Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion Übung

• Ergänze die Erklärung zur Logarithmusfunktion.

  Tipps

  Hier siehst du den Verlauf einer Exponentialfunktion.

  Hier siehst du den Verlauf der Funktion $f(x)=x^2$ für $x\ge 0$, der grüne Graph sowie den der Wurzelfunktion $g(x)=\sqrt x$, den roten Graphen.

  Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Quadratfunktion und umgekehrt.

  Lösung

  Nach der Zinsformel ist

  $K(t)=K_0\cdot \left(1+\frac p{100}\right)^t$

  das Kapital nach $t$ Jahren. Dies ist eine Exponentialfunktion.

  Hier siehst du beispielhaft den Verlauf einer solchen Exponentialfunktion. Der Graph dieser Funktion schneidet die K-Achse bei $K_0$.

  Wenn Tim nun wissen möchte, wann sein Kapital sich verdoppelt hat, kann er auf der y-Achse das doppelte Kapital suchen, parallel zur x- Achse eine Linie ziehen, die den Graphen schneidet. Die Projektion des Schnittpunktes auf die t-Achse ist die gesuchte Zeit.

  Das bedeutet, dass die Zuordnung umgekehrt wird. Dies kann man sich auch anschaulich klarmachen: Der Graph der Exponentialfunktion wird an der Ursprungsgerade $g(K)=K$ gespiegelt. Der gespiegelte Graph ist der Graph der Umkehrfunktion.

  Übrigens: Durch Spiegelung an der Ursprungsgerade kann man jeden Graphen einer Umkehrfunktion zeichnen, sofern die Funktion umkehrbar ist.

• Nenne die Eigenschaften der Logarithmusfunktion $g(x)=\log_b(x)$.

  Tipps

  Beachte, dass $b^x>0$ ist für alle $x$.

  Es gilt $b^0=1$.

  Der Definitionsbereich der Exponentialfunktion ist $\mathbb{D}=\mathbb{R}$.

  Der Wertebereich der Exponentialfunktion ist $\mathbb{W}=\mathbb{R}^+\setminus\{0\}$.

  Lösung

  Es ist bei den Funktionenklassen immer sehr sinnvoll, verschiedene Eigenschaften zu kennen:

  • Der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion ist $\mathbb{D}=\mathbb{R}^+\setminus\{0\}$. Dies folgt darauf, dass $b^x>0$ ist für alle $x$.
  • Der Wertebereich der Logarithmusfunktion ist $\mathbb{W}=\mathbb{R}$. Dies ist gerade der Definitionsbereich der Exponentialfunktion.
  • Da $b^0=1$ ist, kann man umgekehrt folgern, dass $\log(1)=0$. $x=1$ die einzige Nullstelle der Logarithmusfunktion ist.
  • Je nach Basis der Logarithmusfunktion ist diese steigend oder fallend: steigend für $b>1$ und fallend für $0<b<1$.

• Leite die Umkehrfunktion der Funktion her.

  Tipps

  Beachte, dass der Definitionsbereich der Umkehrfunktion der Wertebereich der Funktion ist.

  Wenn du Exponentialgleichungen lösen (umformen) möchtest, führst du so lange die Grundrechenarten durch, bis du bei

  $a^x=b$

  angelangt bist. Dann wendest du den Logarithmus zur Basis $a$ auf beiden Seiten der Gleichung an.

  Die hier abgebildete Gleichung gilt für jede beliebige Basis $b$ mit

  • $b>0$ und
  • $b\neq 1$.

  Lösung

  Wir wollen die Umkehrfunktion der abgebildeten Funktion herleiten.

  Dazu formen wir die Gleichung $y=f(x)$ nach $x$ um:

  $\begin{array}{rclll} y&=&2^x+1&|&-1\\ y-1&=&2^x&|&\log_2(~~~)\\ \log_2{(y-1)}&=&x \end{array}$

  Dann vertauschen wir $x$ und $y$. Dies führt zu $y=\log_2{(x-1)}$.

  Oft wird zur Kennzeichnung der Umkehrfunktion $f^{-1}$ geschrieben. Es ist also

  $f^{-1}(x)=\log_2(x-1)$.

• Bestimme mithilfe der Umkehrfunktion den Zeitpunkt, zu dem sich das Geld verdoppelt, verdreifacht und verzehnfacht hat.

  Tipps

  Forme die Gleichung $y=K(x)$ nach $y$ um.

  Die Zinsformel lautet

  $K(x)=K_0\cdot \left(1+\frac p{100}\right)^x$.

  Dabei ist $K_0$ das Anfangskapital, $p$ der Zinssatz und $x$ die Anzahl der Jahre.

  Die Basis der Exponentialfunktion ist $1$ plus Zinssatz dividiert durch $100$.

  Dies ist auch die Basis der Logarithmusfunktion.

  Wenn dein Taschenrechner keine allgemeine Logarithmustaste besitzt, kannst du wie folgt rechnen:

  $\log_a(b)=\frac{\log(b)}{\log(a)}$,

  wobei $\log$ der dekadische Logarithmus, der Logarithmus zur Basis $10$ ist.

  Lösung

  Hier ist die Funktion zu sehen, welche die Entwicklung von Pauls Kapital beschreibt.

  Dabei ist die Basis der Potenz der Wachstumsfaktor. Er wird folgendermaßen berechnet:

  $1+\frac p{100}=1+\frac 5{100}=1+0,05=1,05$.

  Nun wird $y=1000\cdot 1,05^x$ nach $x$ umgeformt:

  • Zuerst wird durch $1000$ dividiert: $\frac y{1000}=1,05^x$.
  • Nun wird der Logarithmus zur Basis $1,05$ auf beiden Seiten der Gleichung angewendet:
  • $x=\log_{1,05}\left(\frac y{1000}\right)$.
  • Zuletzt werden $x$ und $y$ vertauscht.

  Fertig ist die Umkehrfunktion

  $t(x)=\log_{1,05}\left(\frac x{1000}\right)$.

  In dieser können nun die verschiedenen Werte für $K$ eingesetzt werden:

  • $K=2\cdot K_0=2000$ führt zu $t(2000)=\log_{1,05}\left(\frac {2000}{1000}\right)=\log_{1,05}(2)\approx 14,2$.
  • $K=3\cdot K_0=3000$ führt zu $t(2000)=\log_{1,05}\left(\frac {3000}{1000}\right)=\log_{1,05}(3)\approx 22,5$.
  • $K=10\cdot K_0=10000$ führt zu $t(10000)=\log_{1,05}\left(\frac {10000}{1000}\right)=\log_{1,05}(10)\approx 47,2$.

  Wenn der Taschenrechner keine allgemeine Logarithmustaste besitzt, kann wie folgt gerechnet werden:

  $\log_a(b)=\frac{\log(b)}{\log(a)}$

  Dabei ist $\log$ der dekadische Logarithmus, der Logarithmus zur Basis $10$.

  Man sieht, dass Paul viel Geduld haben muss.

• Gib die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion an von der Funktion: $f(x)=b^x$.

  Tipps

  Beachte, dass $x$ die Variable ist.

  Die Umkehrung einer Potenzfunktion $f(x)=x^b$ ist die Wurzelfunktion

  $g(x)=\sqrt[b] x$.

  Die Basis des Logarithmus ist die Basis der Potenz.

  Lösung

  Eine Umkehrfunktion existiert nur dann, wenn kein Funktionswert mehrmals vorkommt. Dies ist bei der Exponentialfunktion $f(x)$ der Fall.

  Die Gleichung $y=b^x$ wird nach $x$ umgeformt. Diese Gleichung ist äquivalent zu

  $x=\log_b(y)$.

  Nun werden $x$ und $y$ ausgetauscht und man erhält die Umkehrfunktion:

  $g(x)=\log_b(x)$.

• Stelle die Exponentialfunktion sowie deren Umkehrfunktion auf.

  Tipps

  Es ist $N(0)=1000000000$ sowie $N(7)=750000$.

  Löse die Gleichung $N(7)=a\cdot b^7$ bei bekanntem $a$.

  Du musst die $7$-te Wurzel ziehen.

  Die Basis des Logarithmus ist auch die Basis der Potenz.

  Lösung

  In der Funktionsgleichung $N(t)=a\cdot b^t$ ist $a$ der Anfangsbestand, also $a=N(0)=1000000000$. Somit ist

  $N(t)=1000000000\cdot b^t$.

  Um die Basis der Potenz zu bestimmen, wird der zweite bekannte Wert verwendet:

  $N(7)=1000000000\cdot b^7=750000$.

  Diese Gleichung wird nach $b$ umgeformt:

  • Zunächst wird durch $1000000000$ dividiert: $b^7=0,00075$.
  • Nun wird auf beiden Seiten die $7$-te Wurzel gezogen. Dies führt zu $b=0,3577...\approx 0,358$.

  Somit ist die Exponentialfunktion gegeben durch:

  $N(t)=1000000000\cdot 0,358^t$.

  Damit kann auch die Umkehrfunktion bestimmt werden:

  $N=1000000000\cdot 0,358^t$ wird folgendermaßen nach $t$ umgeformt:

  • Division durch $1000000000$ zu $\frac N{1000000000}=0,358^t$ und
  • anschließendes Logarithmieren (zur Basis $0,358$):

  $t(N)=\log_{0,358}\left(\frac N{1000000000}\right)$.

  Dies ist die gesuchte Umkehrfunktion.