

• Ermittle, welche Dreisätze korrekt gelöst wurden.

  Tipps

  Beachte, ob es sich bei den Beispielen um eine proportionale, antiproportionale oder um keine der beiden Zuordnungen handelt.

  Lösung

  Die folgenden Aussagen sind falsch:

  • Ein Flugzeug braucht für die Strecke von New York nach Frankfurt circa $8$ Stunden. Dann brauchen zwei Flugzeuge für dieselbe Strecke $4$ Stunden.

  Hier handelt es sich weder um eine proportionale noch um eine antiproportionale Zuordnung. Die Flugdauer ist nicht davon abhängig, wie viele Flugzeuge auf einmal diese Strecke fliegen.

  • Carl und seine beiden Freunde möchten seine Wohnung putzen. Zu zweit benötigen sie dafür $9$ Stunden. Dann dauert das zu dritt $13,5$ Stunden.

  Hier handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung. Zu dritt brauchen sie für die Wohnung also $6$ Stunden.

  • Zwei Kugeln Eis kosten $2,50~\text{€}$. Dann kosten drei Kugeln $1,50~\text{€}$.

  Diese Zuordnung ist proportional. Also kosten drei Kugeln Eis $3,75~\text{€}$.

  Die folgenden Aussagen sind richtig:

  • Juli und ihre Freundin schmücken einen Weihnachtsbaum in $3$ Stunden. Hilft Julis Vater auch mit, dann brauchen sie nur $2$ Stunden.

  Hier handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung. Allein bräuchte Juli dafür $6$ Stunden und zu dritt dauert es $2$ Stunden.

  • Drei Köpfe Blumenkohl kosten $4,50~\text{€}$. Dann kosten fünf Köpfe $7,50~\text{€}$.

  Diese Zuordnung ist proportional. Ein Kopf Blumenkohl kostet $1,50~\text{€}$, also kosten fünf Köpfe $5\cdot 1,50~\text{€}=7,50~\text{€}$.