Spurpunkte - Schatten einer Figur einzeichnen

Spurpunkte - Schatten einer Figur einzeichnen Übung

• Stelle die Geradengleichung der Geraden auf, die durch die beiden oberen Punkte des Rechtecks und in Richtung der Lichtstrahlen verlaufen.

  Tipps

  Der Stützvektor einer Geraden ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden.

  Der Richtungsvektor ist in der Parametergleichung daran zu erkennen, dass er mit dem Parameter multipliziert wird.

  Lösung

  Die beiden oberen Ecken des Rechteckes werden mit $C$ und $D$ bezeichnet. Die Richtung der Lichtstrahlen ist durch den Vektor $\vec{v}$ gegeben.

  Um eine Parametergleichung $g: \vec{x} = \vec{p}+t\cdot \vec{v}$ einer Geraden anzugeben benötigt man:

  • einen Stützvektor $\vec{p}$. Dies ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden.
  • einen Richtungsvektor $\vec{v}$. Dieser ist für beide Geraden gegeben durch die Richtung des Lichtstrahls.

  Somit lautet die Parametergleichung der Geraden durch $C$:

  $g_C:\vec x=\begin{pmatrix}2 \\6\\4 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}-1 \\2\\-1 \end{pmatrix}$

  und die der Geraden durch $D$:

  $g_D:\vec x=\begin{pmatrix}2 \\4\\4 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}-1 \\2\\-1 \end{pmatrix}$.

• Bestimme den Spurpunkt der Geraden $g_C$ mit der $xy$-Koordinatenebene.

  Tipps

  Spurpunkte sind die Schnittpunkte von Geraden im Raum mit den Koordinatenebenen. Gesucht ist hier der Spurpunkt, also der Schnittpunkt, mit der $xy$-Koordinatenebene.

  Welche Bedingung muss erfüllt sein?

  Der gesuchte Schnittpunkt muss die $z$-Koordinate $z=0$ haben.

  Lösung

  Jeder Punkt der $xy$-Koordinatenebene hat die $z$-Koordinate $z=0$.

  Also hat auch der gesuchte Spurpunkt die $z$-Koordinate $0$.

  Dies führt zu der Gleichung $0=4-t$. Dies ist äquivalent zu $t=4$. Dieser Parameter wird in der Parametergleichung der Geraden eingesetzt:

  $g_C:\vec x=\begin{pmatrix}2 \\6\\4 \end{pmatrix}+4\cdot \begin{pmatrix}-1 \\2\\-1 \end{pmatrix}$.

  Somit erhält man die Koordinaten des Spurpunktes $S_{xy}(-2|14|0)$.

• Ermittle die Gleichung der Geraden, die dem Lichtstrahl entspricht, welcher auf die Spitze des Eiffelturms trifft.

  Tipps

  Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines der beiden bekannten Punkte der Geraden.

  Der Richtungsvektor ist der Verbindungsvektor der beiden Punkte.

  Der Richtungsvektor ist daran zu erkennen, dass er mit dem Parameter multipliziert wird.

  Der Verbindungsvektor zweier Punkte $A$ und $B$ ist:

  $\vec{AB}=\vec{OB} - \vec{OA}$.

  Lösung

  Für die Parametergleichung $g:~\vec{x}=\vec{p}+t\cdot \vec{v}$ einer Geraden benötigt man

  • einen Stützvektor $\vec{p}$. Dies ist der Ortsvektor eines Punktes der Geraden.
  • und einen Richtungsvektor $\vec{v}$. Bei 2 gegebenen Punkten ist dies der Verbindungsvektor der beiden Punkte.

  Die Spitze des Eifelturms befindet sich in $E(0|0|324)$. Er wird von einem Strahler im Punkt $S(-200|-200|500)$ angestrahlt. Die Geradengleichung lautet also:

  $\begin{align*} g:\vec x&=\vec{OE}+t\cdot \vec{ES}\\ &=\begin{pmatrix}0 \\0\\324 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}-200 \\-200\\176 \end{pmatrix} \end{align*}$.

  Dies ist nur eine mögliche Darstellung. Man hätte auch die Koordinaten des Strahlers als Stützvektor nehmen können und den Verbindungsvektor $\vec{SE}$ als Richtungsvektor.

• Berechne die Länge des Schattens des Eiffelturmes.

  Tipps

  Es ist die Gleichung $0=324+176t$ zu lösen.

  Der Abstand zweier Punkte $A(a_1|a_2|a_3)$ und $B(b_1|b_2|b_3)$ zueinander wird mit der Formel

  $d=\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2}$

  berechnet.

  Lösung

  Es muss der Spurpunkt der Geraden mit der $xy$-Koordinatenebene berechnet werden; das heißt $z=0$.

  Dies führt zu der Gleichung $0=324+176t$, welche durch

  $t=-\frac{324}{176}$

  gelöst wird. Dieses $t$ wird in der Geradengleichung eingesetzt:

  $g:\vec x=\begin{pmatrix}0 \\0\\324 \end{pmatrix}-\frac{324}{176}\cdot \begin{pmatrix}-200 \\-200\\176 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}368,2 \\368,2\\0 \end{pmatrix}$.

  Der gesuchte Spurpunkt ist also $S_{xy}(368,2|368,2|0)$.

  Der Abstand dieses Punktes zum Koordinatenursprung wird mit der Abstandsformel für 2 Punkte berechnet:

  $d=\sqrt{368,2^2+368,2^2}\approx 520,7$.

  Die Länge des Schattens beträgt $520,7~m$.

• Ergänze die Erklärung zu Spurpunkten.

  Tipps

  Ein beliebiger Punkt der $xy$-Koordinatenebene lautet $(x|y|0)$. Das heißt die $z$-Koordinate ist $0$.

  Ebenso sind beliebige Punkte der beiden anderen Koordinatenebenen gegeben.

  Da eine Koordinate bekannt ist, entsteht eine Gleichung, in welcher der Parameter unbekannt ist.

  Lösung

  Spurpunkte sind die Schnittpunkte von Geraden im Raum mit den Koordinatenebenen.

  Für jede der Koordinatenebenen ist eine Koordinate $0$:

  • $xy$-Koordinatenebene: $z=0$,
  • $xz$-Koordinatenebene: $y=0$ und
  • $yz$-Koordinatenebene: $x=0$.

  Also wird in der Geradengleichung die entsprechende Koordinate $0$ gesetzt. Die so entstandene Gleichung wird nach dem Parameter aufgelöst.

  Der gefundene Wert des Parameters wird in der Geradengleichung eingesetzt. So erhält man die Koordinaten des Spurpunktes.

• Ermittle den Schatten des Vierecks $ABCD$ in der $yz$-Ebene, wenn ein Lichtstrahl in Richtung $\vec{v}$ fällt.

  Tipps

  Bestimme zu jedem der Eckpunkte die Parametergleichung der Geraden

  • mit dem Ortsvektor des Punktes als Stützvektor sowie
  • $\vec v$ als Richtungsvektor.

  Zur Berechnung der Spurpunkte in der $yz$-Koordinatenebene muss $x=0$ sein.

  $x=0$ führt zu einer Gleichung, welche nach dem Parameter aufgelöst wird.

  Den Lösungsparameter setzt du wieder in die Geradengleichung ein.

  Lösung

  „Der Schatten in der $yz$-Ebene“ bedeutet, dass die Spurpunkte von Geraden mit dieser Ebene berechnet werden müssen. Es muss also $x=0$ sein.

  Es müssen für die vier Eckpunkte die Geraden aufgestellt werden und die zugehörigen Spurpunkte berechnet werden:

  $g_1:\vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -2 \\ -1\\ -2 \end{pmatrix}$.

  • Es ist die Gleichung $0=1-2r$ zu lösen.
  • Die Lösung ist $r=0,5$.
  • Dieses $r$ wird in der Parametergleichung eingesetzt.
  • Der Spurpunkt ist $A'(0|0,5|0)$.

  $g_2:\vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -2 \\ -1\\ -2 \end{pmatrix}$.

  • Es ist die Gleichung $0=2-2r$ zu lösen.
  • Die Lösung ist $r=1$.
  • Dieses $r$ wird in der Parametergleichung eingesetzt.
  • Der Spurpunkt ist $B'(0|1|0)$.

  $g_3:\vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ 3 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -2 \\ -1\\ -2 \end{pmatrix}$.

  • Es ist die Gleichung $0=3-2r$ zu lösen.
  • Die Lösung ist $r=1,5$.
  • Dieses $r$ wird in der Parametergleichung eingesetzt.
  • Der Spurpunkt ist $C'(0|-0,5|0)$.

  $g_4:\vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -2 \\ -1\\ -2 \end{pmatrix}$.

  • Es ist die Gleichung $0=1-2r$ zu lösen.
  • Die Lösung ist $r=0,5$.
  • Dieses $r$ wird in der Parametergleichung eingesetzt.
  • Der Spurpunkt ist $D'(0|1,5|1)$.