Vergleich von Größenordnungen mit Zehnerpotenzen

Vergleich von Größenordnungen mit Zehnerpotenzen Übung

• Benenne die Zehnerpotenzen.

  Tipps

  Suche auf dem Zahlenstrahl die Zehnerpotenzen.

  Zehnerpotenzen teilt man durcheinander, indem man die Exponenten subtrahiert.

  Zum Beispiel ist $10^4:10^1 = 10^{4-1} = 10^3 = 1000$.

  Lösung

  Die Ameise Hans ist $0,32~\text{cm}$ groß. Die nächstgrößere Zehnerpotenz ist $10^0~\text{cm} = 1~\text{cm}$, die nächstkleinere $10^{-1}~\text{cm}=0,1~\text{cm}$. Die der Größe von Hans in $\text{cm}$ nächstgelegene Zehnerpotenz ist daher $10^{-1}$.

  David ist $167,45~\text{cm}$ groß. Die nächstgrößere Zehnerpotenz ist $10^3 = 1000~\text{cm}$, die nächstkleinere $10^2~\text{cm}=100~\text{cm}$. Der Größe von David in $\text{cm}$ liegt also die Zehnerpotenz $10^2$ am nächsten.

  Zum Vergleich der Größenordnungen von David und Hans dividieren wir die nächstgelegenen Zehnerpotenzen durcheinander. Die Rechnung zum Vergleich der Größenordnung lautet:

  $10^2:10^{-1}=10^{2-(-1)}=10^3$.

  David ist also ungefähr tausendmal so groß wie Hans.

• Bestimme die Größenordnungen.

  Tipps

  Eine Potenz ist die abkürzende Schreibweise für die mehrfache Multiplikation eines Faktors mit sich selbst:

  $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot \ ...\ \cdot a}_{n\text{-mal}}$

  Wie viele Nullen hat die Zahl $10^3$ demnach?

  Überlege, wie viele Stellen eine Zehnerpotenz hat.

  Die kleinste Zehnerpotenz oberhalb von $203,6$ ist $10^3=1000$.

  Lösung

  Die Zehnerpotenz $10^n$ ist das Ergebnis der Rechnung, die Zahl $10$ genau $n$-mal mit sich selbst zu multiplizieren. Als Dezimalzahl ist das eine $1$ mit $n$ Nullen.

  Die nächstgrößere bzw. nächstkleinere Zehnerpotenz zu einer Dezimalzahl $M$ kann man wie folgt bestimmen: Man sucht zuerst die nächstgelegenen ganzen Zahlen $N$ und $N+1$. Die ganze Zahl $N$ stimmt mit $M$ vor dem Komma überein und hat keine Nachkommastellen. Addierst du zu der ganzen Zahl $N$ eine $1$, so erhältst du die nächstgrößere ganze Zahl zu $M$, nämlich $N+1$. Hat $N+1$ nun genau $k$ Stellen, so ist $10^{k-1}$ die nächstkleinere Zehnerpotenz zu $M$. Hat $N+1$ genau $k$ Stellen und ist nicht selbst eine Zehnerpotenz, so ist $10^k$ die nächstgrößere Zehnerpotenz zu $M$.

  Mit diesen Überlegungen erhalten wir folgende wahre Aussagen:

  • „Der Größe von Hans in $\text{cm}$ liegt die Zehnerpotenz $10^{-1}$ am nächsten.“ Denn $0,32$ liegt näher an $0,1 = 10^{-1}$ als an $10^0 = 1$.

  • „Die zu der Größe von David in $\text{cm}$ nächstkleinere Zehnerpotenz ist $10^2$.“ Denn $10^2 = 100 < 167,45$.

  • „Die größte ganze Zahl kleiner als $2010,4$ ist $2010$.“ Die größte ganze Zahl, die kleiner als eine Dezimalzahl mit Nachkommastellen ist, findet man, indem man die Nachkommastellen weglässt.

  • „Sei $N+1$ eine ganze Zahl oberhalb einer gegebenen Zahl $M$, so gilt: Hat die ganze Zahl $N+1$ genau $k$ Stellen, so liegt $N+1$ unterhalb der Zehnerpotenz $10^k$.“ Jede ganze Zahl mit $k$ Stellen ist kleiner als $10^k$, denn $10^k$ hat $k+1$ Stellen.

  Dagegen sind folgende Aussagen falsch:

  • „Sei $N+1$ eine ganze Zahl oberhalb einer gegebenen Zahl $M$, so gilt: Hat die ganze Zahl $N+1$ genau $k$ Stellen, so liegt die Zehnerpotenz $10^k$ unterhalb von $N+1$.“ Die Zehnerpotenz $10^k$ hat $k+1$ Stellen, ist also größer als jede ganze Zahl mit $k$ Stellen.

  • „Die kleinste Zehnerpotenz oberhalb von $2010,4$ ist $10^3$.“ Die Zehnerpotenz $10^3 = 1000$ ist kleiner als $2010,4$.

  • „Die größte Zehnerpotenz unterhalb der Größe von David in $\text{cm}$ ist $10^1$.“ Die Zehnerpotenz $10^1 = 10$ ist zwar kleiner als $167,45$, aber die Potenz $10^2 = 100$ ist ebenfalls kleiner als $167,45$.

• Erschließe die Größenordnungen.

  Tipps

  Eine Zahl $M\geq 1$ mit $n$ Stellen vor dem Komma ist entweder der Zehnerpotenz $10^n$ oder $10^{n-1}$ am nächsten.

  Trage die Zahlen auf einem Zahlenstrahl ab, um die nächstgelegene Zehnerpotenz zu finden.

  Der Zahl $50,43$ liegt die Zehnerpotenz $10^2$ am nächsten, für die Zahl $49,87$ ist $10^1$ die nächstgelegene Zehnerpotenz.

  Lösung

  Die einer Dezimalzahl nächstgelegene Zehnerpotenz kann man am Zahlenstrahl ablesen: Trägt man dort die Zehnerpotenzen ein, so findet man für jede Dezimalzahl $M$, die nicht selbst eine Zehnerpotenz ist, eine Ungleichung der Form $10^{n-1} < M < 10^n$. Die nächstgelegene Zehnerpotenz ist diejenige, die zu der Zahl $M$ den kleineren Abstand auf dem Zahlenstrahl hat.

  Hieraus ergeben sich folgende Zuordnungen:

  $10^{-1}$ ist für folgende Zahlen die nächstgelegene Zehnerpotenz:

  • $0,066$

  • $0,11$

  • $0,4321$

  • $0,1234$

  ${\bf 10^0}$ ist die nächstgelegene Zehnerpotenz für folgende Zahlen:

  • $0,63$

  • $4,321$

  • $0,87$

  ${\bf 10^3}$ ist die nächstgelegene Zehnerpotenz für folgende Zahlen:

  • $1~987$

  • $4~321$

  • $729$

  ${\bf 10^4}$ ist für folgende Zahlen die nächstgelegene Zehnerpotenz:

  • $43~210$

  • $8~765$

  • $10~000$

• Vergleiche die Zehnerpotenzen.

  Tipps

  Die Zehnerpotenz $10^k$ ist die abkürzende Schreibweise für die $k$-fache Multiplikation des Faktors $10$ mit sich selbst:

  $10^k=\underbrace{10\cdot 10\cdot\ ...\ \cdot 10}_{k\text{-mal}}$

  Die Zehnerpotenz $10^k$ ist eine $1$ mit $k$ Nullen.

  Das Dividieren von Zehnerpotenzen entspricht dem Subtrahieren der Exponenten.

  Lösung

  Die Zehnerpotenz $10^n$ ergibt sich, indem man $n$-mal die Zahl $10$ mit sich selbst multipliziert. Dividiert man $10^n$ durch $10^k$, so kann man einige der Faktoren wieder kürzen. Übrig bleiben genau $n-k$ Faktoren. Diese Rechnung ist das Potenzgesetz:

  $\frac{10^n}{10^k} = 10^{n-k}$

  Nach diesem Potenzgesetz ergeben sich folgende Gleichungen:

  • $\frac{10^9}{10^{-1}} = 10^{9-(-1)} = 10^{10}$

  • $\frac{10^4}{10^2} = 10^{4-2} = 10^2$

  • $\frac{10^2}{10^4} = 10^{2-4} = 10^{-2}$

  • $\frac{10^{-2}}{10^{-9}} = 10^{-2-(-9)} = 10^7$

  • $\frac{10^{k+1}}{10^{-1}} = 10^{(k+1) - (-1)} = 10^{k+2}$

• Bestimme die nächstgelegenen Zehnerpotenzen.

  Tipps

  Suche zunächst die größte ganze Zahl, die kleiner ist als die Größe von David in $\text{cm}$. Bestimme dann die nächstkleinere Zehnerpotenz.

  Du dividierst die Zehnerpotenzen, indem Du die Exponenten subtrahierst. Es gilt:

  $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$.

  Lösung

  Wir suchen die größte Zehnerpotenz, die kleiner ist als die Größe von Hans in $\text{cm}$. Diese ist $10^{-1}$, denn $10^{-1} = 0,1 < 0,32$, aber $10^0 = 1 > 0,32$. Die größte Zehnerpotenz unterhalb der Größe von David ist dann $10^2$, denn $10^2 = 100 < 167,45$ und $10^3 = 1~000 > 167,45$.

  Um sie zu vergleichen, dividieren wir die Zehnerpotenzen durcheinander:

  $10^2 : 10^{-1} = 10^{2-(-1)} = 10^3 = 1~000$

  David ist also ungefähr $1~000$-mal so groß wie Hans.

  Nun bestimmen wir die Größenordnung der Erde. Die größte Zehnerpotenz unterhalb des Durchmessers der Erde ist $10^9$, denn $10^9 < 1~274~200~000$ und $10^{10} > 1~274~200~000$.

  Zum Vergleich der Größen von der Erde und David dividieren wir wieder die Größenordnungen durcheinander:

  $\frac{10^9}{10^2}= 10^{9-2} = 10^7=10~000~000$

  Die Erde ist demnach ungefähr $10^7$ =10 000 000-mal so groß wie David.

• Analysiere die Aussagen über Zehnerpotenzen.

  Tipps

  $10^k$ ist eine $1$ mit $k$ Nullen, also eine $k+1$-stellige Zahl.

  Vergleiche eine beliebige ganze Zahl mit $k$ Stellen mit einer Zehnerpotenz mit $k$ Stellen.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Zum Vergleich von Größenordnungen bestimmt man die Differenz der Exponenten der nächstgelegenen Zehnerpotenzen.“ Vergleich von Größenordnungen bedeutet das Dividieren nahe gelegener Zehnerpotenzen. Das entspricht der Subtraktion der Exponenten.

  • „Die kleinste Zehnerpotenz mit mindestens $k$ Stellen ist $10^{k-1}$.“ Die Zahl $10^{k-1}$ ist eine $1$ mit $k-1$ Nullen. Daher ist $10^{k-1}$ die kleinste Zahl mit $k$ Stellen und insbesondere die kleinste Zehnerpotenz mit $k$ Stellen.

  • „Die größte ganze Zahl mit höchstens $k$ Stellen ist $10^k-1$.“ Die um $1$ größere, also die nächste ganze Zahl ist $(10^k-1)+1 = 10^k$. Dies ist die kleinste ganze Zahl mit $k+1$ Stellen.

  Die folgenden Aussagen dagegen sind falsch:

  • „Zum Vergleich von Größenordnungen bestimmt man die Differenz nächstgelegener Zehnerpotenzen.“ Die Differenz ist wenig aussagekräftig, wenn die Zahlen in verschiedenen Größenordnungen liegen.

  • Liegt die Zahl $M$ zwischen den ganzen Zahlen $N$ und $N+1$, so hat die kleinste Zehnerpotenz größer als $M$ genauso viele Stellen wie $N+1$.“ Ist $M=2~010,4$, so ist $N=2~010$ und $N+1 = 2~011$. Beide Zahlen haben $4$ Stellen. Aber die kleinste Zehnerpotenz, die größer ist als $2~010,4$, ist $10^4 = 10~000$ und hat $5$ Stellen.

  • „Liegt die Zahl $M$ zwischen den ganzen Zahlen $N$ und $N+1$, so hat die kleinste Zehnerpotenz größer als $M$ mehr Stellen als $N+1$.“ Ist $M = 999,3$, so ist $N=999$ und $N+1=1~000$. Die kleinste Zehnerpotenz oberhalb von $M=999,3$ ist $1~000$, entspricht also $N+1$ und hat demnach genauso viele Stellen.

  • „Die Zehnerpotenz $10^k$ ist $k$-mal so groß wie die Zehnerpotenz $10^0$.“ Die Zehnerpotenz $10^k$ ist $10^{k-0}=10^k$ Mal so groß wie die Zehnerpotenz $10^0$.