Punktsymmetrische Figuren

Punktsymmetrische Figuren Übung

• Vervollständige den Text zum Kreuz König.

  Tipps

  Der Buchstabe „N“ hat auch so eine andere Symmetrie.

  Du findest keine Symmetrieachse. Und trotzdem sieht der Buchstabe symmetrisch aus.

  Fallen dir noch weitere Bilder ein mit so einer Symmetrie?

  Verbinde doch da mal Punkte, die gleich aussehen.

  Schau mal: Die Verbindungsgeraden treffen sich genau in der Mitte.

  Lösung

  Eine neue Form der Symmetrie.

  Der Kreuz König sieht doch symmetrisch aus. Nur leider können wir keine Symmetrieachse finden.

  Das symmetrische Aussehen kommt daher, dass Punkte des Kreuz Königs zugehörige Bildpunkte besitzen.

  Verbinde doch mal die entsprechende Punkte mit den Bildpunkten. Was fällt dir dabei auf?

  Richtig: Die Verbindungsgeraden schneiden sich alle in einem gemeinsamen Punkt. Und diesen Punkt bezeichnet man als das Symmetriezentrum.

  Fällt dir noch etwas auf? Die Geraden schneiden sich genau in ihrer Mitte. Das bedeutet, dass der Abstand von Punkt und Bildpunkt zum Symmetriezentrum jeweils gleich ist. Dies ist eine sehr wichtige Eigenschaft.

• Beschreibe die Punktspiegelung eines Dreiecks an einem Symmetriezentrum.

  Tipps

  Eine Punktspiegelung kann auch durch Achsenspiegelungen durchgeführt werden.

  Wie viele Achsen brauchst du dafür?

  Welche besondere Lage müssen die Achsen zueinander haben?

  Beachte, dass Bildpunkte mit Strichen oben rechts markiert sind.

  Lösung

  Eine Punktspiegelung kann auch durch zweimalige Achsenspiegelung durchgeführt werden. Die Symmetrieachsen, an denen du spiegelst, müssen senkrecht stehen und durch das vorgegebene Symmetriezentrum verlaufen.

  • Wenn du eine Figur spiegeln möchtest, so spiegelst du sie zuerst an der einen Achse. Du erhältst eine erste Bildfigur. Die jeweiligen Bildpunkte werden mit einem Strich bezeichnet.
  • Und dann spiegelst du noch einmal an der anderen Achse. Du erhältst die endgültige Bildfigur. Die jeweiligen Bildpunkte werden mit 2 Strichen bezeichnet.

• Bestimme weitere Beispiele für punktsymmetrische Figuren.

  Tipps

  Es gibt zwei Figuren, die sind gleichzeitig punksymmetrisch und achsensymmetrisch.

  Es gibt Figuren, die sehen irgendwie symmetrisch aus. Du kannst aber keine Symmetrieachse finden.

  Dann probiere doch mal zueinander gehörende Punkte zu verbinden wie bei dem Buchstaben „N“.

  Ein „Z“ sieht wie ein hingelegtes „N“ aus.

  Beim Quadrat und Rechteck kommen für jeden Punkt verschiedene Bildpunkte in Frage. Gibt es Bildpunkte, sodass eine Punktspiegelung vorliegt?

  Lösung

  Merke dir: Bei der Achsensymmetrie gibt es eine Symmetrieachse und der Abstand von Punkt und Bildpunkt zur Symmetrieachse ist jeweils gleich. Bei der Punktsymmetrie gibt es ein Symmetriezentrum und der Abstand von Punkt und Bildpunkt zum Symmetriezentrum ist jeweils gleich.

  Ganz wichtig: Es gibt Figuren, die sind achsensymmetrisch und punktsymmetrisch.

  • Dies ist z.B. beim Quadrat und beim Rechteck der Fall. Auch ein Kreis ist beides. Das Symmetriezentrum liegt dabei direkt in der Mitte.

  Andere Figuren sind nur achsensymmetrisch:

  • Ein gleichschenkliges Dreieck und der Buchstabe „M“ sind achsensymmetrisch. Sie haben jeweils nur eine Symmetrieachse. Beachte dabei: Ist ein gleichschenklige Dreieck sogar rechtwinklig, so weist es sogar drei Symmetrieachsen auf.

  Viele Figuren sind auch nur punktsymmetrisch:

  • Ein Parallelogramm und der Buchstabe „Z“ sind punktsymmetrisch. Es gibt aber hierbei keine Symmetrieachse.

• Ordne der oberen Figur die zugehörige Punktspiegelung der Figur zu.

  Tipps

  Eine Punktspiegelung kannst du auch durch eine zweimalige Achsenspiegelung erreichen. Dabei stehen die Spiegelungsachsen senkrecht aufeinander.

  Eine Punktspiegelung kann auch durch eine Drehung um 180° mit dem Symmetriezentrum als Drehpunkt durchgeführt werden.

  Stelle dir bei den Figuren die Drehung vor.

  Lösung

  Schauen wir uns zunächst einmal Achsen- und Punktsymmetrie im Vergleich an: Zu einem „A“ gehört als Punktspiegelung das auf dem Kopf stehende „A“. Da „A“ achsensymmetrisch ist, ist der Buchstabe an einer Achse gespiegelt wieder der Buchstabe selbst.

  Eine Punktspiegelung kann auf zwei verschiedenen Wegen durchgeführt werden:

  1. zweimalige Achsenspiegelung an zueinander senkrechten Achsen
  2. Drehung um 180° um das Symmetriezentrum

  Am ehesten siehst du die richtige Lösung, wenn dir bei den Figuren die Drehung vorstellst. Das Symmetriezentrum liegt dabei jeweils genau in der Mitte:

  • Bei dem Ellipsenausschnitt kannst du das dazugehörige Spiegelbild an dem nicht gefärbten Teil durch Drehung erkennen.
  • Bei dem Puzzleteil betrachtest du zum Beispiel eine Ausstülpung und kannst dann das Bild durch Drehung wiedererkennen.

• Ergänze die Aussagen zur Punkt- und Achsensymmetrie.

  Tipps

  Der Buchstabe „N“ ist punktsymmetrisch. Welche Rolle spielt das Symmetriezentrum?

  Der Buchstabe „M“ ist achsensymmetrisch. Welche Rolle spielt die Symmetrieachse?

  Lösung

  Wahrscheinlich kennst du bereits die Achsensymmetrie: Dort ist der Abstand entsprechender Punkte zur Symmetrieachse gleich.

  Hier lernst du eine neue Form der Symmetrie. Der Buchstabe „N“ ist nicht achsensymmetrisch, dafür aber punktsymmetrisch:

  • Die Verbindungsgeraden eines Punktes P und seines Bildpunktes P' schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt. Dies ist das Symmetriezentrum.
  • Diese Verbindungsgeraden schneiden sich genau in der Mitte. Damit ist der Abstand entsprechender Punkte bei Punktsymmetrie zum Symmetriezentrum gleich.

• Untersuche die folgenden Aussagen zu Symmetrien.

  Tipps

  Zur Punktsymmetrie gehört ein Symmetriezentrum. Welche zwei anderen Möglichkeiten gibt es, Punktspiegelungen durchzuführen? Welche Rolle spielt dabei das Symmetriezentrum?

  Drehe mal den Buchstaben „H“ um 180°.

  Bei der Achsensymmetrie gibt es eine Symmetrieachse, an der du die Figur spiegeln kannst.

  Lösung

  Nur die Antworten 2, 3 und 5 sind richtig:

  1. Bei Achsensymmetrie ist der Abstand von Punkt und Bildpunkt zur Symmetrieachse gleich.

  2. Ein Kreis ist tatsächlich punktsymmetrisch. Jeder Punkt auf dem Kreisrand hat den gleichen Abstand zum Mittelpunkt. Dann haben auch Punkt und Bildpunkt den gleichen Abstand zum Mittelpunkt. Der Mittelpunkt ist das Symmetriezentrum.

  3. Anstatt eine Punktspiegelung durchzuführen, kannst du auch

  • eine Drehung um 180° mit dem Symmetriezentrum als Drehzentrum durchführen.
  • zweimal eine Achsenspiegelung durchführen. Achte dabei, dass die Achsen senkrecht stehen müssen.

  4. Gleichschenklige Dreiecke sind achsensymmetrisch. Sie sind nicht punktsymmetrisch.

  5. Der Buchstabe „H“ ist punktsymmetrisch. Drehst du das „H“ im Zentrum um 180° erhältst du wieder den gleichen Buchstaben.

  6. Gleichseitige Dreiecke sind achsensymmetrisch, aber nicht punktsymmetrisch. Als Symmetrieachsen kannst du eine der drei Mittelsenkrechten nehmen.