Was ist eine Umkehrfunktion?

Hallo! In diesem Video geht es um die Umkehrfunktion. Was ist die Umkehrfunktion denn überhaupt und wie bestimme ich sie? Diese Fragen möchte ich im Folgenden beantworten. Zuerst eine kurze Wiederholung. Angenommen wir haben eine Funktion, zum Beispiel mit der Gleichung f(x)=3/2x+1. Wenn wir dann für x Werte aus R einsetzen, dann bilden wir x auf 3/2x+1 ab. Die Zahlen 1, 2, 2,5, 3 und 4 werden beispielsweise mit der Vorschrift f(x)=3/2x+1 auf die Werte 2,5, 4, 4,75, 5,5, und 7 abgebildet. Die Umkehrfunktion ist dann die Funktion, die diese Vorschrift wieder rückgängig macht, die Funktion also wieder umkehrt, deshalb auch der Name Umkehrfunktion. Bezogen auf unser Beispiel f(x)=3/2x+1 wäre es die Funktion, die die Werte 2,5, 4, 4,75, 5,5, und 7 wieder den ursprünglichen Werten 1, 2, 2,5, 3 und 4 zuordnet. Die Umkehrfunktion der Funktion f notiert man dann mit f^-1. Schön und gut, doch wie bestimme ich nun die Umkehrfunktion? Es gibt zwei Möglichkeiten, graphisch oder algebraisch. Ich werde dir als Erstes zeigen, wie du sie graphisch bestimmen kannst. Nehmen wir dazu noch einmal das Beispiel f(x)=3/2x+1 und zeichnen den Graphen. Den Graphen der Umkehrfunktion bestimmt man nun so, dass man den Graphen der Funktion an der Identitätsfunktion spiegelt. Die Identitätsfunktion ist die Gerade mit der Gleichung y=x. Sie bildet alle Zahlen auf sich selbst ab, das heißt, der x-Wert und y-Wert sind immer identisch. Setzen wir für x zum Beispiel 5 ein. So erhalten wir als y-Wert ebenfalls 5. Das gilt für alle Zahlen in R. Wenn wir die Identitätsfunktion eingezeichnet haben, spiegeln wir den Graphen von f an ihr. Dazu zeichnen wir an einer beliebigen Stelle mit dem Geodreieck eine senkrechte Gerade zum Graphen der Identitätsfunktion. Dann spiegeln wir den Schnittpunkt der Senkrechten mit dem Graphen der Funktion f an der Identitätsfunktion. Dies können wir nun an beliebig vielen Stellen wiederholen. Da es sich aber um eine gerade und keine kurvige Funktion handelt reichen zwei Stellen aus. Verbinden wir also die gespiegelten Punkte. So erhalten wir den Graphen unserer gesuchten Umkehrfunktion f ^-1. Da wir ein recht einfaches Beispiel gewählt haben, lässt sich die Gleichung für die Umkehrfunktion auch direkt von der Zeichnung ablesen. Sie lautet f^-1 (x)=2/3x-2/3. Im Allgemeinen ist es aber nicht so leicht möglich von der Spiegelung die Funktionsvorschrift der Umkehrfunktion zu erhalten. Eine Funktionsgleichung kann auch nur selten präzise aus einer Zeichnung bestimmt werden. Daher wird in der Regel die Gleichung der Umkehrfunktion algebraisch bestimmt. Dazu geht man wie folgt vor. Zuerst schreibt man die Funktionsgleichung der Funktion f auf, y=3/2x+1. Dann stellt man die Gleichung nach x um. Dazu führen wir zwei Äquivalenzumformungen aus. Zuerst rechnen wir auf beiden Seiten minus 1 und erhalten y-1=3/2x und multiplizieren dann beide Seiten mit 2/3. Auf der rechten Seite steht dann das x alleine und auf der linken Seite steht 2/3y-2/3. x ist also gleich 2/3y-2/3. Werden zuletzt nur noch die Variablen x und y vertauscht, erhält man dann die Gleichung y=2/3x-2/3. Das ist die Funktionsgleichung unserer gesuchten Umkehrfunktion f^-1, f^-1 (x)=2/3x-2/3. Ein zweites Beispiel möchte ich noch mit dir besprechen, ein etwas komplizierteres Beispiel dieses Mal. f(x)=e hoch x+1. Wir werden zuerst wieder die graphische Bestimmung versuchen, dann die algebraische. Wir zeichnen wieder den Graphen der Funktion in das Koordinatensystem und dazu auch den der Identitätsfunktion y=x. Nun seht ihr auch schon ein Problem bei der graphischen Bestimmung der Umkehrfunktion. Den Graphen der Funktion mit dem Term e hoch x+1 zu spiegeln ist nicht mehr so einfach. Am besten, ihr spiegelt mehrere einzelne Punkte an der Geraden mit der Gleichung y=x und verbindet diese Punkte dann. Damit erhalten wir in etwa den Graphen unserer Umkehrfunktion f^-1. Die Funktionsvorschrift können wir allerdings dieses Mal nicht ohne weiteres ablesen. Die graphische Bestimmung der Umkehrfunktion hat also zwei große Nachteile. Im Allgemeinen ist die Spiegelung aufwändig und zum anderen erhalten wir nicht die Funktionsgleichung. Sie liefert uns allenfalls eine Vorstellung über das Aussehen der Umkehrfunktion. Deshalb ist eine algebraische Bestimmung immer schneller und präziser. Dazu schreiben wir uns wieder einfach die Gleichung der Funktion f auf, y=e hoch x+1 und stellen sie dann nach x um. Zuerst subtrahieren wir auf beiden Seiten 1 und erhalten y-1=e hoch x. Bestimmen wir den natürlichen Logarithmus der beiden Seiten, so erhalten wir log(y-1)=x. x ist also gleich dem Logarithmus von (y-1). Vertauschen wir nun die Variablen, dann erhalten wir die Gleichung y=log(x-1). Das ist die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion, also f ^-1 (x)=log(x-1). So einfach haben wir nun die Umkehrfunktion bestimmt. Allerdings besitzt nicht jede Funktion eine Umkehrfunktion. Eine wichtige Voraussetzung bei der Umkehrfunktion haben wir dabei bisher weggelassen. Unsere Funktion f(x) hat genau dann eine Umkehrfunktion, wenn sie eindeutig ist. Das ist der Fall, wenn jedem y-Wert der Funktion genau ein x-Wert zugewiesen ist. Ist dies nicht der Fall, besitzt die Funktion keine Umkehrfunktion. In unseren bisherigen Beispielen waren die Funktionen stets eindeutig. Betrachten wir daher doch einmal eine Funktion, die nicht eindeutig ist, zum Beispiel f(x)=x². Zuerst versuchen wir bei dieser Funktion die Umkehrfunktion graphisch zu bestimmen. Dazu spiegeln wir den Graphen der Funktion f an dem Graphen der Identitätsfunktion, also der Geraden mit der Gleichung y=x. Betrachten wir das Schaubild etwas genauer. Wenn du genau hinsiehst wirst du feststellen, dass die Spiegelung kein Graph einer Funktion sein kann, denn einem x-Wert werden für fast alle Stellen des Definitionsbereichs der Umkehrfunktion zwei y-Werte zugeordnet. Das widerspricht aber der Definition einer Funktion. Bei der algebraischen Bestimmung der Umkehrfunktion von f mit der Gleichung f(x)=x² sehen wir auch sofort das Problem. Die Funktionsgleichung lautet y=x². Wenn wir diese Gleichung nach x umstellen wollen, müssen wir also als Erstes die Wurzel ziehen. Allerdings erhalten wir damit die Gleichung ± Wurzel y=x. x ist also gleich ± Wurzel y. Tauschen wir die Variablen, so erhalten wir y= ± Wurzel x. Das ist keine Funktionsgleichung, denn auch hier ist ersichtlich, dass man beim Einsetzen eines x-Wertes zwei y-Werte erhält. Das widerspricht allerdings der Definition einer Funktion. Diesem Dilemma kann man durch eine Fallunterscheidung entgehen. Teilt man die Funktion f(x)=x² in zwei Funktionen auf, einmal f₁(x)=x² mit dem Definitionsbereich aller reellen Zahlen kleiner 0 und einmal f₂(x)=x² mit dem Definitionsbereich aller reellen Zahlen größer gleich 0. So wären beide Funktionen eindeutig und es würde jeweils eine Umkehrfunktion existieren. Im Fall von f₁ wäre die Umkehrfunktion folgende: f₁ ^-1(x)=-Wurzel x. Und im Fall von f₂ folgende: f₂^-1(x)=Wurzel x. Werfen wir zuletzt noch einen Blick auf die Definitions- und Wertebereiche der bisherigen Beispiel, sowie der jeweiligen Umkehrfunktionen. Bei unserem ersten Beispiel f(x)=3/2x+1 hatten wir als Gleichung der Umkehrfunktion f ^-1 (x)=2/3x-2/3 erhalten. Sowohl die Ausgangsfunktion als auch die Umkehrfunktion haben als Definitions- und Wertebereich ganz R, die gesamten reellen Zahlen. Unsere zweite Beispielfunktion hatte die Gleichung f(x)=e hoch x+1. Der Definitionsbereich ist ganz R und der Wertebereich alle reellen Zahlen größer als 1. Die Umkehrfunktion hatte die Gleichung f ^-1 (x)=log(x-1). Aus der Definition der Logarithmus wissen wir, dass das Argument des Logarithmus positiv sein muss, das heißt, x-1 muss größer sein als 0. Deshalb erhalten wir als Definitionsbereich der Umkehrfunktion alle reellen Zahlen, die größer als 1 sind. Bei unserem letzten Beispiel mussten wir eine Fallunterscheidung machen. Die Funktion f₁(x)=x² hat den Definitionsbereich R- und den Wertebereich R+. Die Umkehrfunktion f₁-1(x)=- Wurzel x hat dagegen den Definitionsbereich R+ und den Wertebereich R-. Die Funktion f₂(x)=x² hat den Definitions- und Wertebereich der positiven reellen Zahlen mit der 0. Die Umkehrfunktion f₂ hat denselben Definitions- und Wertebereich. Wie du siehst, vertauschen sich also beim Übergang von der Funktion zur Umkehrfunktion Definitions- und Wertebereich. Damit haben wir auch schon die wichtigsten Punkte zur Umkehrfunktion besprochen. Was haben wir also über die Umkehrfunktion gelernt? Nur eindeutige Funktionen haben eine Umkehrfunktion. Notfalls müssen wir den Definitionsbereich so beschränken, dass die Funktion auf diesem Bereich eindeutig ist. Wir haben außerdem gelernt, dass wir eine Umkehrfunktion auf zwei Wegen ermitteln können, graphisch und algebraisch. Bei der algebraischen Ermittlung erhalten wir auch gleichzeitig die Funktionsvorschrift der Umkehrfunktion. Wir wir dann gesehen haben, vertauschen sich jeweils Definitions- und Wertebereich bei der Umkehrfunktion im Bezug zur ursprünglichen Funktion. Das war es nun auch schon. Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit und bis bald.