Was sind periodische Vorgänge?

Was sind periodische Vorgänge? Übung

• Beschreibe periodische Vorgänge.

  Tipps

  Ein nichtperiodischer Vorgang enthält kein erkennbares sich wiederholendes Muster oder wiederholt sich auf eine unregelmäßige Art und Weise.

  Die Bewegung eines Flummis ist kein periodischer Vorgang, da die Sprunghöhe immer kleiner wird.

  Lösung

  Im Alltag, in Natur und Technik gibt es Vorgänge, die sich regelmäßig und immer genau gleich wiederholen. Diese nennen wir periodische Vorgänge.

  Bei einem periodischen Vorgang kannst Du einen Teil des Vorgangs ausfindig machen, der sich genauso wiederholt. Zum Beispiel wiederholt das Ventil am Hinterrad eines Fahrrads immer wieder den Aufstieg und Abstieg von der tiefsten Position zur höchsten und wieder zurück auf die immer gleiche Weise.

  Ein Gegenbeispiel: Die Bewegung eines Flummis ist kein periodischer Vorgang, denn die Sprunghöhe wird immer kleiner.

• Bestimme die richtige Gleichung für die Frequenz $f$ in Abhängigkeit von der Periodenlänge $T$.

  Tipps

  Die Frequenz ist die Anzahl der Umläufe pro Messeinheit.

  Das Produkt von Periodenlänge und Frequenz ist immer $1$.

  Lösung

  Die Frequenz eines periodischen Vorganges ist die Anzahl der Umläufe pro Messeinheit. Du kannst sie als Kehrwert der Periodenlänge berechnen: $f=\frac{1}{T}$.

  Diese Gleichung lässt sich noch in eine weitere Gleichung umwandeln. Wenn ich den Kehrwert auf beiden Seiten bilde, bleibt die Gleichung korrekt und ich erhalte $\frac{1}{f}=T$ bzw. $T=\frac{1}{f}$. Diese Gleichung ist also ebenfalls korrekt.

  Eine gute Merkregel ist die folgende: Das Produkt von Periodenlänge und Frequenz ist immer $1$, d.h. es gilt $f\cdot T=1$. Diese Gleichung erhältst du, wenn du in der Ausgangsgleichung $f=\frac{1}{T}$ auf beiden Seiten mit $T$ multiplizierst.

• Berechne die gesuchten Frequenzen.

  Tipps

  Bei Frequenzen steht die Enheit unter dem Bruchstrich.

  Du musst die Einheiten in Minuten bzw. Dezimeter umrechnen.

  Die Frequenz ist der Kehrwert der Periodendauer bzw. der Periodenlänge.

  Lösung

  Wenn der Minutenzeiger wieder an der gleichen Stelle ist, ist genau eine Periode vorüber. Dafür benötigt er $1$ Stunde oder $60$ Minuten, also ist dies auch seine Periodendauer. Seine Frequenz ist der Kehrwert der Periodendauer, also $\frac{1}{60~min}$.

  Wenn die Propellerspitze wieder an ihrer Ausgangsposition ist, hat sie eine Periode zurückgelegt und $6~m=60~dm$ hinter sich gebracht. Die Periodenlänge ist dann $60~dm$. Die Frequenz der Kehrwert der Periodenlänge, hier $\frac{1}{60~dm}$.

• Entscheide, welche Gleichungen korrekt sind.

  Tipps

  Die Frequenz ist die Anzahl der Umläufe pro Messeinheit.

  Die Frequenz ist der Kehrwert der Periodenlänge; d.h. es gilt: $f=\frac{1}{T}$.

  Lösung

  Die Frequenz ist per Definition immer der Kehrwert der Periodenlänge: $f=\frac{1}{T}$.

  • Wenn du nun auf beiden Seiten den Kehrwert bildest, erhältst du $T=\frac{1}{f}$.
  • $f\cdot T$ lässt sich dann auch schreiben als $\frac{f}{f}$, da $T=\frac{1}{f}$ ist und es ergibt sich $f\cdot T=\frac{f}{f}=1$.
  • Ebenso lässt sich $\frac{f}{T}$ umschreiben, z. B. als $\frac{f}{\frac{1}{f}}$. Dies lässt sich als Multiplikation mit dem Kehrwert des Nenners schreiben: $f\cdot f=f^2$. Daher gilt, dass $\frac{f}{T}=f^2$ ist.
  • $2\cdot T$ ist wegen der Beziehung der Periodendauer und der Frequenz zueinander nichts anderes als $2\cdot\frac{1}{f}=\frac{2}{f}$.

• Definiere die Begriffe Periodenlänge und Frequenz.

  Tipps

  Die Frequenz ist der Kehrwert der Periodenlänge.

  Lösung

  Die Periodenlänge ist die kleinste Länge nach der sich ein Vorgang wiederholt. Die Periode geht also vom Start des Vorgangs bis zum ersten Punkt, bei dem sich der Vorgang wiederholt.

  Die Frequenz ist definiert als die Anzahl der Umläufe für eine bestimmte Messeinheit x. Sie gibt also an, wie oft sich der Vorgang innerhalb der Messeinheit x wiederholt. Die Messeinheit kann dabei unterschiedlich ausfallen. Die Frequenz ist der Kehrwert der Periodenlänge. Ist also die Periodenlänge $1~m$, so ergibt die Frequenz $\frac{1}{m}$.

• Ordne den Größen die korrekten Werte mit ihren Einheiten zu.

  Tipps

  $1~Hz$ entspricht gerade $1\cdot s^{-1}$.

  Beachte: Bei Frequenzen stehen die Zeit- und Längeneinheiten jeweils im Nenner.

  Lösung

  Wir ordnen die Werte zu:

  • $11~\frac{1}{min}$, $\frac{1}{km}$, $\frac{7}{cm}$ und $\frac{8}{10m}$ sind der Frequenz $f$ zuzuordnen, da die Messeinheit in jedem Fall im Nenner auftaucht und die Frequenz definiert ist als „Anzahl der Umläufe pro Messeinheit $x$“.
  • $20~Hz$ ist ebenfalls der Frequenz zuzuordnen, da es sich bei $Hz$ um eine zusammengesetzte Einheit handelt und $1~Hz=1~\frac{1}{s}$ entspricht.
  • Entsprechend sind $5~s$ und $78~m$ der Periodenlänge $T$ zuzuordnen. $69~\frac{1}{kHz}$ wiederum gehört auch zur Periodenlänge $T$, denn $\frac{1}{kHz}=\frac{1}{\frac{1000}{s}}=\frac{1}{1000} s$, weil $Hz$ eine zusammengesetzte Einheit darstellt.