Ungleichungen grafisch lösen

Ungleichungen grafisch lösen Übung

• Gib die gesuchte Ungleichung in Normalform an.

  Tipps

  Die Einnahmen durch eine Anzahl von Verkaufsartikeln berechnest du wie folgt:

  Anzahl der verkauften Artikel $\cdot$ Preis pro Stück $=$ Einnahmen.

  Beispiel:

  Um von der Ungleichung ${-4x}+ 2y\leq 10$ zu der Normalform zu gelangen, stellst du sie so um, dass das $y$ auf einer Seite isoliert steht:

  $ \begin{array}{llll} {-4x}+2y & \leq & 10 & \vert {+4x} \\ 2y & \leq & 4x + 10 & \vert {:2}\\ y & \leq & (4x + 10){:2} & \\ y & \leq & 2x + 5 & \end{array} $

  Da du dabei nur durch eine positive Zahl dividierst, dreht sich das Ungleichheitszeichen nicht um.

  Lösung

  Aus der Situation von Tante Susi sind uns folgende Angaben bekannt:

  • $15$ gebackene Kekse
  • $10$ Gläser Limonade
  • $50\,€$ Kosten für die Zutaten

  Zunächst stellen wir eine Ungleichung auf, in welcher die Einnahmen durch die Kekse und die Limonade mindestens $50\,€$ entsprechen. Dabei erhalten wir die folgende Ungleichung:

  $\underbrace{15\cdot x}_{\substack{\text{Einnahmen durch Kekse}}}+\underbrace{10\cdot y}_{\substack{\text{Einnahmen durch Limonade}}}\geq\underbrace{50}_{\substack{\text{Kosten der Zutaten}}}$

  Die Ungleichung stellen wir mittels Äquivalenzumformungen so um, dass $y$ auf einer Seite allein steht. Diese Form der Ungleichung heißt Normalform:

  $ \begin{array}{llll} 15x+10y & \geq & 50 & \vert -15x \\ 10y & \geq & -15x + 50 & \vert :10\\ y & \geq & -1,\!5x + 5 & \end{array} $

  Zuletzt testen wir, wie viel Tante Susi einnehmen würde, wenn sie für $15$ Kekse je $1\,€$ und für $10$ Gläser Limonade je $3\,€$ verlangt. Wir setzen daher für den Preis für einen Keks $x=1$ und für den Preis für ein Glas Limonade $y=3$ in unsere Ungleichung ein. Dabei verwenden wir die ursprüngliche Form der Ungleichung:

  $\begin{array}{llll} 15\cdot 1 +10\cdot 3& \geq &50 \\ 15+30 &\geq &50 \\ 45 &\geq& 50 & \text{Diese Aussage ist falsch!} \end{array} $

  Die Aussage dieser Ungleichung ist falsch. Daher wissen wir, dass Tante Susi höhere Preise verlangen muss, um das Geld für die Zutaten einzunehmen.

  Alternativer Rechenweg

  Wir können den Punkt $(1\vert 3)$ auch in die Normalform unserer Ungleichung einsetzen:

  $ \begin{array}{lll} 3 & \geq & -1,\!5\cdot 1+5 \\ 3 & \geq & 3,\!5 & \text{Diese Aussage ist falsch!} \end{array} $

  Da die resultierende Aussage falsch ist, liegt der Punkt $(1\vert 3)$ nicht in der Lösungsmenge unserer Ungleichung. Somit wird auch auf diesem Weg klar, dass die Preise für Kekse und Limonaden zu gering sind und Tante Susi weniger als $50\,€$ verdienen würde.

• Skizziere die Lösungsmengen der gegebenen Ungleichungen.

  Tipps

  Folgendes gilt für die Relationszeichen:

  $y > x\ \rightarrow$ „$y$ ist größer als $x$“

  $y\geq x\ \rightarrow$ „$y$ ist größer als $x$ oder gleich $x$“

  $y < x\ \rightarrow$ „$y$ ist kleiner als $x$“

  $y \leq x\ \rightarrow$ „$y$ ist kleiner als $x$ oder gleich $x$“

  Folgende Regeln gelten für die Relationszeichen bei der graphischen Darstellung der Lösungsmenge im Koordinatensystem:

  $y > x\ \rightarrow$ gestrichelte Gerade; Punkte oberhalb der Geraden sind Lösungen

  $y \geq x\ \rightarrow$ durchgezogene Gerade; Punkte auf und oberhalb der Geraden sind Lösungen

  $y < x\ \rightarrow$ gestrichelte Gerade; Punkte unterhalb der Geraden sind Lösungen

  $y \leq x\ \rightarrow$ durchgezogene Gerade; Punkte auf und unterhalb der Geraden sind Lösungen

  Lösung

  Das Vorgehen in dieser Aufgabe wird am ersten Beispiel verdeutlicht:

  Gegeben ist folgende Ungleichung in Normalform:

  $y\leq x+2$

  Da $y$ kleiner gleich $x+2$ ist, zeichnen wir die Gerade $y=x+2$ mit einer durchgezogenen Linie in unser Koordinatensystem ein. Die Linie ist durchgezogen, da auch alle diejenigen Werte $y$, welche auf der Geraden liegen, Teil unserer Lösungsmenge sind. Zudem schraffieren wir den Bereich unterhalb der Geraden $y=x+2$. Denn auch alle diejenigen Werte $y$, die kleiner sind als $x+2$, liegen in unserer Lösungsmenge.

  Auf diese Weise erhalten wir die hier abgebildete graphische Darstellung der Lösungsmenge.

• Ermittle die graphische Lösungsmenge der gegebenen Ungleichung.

  Tipps

  Das Ungleichheitszeichen dreht sich um, sobald auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert wird.

  Schaue dir folgendes Beispiel an:

  $y>x+2$

  1. Die Ungleichung ist bereits in ihrer Normalform.
  2. Für die Gerade $y=x+2$ wird eine gestrichelte Linie gezeichnet.
  3. Der Bereich über der Geraden wird schraffiert.

  Lösung

  Wir möchten die Lösungsmenge der Ungleichung $6x-3y\leq 18$ graphisch in einem Koordinatensystem darstellen. Hierfür muss die gegebene Ungleichung zunächst in die Normalform gebracht werden. Also stellen wir die Ungleichung so um, dass die $y$-Variable auf einer Seite der Ungleichung isoliert ist:

  $ \begin{array}{llll} 6x-3y & \leq & 18 & \vert -6x \\ -3y & \leq & -6x+18 & \vert :(-3) \\ y & \geq & 2x - 6 & \end{array} $

  Das Ungleichheitszeichen dreht sich im letzten Schritt um, da beide Seiten der Ungleichung durch eine negative Zahl geteilt werden.

  Wegen des „$=$“ in der Ungleichung $y \geq 2x - 6$ wird die Gerade $y=2x-6$ als durchgezogene Linie in ein Koordinatensystem gezeichnet. Alle Punkte, die auf der Geraden $y=2x-6$ liegen, sind Lösung der Ungleichung.

  Wegen des „$y\gt$ ...“ in der Ungleichung $y \geq 2x - 6$ wird außerdem der Bereich oberhalb der Geraden $y=2x-6$ schraffiert. Denn alle Werte in diesem Bereich sind ebenfalls Lösung der gegebenen Ungleichung.

• Ordne den gegebenen Ungleichungen die zugehörige Normalform zu.

  Tipps

  Die Ungleichungen in der unteren Zeile stehen alle in der Normalform. Das heißt, sie liegen nach $y$ aufgelöst vor.

  Um zu sehen, welche Ungleichungen zusammengehören, musst du als Erstes auch die oberen Ungleichungen in ihre Normalform bringen.

  Möchtest du eine Ungleichung in ihre Normalform bringen, musst du sie mittels Rechenoperationen auf beiden Seiten umstellen.

  Achtung: Bei der Multiplikation sowie Division mit einer negativen Zahl wird das Ungleichheitszeichen umgedreht.

  Zu sehen ist die Umformung einer Ungleichung in ihre Normalform, bei der das Ungleichheitszeichen durch Division mit einer negativen Zahl auf beiden Seiten umgedreht wird.

  Hier siehst du die Umformung einer anderen Ungleichung in ihre Normalform. Dabei dreht sich das Ungleichheitszeichen durch Division mit einer positiven Zahl auf beiden Seiten nicht um.

  Lösung

  Es sind vier Ungleichungen gegeben, welche in ihre Normalform gebracht werden sollen. Im Folgenden wird die ausführliche Umstellung am ersten Beispiel gezeigt und es wird die jeweilige Lösung der anderen drei Beispiele angegeben.

  Erstes Beispiel: $~7,5x-5y\leq 15$

  $ \begin{array}{llll} 7,\!5x-5y & \leq & 15 & \vert -7,\!5x \\ -5y & \leq & -7,\!5x+15 & \vert :(-5) \\ y & \geq & 1,\!5x-3 \end{array} $

  Da im letzten Schritt durch eine negative Zahl dividiert wird, muss das Ungleichheitszeichen umgedreht werden.

  Zweites Beispiel: $~-15x+10y\leq -30$

  $~ y\leq 1,\!5x-3$

  Drittes Beispiel: $~3x-2y<6$

  $~ y >1,\!5x-3$

  Viertes Beispiel: $~-6x+4y<-12$

  $~ y < 1,\!5x-3$

• Beschreibe das allgemeine Vorgehen bei der graphischen Darstellung der Lösungsmenge einer Ungleichung.

  Tipps

  Die Normalform einer Ungleichung mit zwei Variablen ist diejenige Form, in welcher die Ungleichung aufgelöst nach der abhängigen Variablen (meist als $y$-Variable bezeichnet) vorliegt. Diese Form der Ungleichung erinnert an eine Gerade.

  Durch Umformungen einer Ungleichung kann sich das Ungleichheitszeichen umdrehen. Dies geschieht jedes Mal, wenn du auf beiden Seiten:

  • durch eine negative Zahl dividierst oder
  • mit einer negativen Zahl multiplizierst.

  Beispiel:

  Um die Ungleichung ${-4x}+ 2y\leq 10$ graphisch darzustellen, musst du sie erst in die Normalform $y\leq 2x + 5$ bringen. Dabei dreht sich das Ungleichheitszeichen nicht um.

  Wegen des „$=$“ im „$\leq$“ zeichnest du die zugehörige Gerade als durchgezogene Linie.
  Wegen des „$y\le$ ...“ in $y\leq 2x + 5$ gehören alle Punkte unterhalb der Geraden zur Lösungsmenge der Ungleichung.

  Lösung

  Wenn du die Lösungsmenge einer Ungleichung graphisch darstellen möchtest, dann gehst du wie folgt vor:

  1. Bringe die Ungleichung in die Normalform. Dafür nimmst du Äquivalenzumformungen vor, sodass die abhängige Variable auf einer Seite isoliert steht. Üblicherweise wird die abhängige Variable als $y$ bezeichnet.
  2. Drehe bei der Umformung deiner Ungleichung, falls nötig, das Relationszeichen um. Darauf musst du bei jeder Multiplikation sowie Division mit einer negativen Zahl achten.
  3. Liegt deine Ungleichung in der Normalform vor, erinnert sie an eine Geradengleichung mit Steigung $m$ und $y$-Achsenschnitt $b$. Zeichne diese Gerade in ein Koordinatensystem.
  4. Achte dabei auf das Relationszeichen: Zeichne die Gerade als durchgezogene oder gestrichelte Linie.
  5. Markiere den Bereich oberhalb oder unterhalb der Geraden nach folgenden Regeln:

  $\begin{array}{l|l} \text{Normalform} & \text{Graph der L}\ddot{\text{o}}\text{sungsmenge} \\ \hline y\gt mx+b & \text{gestrichelte Gerade; Punkte oberhalb der Geraden sind L}\ddot{\text{o}}\text{sungen} \\ y\geq mx+b& \text{durchgezogene Gerade; Punkte auf und oberhalb der Geraden sind L}\ddot{\text{o}}\text{sungen} \\ y\lt mx +b & \text{gestrichelte Gerade; Punkte unterhalb der Geraden sind L}\ddot{\text{o}}\text{sungen} \\ y\leq mx+b & \text{durchgezogene Gerade; Punkte auf und unterhalb der Geraden sind L}\ddot{\text{o}}\text{sungen} \end{array}$

• Bestimme die Ungleichungen zu den abgebildeten graphischen Lösungsmengen.

  Tipps

  Bringe die gegebenen Ungleichungen zunächst in die Normalform. Bei der Normalform steht das $y$ allein auf einer Seite der Ungleichung.

  Beachte bei deinen Umformungen das Ungleichheitszeichen. Dieses musst du umdrehen, sobald du eine Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl durchführst.

  Folgende Regeln gelten für die Relationszeichen bei der graphischen Darstellung der Lösungsmenge im Koordinatensystem:

  $y>x\ \rightarrow$ gestrichelte Gerade; Punkte oberhalb der Geraden sind Lösungen

  $y\geq x\ \rightarrow$ durchgezogene Gerade; Punkte auf und oberhalb der Geraden sind Lösungen

  $y < x\ \rightarrow$ gestrichelte Gerade; Punkte unterhalb der Geraden sind Lösungen

  $y\leq x\ \rightarrow$ durchgezogene Gerade; Punkte auf und unterhalb der Geraden sind Lösungen

  Lösung

  Die gegebenen Ungleichungen lauten in Normalform wie folgt:

  $ \begin{array}{lll} 3y-15\leq 6x & \Leftrightarrow & y\leq 2x+5 \\ \\ 5x-5y\geq -20 & \Leftrightarrow & y\leq x+4 \\ \\ -\frac{7}{2}x+5> -y & \Leftrightarrow & y>\frac{7}{2}x-5 \\ \\ -4x+5> -y & \Leftrightarrow & y>4x-5 \\ \\ y\geq 2x+5 & \Leftrightarrow & y\geq 2x+5 \\ \\ 2y-6x< -10 & \Leftrightarrow & y<3x-5 \end{array} $

  Erster Graph

  Die hier abgebildete graphische Lösung entspricht der ersten Abbildung aus der Aufgabe: Dargestellt ist eine durchgezogene Gerade zu der Geradengleichung $y=2x+5$. Zudem ist der untere Bereich der Geraden markiert. Es handelt sich also um die Lösungsmenge der Ungleichung $3y-15\leq 6x ~ \Leftrightarrow ~ y\leq 2x+5$.

  Zweiter Graph

  In dieser Abbildung sehen wir die durchgezogene Gerade zu der Funktionsgleichung $y=x+4$. Wieder ist der untere Bereich der Geraden gekennzeichnet. Demnach handelt es sich um die graphische Lösung der Ungleichung $5x-5y\geq -20 ~ \Leftrightarrow ~ y\leq x+4$.

  Dritter Graph

  Die hier dargestellte Gerade ist gestrichelt und wird durch die Funktionsgleichung $y=\frac{7}{2}x-5$ beschrieben. Diesmal ist der obere Bereich der Geraden markiert. Also sehen wir die graphische Lösung der Ungleichung $-\frac{7}{2}x+5> -y ~ \Leftrightarrow ~ y>\frac{7}{2}x-5$.

  Vierter Graph

  Erneut liegt eine gestrichelte Gerade vor. Es handelt sich hierbei um die Gerade zu der Funktionsgleichung $y=3x-5$. Der markierte Bereich befindet sich unterhalb der Geraden, sodass dieser die Lösungsmenge der Ungleichung $2y-6x< -10 ~ \Leftrightarrow ~ y<3x-5$ darstellt.