Potenzen Definition

Potenzen Definition Übung

• Beschreibe, was eine Potenz ist.

  Tipps

  Beispiel:
  $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5$

  Der Exponent wird auch Hochzahl genannt.

  Beispiel:
  $3^{-4} = \frac{1}{3^4}$

  Lösung

  Die Potenz $a^n$ mit der Basis $a$ und dem Exponenten $n$ ist gleich einer Multiplikation: Der Faktor ist $a$, die Anzahl der Faktoren ist $n$.

  $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot .... \cdot a}_{n\text{-mal}}\\ \\ ~$

  Beispiel: $~6^4 = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot6$

  Ist der Exponent negativ, so kann die Potenz als Bruch geschrieben werden. Im Zähler steht eine Eins und im Nenner die Potenz selbst ohne das Minuszeichen im Exponenten:

  $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

  Beispiel: $~8^{-3} = \frac{1}{8^3}$

• Gib die ausführliche Schreibweise der Potenz an.

  Tipps

  Die Potenz $a^n$ ist gleich einer Multiplikation. Dabei ist die Zahl $a$ der Faktor, der mit sich selbst multipliziert wird, und die Zahl $n$ die Anzahl der Faktoren.

  Beispiel:

  $7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{7 \cdot 7}$

  Lösung

  Beispiele mit positiven Exponenten
  Ist der Exponent positiv, so können wir die Potenz als Multiplikation der Basis mit sich selbst schreiben.

  $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
  $3^2 = 3 \cdot 3$
  $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot4$

  Beispiele mit negativen Exponenten
  Ist der Exponent negativ, so können wir die Potenz als Bruch schreiben. Im Zähler des Bruchs steht eine Eins und im Nenner die Multiplikation der Basis mit sich selbst.

  $3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$
  $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{3 \cdot 3}$

• Ermittle die jeweiligen Potenzwerte.

  Tipps

  Steht im Exponenten eine Null, so ist der Potenzwert immer eins.

  Beispiel:

  $2^{-3} = \frac{1}{2^3}$

  Lösung

  Ist der Exponent positiv, so können wir den Potenzwert durch Multiplikation berechnen:
  $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$
  $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
  Ist die Basis $1$, so ist der Potenzwert immer $1$:
  $1^9 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$
  Ist die Basis $0$ und der Exponent positiv, so ist der Potenzwert immer $0$:
  $0^5 = 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$
  Ist der Exponent $0$, so ist der Potenzwert immer $1$:
  $4^0 = 1$
  Ist der Exponent negativ und die Basis ungleich $0$, so können wir die Potenz als Bruch schreiben und dann berechnen:
  $4^{-1} = \frac{1}{4^1} = \frac{1}{4} = 0,25$

• Entscheide, ob die Rechnung richtig oder falsch ist.

  Tipps

  Steht im Exponenten eine Null und in der Basis eine Zahl ungleich null, so ist der Wert der Potenz immer eins.

  Beispiel:
  $3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$

  Lösung

  Bei einer Potenz mit positiven Exponenten können wir die Potenz als Multiplikation schreiben.
  

  • Das Beispiel $8^5 = 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot8$ ist richtig. Die $8$ kommt fünfmal als Faktor in der Multiplikation vor.
  • In dem Beispiel $3^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4$ wurden Basis und Exponent vertauscht. Richtig lautet die Multiplikation: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
  • Das Beispiel $1^1=1$ ist richtig.

  Ist der Exponent $0$, so ist der Potenzwert $1$.

  • Das Beispiel $3^0=0$ ist somit falsch, korrekt lautet es: $3^0=1$

  Ist der Exponent negativ, so können wir die Potenz als Bruch schreiben:
  

  • Das Beispiel $5^{-3} = \frac{1}{5 \cdot 5 \cdot 5}$ ist richtig.
  • Bei dem Beispiel $6^{-2} = \frac{6^2}{1}$ wurden Zähler und Nenner vertauscht. Korrekt lautet es: $6^{-2} = \frac{1}{6^2}$.
  • Das Beispiel $7^{-1} = \frac{1}{7}$ ist richtig.
  • Das Beispiel $0^{-4} = 1$ ist falsch. Wir können auch hier die Potenz als Bruch schreiben und erkennen so das mathematische Problem: $0^{-4} = \frac{1}{0^4} = \frac{1}{0}$. Da wir nicht durch $0$ dividieren dürfen, ist diese Potenz nicht lösbar.

• Gib die jeweiligen Fachbegriffe an.

  Tipps

  Der Exponent gibt die Anzahl der Faktoren der Multiplikation an.

  $3^6$ ist eine Potenz.

  $4$ ist der Potenzwert von $2^2$.

  Lösung

  Bei dem abgebildeten Beispiel ist $4$ die Basis. Sie ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird.
  $3$ ist der Exponent. Er gibt an, wie oft die Basis als Faktor in der Multiplikation auftaucht.
  Den Ausdruck $4^3$ nennt man Potenz.
  Das Ergebnis $64$ ist der Potenzwert.

• Ordne die Potenzen von klein nach groß.

  Tipps

  Bestimme zunächst den Potenzwert aller Potenzen.

  Was ist der kleinstmögliche Potenzwert?

  Lösung

  Wir bestimmen zunächst alle Potenzwerte:
  

  • $4^1=4$
  • $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$
  • $2^3= 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
  • $13^0=1$
  • $2^{-1} = \frac{1}{2}$
  • $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$
  • $4^{-1} = \frac{1}{4}$

  Wir sortieren die Werte nun von klein nach groß:
  $3^{-2} < 4^{-1} < 2^{-1} < 13^0 < 4^1 < 2^3 < 3^2$