Ungleichungen mit Multiplikation und Division lösen

Ungleichungen mit Multiplikation und Division lösen Übung

• Ergänze die Ungleichungen und Erklärungen.

  Tipps

  Wenn du dich fragst, ob du $\leq$ oder $\geq$ in eine Ungleichung einsetzen musst, hilft es manchmal, wenn du dir überlegst, wie die Aufgabenstellung mit den Worten mindestens und höchstens formuliert wäre.

  Aufgepasst! Es gilt $5\geq2$, aber: ${-5}\leq{-2}$.

  Lösung

  Höhlenmensch 1

  Der erste Höhlenmensch hat insgesamt $12$ Punkte erzielt. Da er für jeden Treffer $3$ Punkte erhalten hat, wissen wir, dass er mindestens $4$ Male geworfen haben muss. In diesem Fall hätte er nie daneben geworfen. Dann hätten wir eine Gleichung, die so aussehen müsste:

  $3 \cdot x = 12$

  Falls er aber auch einmal daneben geworfen hätte, hätte er seine Minuspunkte mit weiteren Würfen ausgleichen müssen und dann hätte er auch mehr Punkte durch Treffer erzielt. Also müssten in diesem Fall die $3 \cdot x$ größer sein als die $12$.

  Insgesamt lautet daher die Ungleichung:

  $3 \cdot x \geq 12$

  Wir teilen noch durch $3$, eine positive Zahl, weswegen sich das Ungleichheitszeichen nicht umdreht:

  $x \geq 4$

  Der erste Höhlenmensch hat mindestens $4$ Treffer erzielt.

  Höhlenmensch 2

  Der zweite Höhlenmensch hat bloß $-11$ Punkte erzielt. Da er für jeden Fehlwurf einen halben Minuspunkt bekommt, wissen wir, dass er mindestens $22$ Fehlwürfe gemacht hat. Dann hätte er nie getroffen. In diesem Fall hätten wir diese Gleichung:

  $-\frac{1}{2} \cdot x = -11$

  Falls er jedoch auch manchmal getroffen hätte, hätte er die erzielten Punkte wieder durch weitere Fehlwürfe ausgleichen müssen. Mehr Fehlwürfe bedeutet aber weniger Punkte. Deshalb kommen wir zu folgender Ungleichung:

  $-\frac{1}{2} \cdot x \leq -11$

  Das dividieren wir durch $-\frac{1}{2}$. Das ist allerdings das Gleiche, als würden wir mit dem Kehrwert, also mit $-2$, multiplizieren. Weil wir mit einer negativen Zahl multiplizieren, dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

  Das Ergebnis lautet:

  $x \geq 22$

  Der zweite Höhlenmensch hat mindestens $22$ Male daneben geworfen.

• Beschreibe, wie du die Ungleichung nach $x$ auflöst.

  Tipps

  Durch eine Zahl dividieren ist dasselbe wie mit dem Kehrwert dieser Zahl multiplizieren.

  Du kannst eine Gleichung zum Beispiel durch $\frac{1}{2}$ teilen, aber auch genauso gut mit $2$ multiplizieren.

  Multiplikation mit positiven Zahlen bewirkt mit dem Ungleichheitszeichen dasselbe wie Division mit positiven Zahlen.

  Multiplikation mit negativen Zahlen bewirkt mit dem Ungleichheitszeichen dasselbe wie Division mit negativen Zahlen.

  Multiplizieren mit einer positiven Zahl dreht $\geq$ niemals um.

  Lösung

  Für Ungleichungen gilt:

  • Wenn man eine Ungleichung mit einer positiven Zahl multipliziert oder durch eine positive Zahl dividiert, dreht man das Ungleichheitsszeichen nicht um.
  • Wenn man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert, dreht man das Ungleichheitsszeichen um.

  Folglich gilt für:

  Ungleichung 1: $~~3\cdot x \geq 12~~\vert :3$

  • Weil man durch eine positive Zahl dividiert, dreht sich $\geq$ nicht um. Das Ergebnis ist $x\geq4$.

  Ungleichung 2: $~~3\cdot x \geq 12~~\vert \cdot \frac{1}{3}$

  • Weil man mit einer positiven Zahl multipliziert, dreht sich $\geq$ nicht um. Das Ergebnis ist $x\geq4$.

  Ungleichung 3: $~~-\frac{1}{2}\cdot x\leq -11~~\vert :\left( -\frac{1}{2} \right)$

  • Weil man durch eine negative Zahl dividiert, dreht sich $\leq$ um. Das Ergebnis ist $x\geq22$.

  Ungleichung 4:$~~-\frac{1}{2}\cdot x\leq -11~~\vert \cdot \left( -2 \right)$

  • Weil man mit einer negativen Zahl multipliziert, dreht sich $\leq$ um. Das Ergebnis ist $x\geq22$.

• Bestimme die Lösungen der Ungleichungen.

  Tipps

  Beim Multiplizieren und Dividieren verhalten sich $<$ und $>$ genau wie $\leq$ und $\geq$.

  Durch eine Zahl zu dividieren ist dasselbe wie mit dem Kehrwert dieser Zahl zu multiplizieren.

  Von $\frac{1}{2}$ ist zum Beispiel $2$ der Kehrwert.

  Schaue dir auch dieses Beispiel an:

  $9\cdot x \leq 27~~\vert :3$

  $x \leq 9$

  Lösung

  Aufgabe 1: $~~~4\cdot x \leq 20$

  Wir teilen durch $4$, um $x$ zu isolieren:

  $4\cdot x \leq 20~~\vert :4$

  Weil wir durch eine positive Zahl teilen, bleibt das Ungleichheitszeichen unverändert:

  $x\leq 5$

  Aufgabe 2: $~~~{-4}\cdot x > 20$

  Wir teilen durch ${-4}$:

  $-4\cdot x > 20~~\vert :(-4)$

  Weil wir durch eine negative Zahl teilen, dreht sich das Ungleichheitszeichen um:

  $x< -5$

  Aufgabe 3: $~~~-4\cdot x \leq 20$

  Wir multiplizieren mit dem Kehrwert von $-4$, also mit $-\frac{1}{4}$:

  $-4\cdot x \leq 20~~\vert \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)$

  Weil wir mit einer negativen Zahl multiplizieren, dreht sich das Ungleichheitszeichen um:

  $x\geq -5$

  Aufgabe 4: $~~~4\cdot x > 20$

  Wir multiplizieren mit dem Kehrwert von $4$, also mit $\frac{1}{4}$:

  $4\cdot x > 20~~\vert \cdot \frac{1}{4}$

  Weil wir mit einer positiven Zahl multiplizieren, bleibt das Ungleichheitszeichen unverändert:

  $x> 5$

  Aufgabe 5: $~~~-4\cdot x \geq 20$

  Wir multiplizieren mit dem Kehrwert von $-4$, also mit $-\frac{1}{4}$:

  $-4\cdot x \geq 20~~\vert \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)$

  Weil wir mit einer negativen Zahl multiplizieren, dreht sich das Ungleichheitszeichen um:

  $x\leq -5$

• Prüfe die Ungleichungen und Umformungen auf Richtigkeit.

  Tipps

  Multiplikation mit und Division durch eine negative Zahl dreht das Ungleichheitszeichen um.

  Durch eine Zahl zu dividieren ist dasselbe wie mit dem Kehrwert dieser Zahl zu multiplizieren.

  Betrachte auch dieses Beispiel:

  $10\cdot x\leq40~~\vert :10$

  $x\geq 4$

  Wir haben durch eine positive Zahl geteilt. Also ist das Ungleichheitszeichen in der zweiten Zeile falsch.

  Lösung

  Aufgabe 1:$~~~5\cdot x\leq15$

  Wir können durch $5$ teilen:

  $5\cdot x\leq15~~\vert :5$

  Wir teilen durch eine positive Zahl, also dreht sich das Ungleichheitszeichen nicht um. Das war der Fehler in der Aufgabe. Richtig ist:

  $x\nobreakspace\leq\nobreakspace3$

  Aufgabe 2: $~~~{-12}\cdot x\leq36$

  Wir können durch ${-12}$ teilen:

  ${-12}\cdot x\leq36~~\vert :({-12})$

  Weil wir durch eine negative Zahl teilen, dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Das war der Fehler in der Aufgabe. Richtig ist:

  $x\geq{-3}$

  Aufgabe 3: $~~~{-6}\cdot x\leq {-36}$

  Wir können durch ${-6}$ teilen. Das ist dasselbe wie mit dem Kehrwert, also $-\frac{1}{6}$, zu multiplizieren. In der Aufgabe war der Kehrwert falsch gebildet:

  ${-6}\cdot x\leq {-36}~~\vert \cdot \left( -\frac{1}{6}\right)$

  Weil wir mit einer negativen Zahl multiplizieren, dreht sich das Ungleichheitszeichen um:

  $x\geq6$

  Aufgabe 4: $~~~{-8}\cdot x\geq {-48}$

  Um das Minus auf beiden Seiten zu eliminieren, können wir zunächst mit ${-1}$ multiplizieren:

  ${-8}\cdot x\geq {-48}~~\vert \cdot ({-1})$

  Weil wir mit einer negativen Zahl multiplizieren, dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Jetzt teilen wir durch $8$:

  $8\cdot x\leq48~~\vert :8$

  Weil wir durch eine positive Zahl teilen, bleibt das Ungleichheitszeichen gleich. Das war der Fehler in der Aufgabe. Richtig ist:

  $x\leq6$

  Aufgabe 5: $~~~{-4}\cdot x\geq {-40}$

  Um das Minus zu eliminieren, können wir zunächst durch ${-1}$ dividieren:

  ${-4}\cdot x\geq {-40}~~\vert :({-1})$

  Weil wir durch eine negative Zahl teilen, dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Das war in der Aufgabe falsch. Wir teilen dann durch $4$. Das ist aber dasselbe wie mit dem Kehrwert $\frac{1}{4}$ zu multiplizieren:

  $4\cdot x\leq40~~\vert \cdot\frac{1}{4}$

  Weil wir mit einer positiven Zahl multiplizieren, verändert sich das Ungleichheitszeichen diesmal nicht. Das war in der Aufgabe richtig. Dennoch steht in dieser Zeile ein falsches Ungleichheitszeichen, was allerdings ein Folgefehler ist. Richtig ist:

  $x\leq10$

  Aufgabe 6: $~~~7\cdot x\leq42$

  Wir können durch $7$ teilen. Das ist aber dasselbe wie mit dem Kehrwert $\frac{1}{7}$ zu multiplizieren. In der Aufgabe wurde durch den Kehrwert geteilt. Das war der Fehler. Richtig ist:

  $7\cdot x\leq42~~\vert \cdot \frac{1}{7}$

  Weil wir mit einer positiven Zahl multiplizieren, ändert sich das Ungleichheitszeichen nicht:

  $x\leq6$

• Nenne die richtigen Verfahrensweisen bei der Umformung von Ungleichungen.

  Tipps

  Du kannst dir eine konkrete Ungleichung aussuchen und diese einmal mit positiven und einmal mit negativen Zahlen multiplizieren oder dividieren.

  Denke über folgende Ungleichung nach:

  ${-5}\leq 2$

  Wir multiplizieren mit einer negativen Zahl:

  ${-5}\leq 2~~\vert\cdot({-1})$

  Dann entsteht folgende Ungleichung:

  $5\geq {-2}$

  Was ist mit dem Ungleichheitszeichen passiert?

  Denke über folgende Ungleichung nach:

  ${-5}\leq 2$

  Wir multiplizieren mit einer positiven Zahl:

  ${-5}\leq 2~~\vert\cdot 1$

  Dann bleibt die Ungleichung identisch:

  ${-5}\leq 2$

  Was ist mit dem Ungleichheitszeichen passiert?

  Lösung

  Für Ungleichungen gilt:

  Wenn man eine Ungleichung mit einer positiven Zahl multipliziert oder durch eine positive Zahl dividiert, dreht man das Ungleichheitszeichen nicht um.

  Wenn man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert, dreht man das Ungleichheitszeichen um.

  Also gilt für die einzelnen Aussagen:

  Aussage 1

  • Wenn man eine Ungleichung mit einer positiven Zahl multipliziert, dreht man das Ungleichheitszeichen niemals um.

  Das ist wahr. Denn die Multiplikation mit positiven Zahlen wirkt sich nicht auf das Ungleichheitszeichen aus:

  ${-2} \leq 4~~\vert \cdot 3$

  ${-6} \leq 12$

  Aussage 2

  • Wenn man eine Ungleichung durch eine positive Zahl dividiert, dreht man das Ungleichheitszeichen immer um.

  Das ist unwahr. Denn bei der Division durch eine positive Zahl verändert sich das Ungleichheitszeichen nicht:

  $4 \geq {-2} ~~\vert :2$

  $2 \geq {-1}$

  Aussage 3

  • Wenn man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert, dreht man das Ungleichheitszeichen immer um.

  Das ist wahr. Denn man dreht das Ungleichheitszeichen bei der Multiplikation mit negativen Zahlen um:

  ${-3} \leq 5~~\vert \cdot \left( {-2} \right)$

  $6 \geq {-10}$

  Aussage 4

  • Wenn man eine Ungleichung durch eine negative Zahl dividiert, dreht man das Ungleichheitszeichen immer um.

  Das ist richtig. Man dreht das Ungleichheitszeichen bei der Division durch negative Zahlen um:

  $6 \geq {-4}~~\vert :\left( {-2} \right)$

  ${-3}\leq 2$

• Leite aus den Textaufgaben Ungleichungen ab und löse sie.

  Tipps

  Mindestens bedeutet gleich oder größer als.

  Mehr als bedeutet nur größer als.

  Beispiel:

  Paul leiht sich bei seinen Freunden manchmal $5$ Euro. Er weiß nicht mehr, bei wie vielen Freunden er sich Geld geliehen hat. Er weiß nur noch, dass er mindestens $20$ Euro Schulden hat.

  Die Ungleichung sieht dann so aus:

  $-5 \cdot x \leq -20$

  Lösung

  Aufgabe 1

  Tim hat jeden Tag der Woche, also an insgesamt $7$ Tagen, mindestens $20$ Liegestütze gemacht. Gesucht ist die Gesamtzahl der Liegestütze. „Mindestens“ bedeutet, er hat jeden Tag $20$ oder mehr Liegestütze gemacht. Also ist die Gesamtzahl größer oder gleich $7\cdot 20$:

  $\begin{array}{rcl} x & \geq & 7\cdot 20 \\ x & \geq & 140 \end{array}$

  Aufgabe 2

  Caroline hat an $4$ Tagen Nudeln gegessen. Insgesamt hat sie weniger als zwei Packungen mit je $250$ Gramm Nudeln gegessen. Gesucht ist die Grammanzahl, die sie pro Portion gegessen hat. „Weniger“ bedeutet, dass die Portion kleiner ist, als wenn sie alle $500$ Gramm Nudeln gegessen hätte. Also kannst du folgende Ungleichung aufstellen:

  $\begin{array}{rcll} 4 \cdot x & \lt & 2\cdot 250 \\ 4 \cdot x & \lt & 500 & \vert :4 \\ x & \lt & 125 \end{array}$

  Aufgabe 3

  In Sabines Haus wohnen mindestens $36$ Bewohner*innen. Gesucht sind die Bewohner*innen pro Wohnung. Insgesamt gibt es $18$ Wohnungen. „Mindestens“ bedeutet, dass es wirklich genau $36$ oder mehr Bewohner*innen sind:

  $\begin{array}{rcll} 6 \cdot 3 \cdot x & \geq & 36 \\ 18 \cdot x & \geq & 36 & \vert :18 \\ x & \geq & 2 \end{array}$

  Aufgabe 4

  Karl hat bei mehreren Freunden jeweils $10$ Euro Schulden. Er hat mehr als $50$ Euro Schulden. Gesucht ist die Zahl der Freunde, bei denen Karl Schulden hat. Ginge es nur um die Beträge, könnte man folgende Ungleichung aufstellen:

  $\begin{array}{rcl} 10 \cdot x & \gt & 50 \end{array}$

  Weil es aber um Schulden geht, sollen die Werte negativ werden. Dann muss sich allerdings das Ungleichheitszeichen umdrehen, weil das gleichbedeutend damit ist, als würde man obige Gleichung mit $-1$, also einer negativen Zahl, multiplizieren:

  $\begin{array}{rcll} {-10} \cdot x & \lt & {-50} & \vert : \left({-10} \right) \\ x & \gt & 5 \end{array}$

  Beachte, dass sich beim letzten Schritt das Ungleichheitszeichen wieder umgedreht hat.