Dreisatz bei Textaufgaben – proportional oder antiproportional?

Dreisatz bei Textaufgaben – proportional oder antiproportional? Übung

• Gib den Dreisatz für die Zuordnung an.

  Tipps

  Entscheide zunächst, ob es sich um eine proportionale oder um eine antiproportionale Zuordnung handelt.

  Für einen größeren Betrag in Euro erhält Martin auch einen größeren Betrag in Dollar.

  Lösung

  Beim Geldtausch handelt es sich um eine proportionale Zuordnung:
  Je mehr Euro Martin tauscht, desto mehr Dollar bekommt er dafür.

  Aus der Fragestellung wissen wir, dass er für $150$ Euro genau $180$ Dollar erhält.
  Für den Zwischenschritt rechnen wir auf der linken Seite $: 3$ und kommen damit auf $150 : 3 = 50$.
  Da es sich um eine proportionale Zuordnung handelt, müssen wir auch rechts $: 3$ rechnen und erhalten: $180 : 3 = 60$.
  Um nun von $50$ auf den gesuchten Wert $400$ zu kommen, müssen wir $\cdot ~8$ rechnen.
  Ebenfalls $ \cdot ~8$ gerechnet, erhalten wir auf der rechten Seite $60 \cdot 8 = 480$.

  Antwort:

  Martin erhält für $400$ Euro genau $480$ Dollar.

• Vervollständige den Text zu antiproportionalen Zuordnungen.

  Tipps

  Bei antiproportionalen Zuordnungen muss auf die zweite Größe stets die Umkehroperation angewendet werden.

  Rechnen wir zum Beispiel eine Größe $\cdot$ $3$, so müssen wir die andere Größe $:3$ rechnen.

  Je mehr Personen sich einen Kuchen teilen, desto kleiner werden die Stücke.

  Es besteht ein antiproportionaler Zusammenhang zwischen der Anzahl der Personen und der Größe der Kuchenstücke.

  Lösung

  Wir erkennen eine antiproportionale Zuordnung an der Form:

  • je mehr, desto weniger
  • je weniger, desto mehr

  Wenn ein Lottogewinn zwischen mehreren Personen aufgeteilt wird, dann liegt zwischen der Anzahl der Personen und der Gewinnsumme pro Person eine antiproportionale Zuordnung vor, weil der Gewinn pro Person geringer ist, wenn mehr Personen am Gewinn beteiligt sind.

  Erhalten zum Beispiel $6$ Personen jeweils einen Gewinn von $15\,000\,€$, würde der Gewinn für eine Person allein $\bf6$ $\cdot ~15\,000\,€ = 90\,000\,€$ betragen. Wird der Gewinn zwischen $5$ Personen aufgeteilt, so erhält jede*r:

  $90\,000\,€ :$ $\bf5$ $= 18\,000\,€$

  Die Rechenoperationen sind dabei immer genau entgegengesetzt: Wenn wir die Anzahl der Personen durch $6$ dividieren, dann müssen wir den Gewinn mit $6$ multiplizieren. Umgekehrt erhalten wir den Gewinn, indem wir durch $5$ dividieren, wenn wir die Personenzahl mit $5$ multiplizieren.

• Entscheide, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt oder nicht.

  Tipps

  Bei einer proportionalen Zuordnung nehmen beide Größen gleichermaßen zu oder ab.

  Dies ist ein Beispiel für eine proportionale Zuordnung:

  Wenn nach $3$ Minuten $24$ Liter Wasser in ein Becken gelaufen sind, dann sind nach $6$ Minuten $48$ Liter Wasser im Becken. Nach der doppelten Zeit hat sich auch die Wassermenge verdoppelt.

  Lösung

  Wir erkennen eine proportionale Zuordnung daran, dass beide Größen gleichermaßen zu- oder abnehmen. Es besteht ein Zusammenhang dieser Art:

  • je mehr, desto mehr oder
  • je weniger, desto weniger

  Die beschriebenen Zuordnungen können wir folgendermaßen zuordnen:

  proportional

  • Anzahl der Wassereimer $\rightarrow$ Wassermenge in Litern: Je mehr Eimer, desto mehr Wasser.
  • Preis pro Liter Wasser $\rightarrow$ Kosten für das Befüllen eines Beckens: Je mehr ein Liter kostet, desto mehr kostet das Befüllen insgesamt.

  antiproportional

  • Volumen eines Eimers $\rightarrow$ Anzahl der benötigten Eimer, um ein Becken zu füllen: Je mehr in einen Eimer passt, desto weniger Eimer werden benötigt, um ein Becken zu füllen.
  • Anzahl der Pumpen $\rightarrow$ Zeit bis zum vollständigen Befüllen des Beckens: Je weniger Pumpen eingesetzt werden, desto länger dauert das Befüllen.

  Die Zuordnung Farbe eines Wassereimers $\rightarrow$ Wassermenge in Liter ist weder proportional noch antiproportional, da kein mathematischer Zusammenhang zwischen Farbe und Wassermenge besteht.

• Ermittle, wie lange das Futter insgesamt reichen wird.

  Tipps

  In der ersten Woche wird das Futter nur für die Pferde aus dem Stall benötigt. Das verbleibende Futter muss dann auf alle Pferde aufgeteilt werden.

  Je weniger Pferde satt werden müssen, desto länger reicht das Futter.

  Lösung

  Zwischen der Anzahl der zu versorgenden Pferde und der Zeitspanne, für die das Futter reicht, besteht eine antiproportionale Zuordnung, da mehr Pferde mehr Futter benötigen und die gleiche Futtermenge somit für einen kürzeren Zeitraum reicht.

  In der ersten Woche wird nur Futter für die $5$ Pferde im Stall benötigt. Die verbleibende Futtermenge würde für diese $5$ Pferde noch weitere $2$ Wochen oder $14$ Tage genügen. Ein einzelnes Pferd könnte man mit dem Futter für $14 \cdot 5 = 70$ Tage versorgen.
  Mit dem unerwarteten Besuch müssen von nun an $5 + 5 = 10$ Pferde versorgt werden. Das Futter wird für sie weitere $70 : 10 = 7$ Tage reichen.

  Damit reicht der Heuvorrat insgesamt $2$ Wochen: eine Woche für $5$ Pferde und eine weitere Woche für $10$ Pferde.

• Nenne Eigenschaften von proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen.

  Tipps

  Überprüfe, wie sich die zweite Größe verändert, wenn die erste zunimmt.

  Beispiele für Zuordnungen:

  proportional:
  Je mehr Mäuse du hast, desto mehr Käse fressen sie.

  antiproportional:
  Je weniger Schüler helfen, desto länger dauert es, um den Schulgarten umzugraben.

  Lösung

  Um zwischen proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen zu unterscheiden, betrachten wir, wie sich die zweite Größe verändert, wenn wir die erste Größe verändern.

  Eine Zuordnung ist:

  • proportional bei je mehr, desto mehr und je weniger, desto weniger
  • antiproportional bei je mehr, desto weniger und je weniger, desto mehr

  Eine Zuordnung kann daher nicht gleichzeitig proportional und antiproportional sein.

  Beispiele:

  • Mit zunehmender Einlaufzeit steigt auch das Wasservolumen in einer Badewanne.

  je mehr, desto mehr $\rightarrow$ proportional

  • Mit einer zunehmenden Anzahl von Wasserhähnen verringert sich die Zeit, bis die Wanne gefüllt ist.

  je mehr, desto weniger $\rightarrow$ antiproportional

• Bestimme die Lösungen mit dem Dreisatz.

  Tipps

  Überlege zunächst, welche Art der Zuordnung vorliegt.

  Bei einer proportionalen Zuordnung müssen wir immer auf beiden Seiten mit derselben Zahl multiplizieren oder durch dieselbe Zahl dividieren.

  Bei einer antiproportionalen Zuordnung verwenden wir auf den beiden Seiten stets die Umkehroperation.

  Wandle, wenn nötig, die Einheiten um, zum Beispiel Stunden in Minuten.

  Lösung

  • Für mehr Muffins wird mehr Schokolade benötigt, es handelt sich hierbei um eine proportionale Zuordnung.

  Wenn für $10$ Muffins $200~\text{g}$ Schokolade benötigt werden, dann brauchen wir für die Hälfte, also $5$ Muffins, auch nur halb so viel Schokolade. Wir rechnen:

  $200~\text{g} : 2 = 100~\text{g}$

  Für die beiden Klassen sollen insgesamt $25 + 20 = 45$ Muffins gebacken werden, was das $9$-fache von $5$ Stück ist. Daher benötigen wir $9 \cdot 100~\text{g} = \mathbf{900~g}$ Schokolade.

  $\begin{array}{c|c} \text{Muffins} & \text{Schokolade} \\ \hline 10 & 200~\text{g} \\ 5 & 100~\text{g} \\ 45 & 900~\text{g} \end{array}$

  • Je mehr Lehrer beim Aufräumen der Küche helfen, desto weniger Zeit wird es in Anspruch nehmen. Die Zuordnung ist somit antiproportional.

  Wenn $2$ Lehrer*innen $3~\text{h} = 3 \cdot 60~\text{min} = 180~\text{min}$ brauchen, um die Küche aufzuräumen, dann würde eine Lehrkraft doppelt so lange, also $360~\text{min}$, benötigen. Mit vereinten Kräften brauchen alle $5$ Lehrerinnen und Lehrer zusammen nur ein Fünftel der Zeit. Wir rechnen:

  $360~\text{min} : 5 = 72~\text{min}$

  Das sind $\mathbf{1}$ Stunde und $\mathbf{12}$ Minuten.

  $\begin{array}{c|c} \text{Lehrer} & \text{Zeit} \\ \hline 2 & 180~\text{min} \\ 1 & 360~\text{min} \\ 5 & 72~\text{min} \end{array}$