Punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch?
Symmetrische Figuren können punkt- oder achsensymmetrisch sein. Punktsymmetrie bedeutet, dass sich die Figur nach einer $180^\circ$-Drehung nicht ändert, während bei der Achsensymmetrie die Figur längs einer Linie zu zwei deckungsgleichen Teilen zusammenklappbar ist. Entdecke, wie Symmetrien Funktionsgraphen und Alltagsobjekte beeinflussen! Interessiert? Dies und mehr findest du im Text!
- Symmetrische Figuren – Punktsymmetrie und Achsensymmetrie
- Punktsymmetrie – Definition
- Achsensymmetrie – Definition
- Punktsymmetrie und Achsensymmetrie – Unterschied
- Punkt- und Achsensymmetrie – Beispiele
- Punkt- und Achsensymmetrie – Anwendungen
- Punkt- und Achsensymmetrie bei Funktionsgraphen
- Ausblick – das lernst du nach Punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch?
- Punkt- und Achsensymmetrie – Zusammenfassung
- Häufig gestellte Fragen zur Punkt- und Achsensymmetrie
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Grundlagen zum Thema Punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch?
Symmetrische Figuren – Punktsymmetrie und Achsensymmetrie
Geometrische Figuren können, genauso wie alle möglichen Objekte aus unserem Alltag, symmetrisch sein. Der Begriff Symmetrie bezeichnet die Eigenschaft, dass ein Objekt durch Bewegungen auf sich selbst abgebildet werden kann, also trotz einer Bewegung, wie zum Beispiel einer Drehung, unverändert erscheint.
Symmetrien kommen dort vor, wo Formen gewisse Regelmäßigkeiten haben. In der Mathematik betrachten wir verschiedene Symmetrien, um die Regelmäßigkeiten der Figuren zu beschreiben – beispielsweise Punktsymmetrie und Achsensymmetrie. Erinnern wir uns daran, was die verschiedenen Begriffe bedeuten.
Punktsymmetrie – Definition
Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um $180^\circ$ genauso aussieht wie vor der Drehung. Den Punkt, um den gedreht wird, nennt man das Symmetriezentrum. Drehen wir eine punktsymmetrische Figur um $180^\circ$ um das Symmetriezentrum, so ist die gedrehte Figur identisch mit der nicht gedrehten Figur.
Punktsymmetrische Figuren
Punktsymmetrische Figuren sind zum Beispiel
- ein Quadrat,
- ein Rechteck,
- ein Parallelogramm,
- oder ein Kreis.
Achsensymmetrie – Definition
Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn man sie so längs einer geraden Linie zusammenklappen kann, dass dabei die beiden Teile der Figur genau zur Deckung kommen. Die Gerade, an der man die Figur zusammenklappen kann, heißt Symmetrieachse. Klappen wir eine Figur längs ihrer Symmetrieachse zusammen, so stellen wir fest, dass die Teile der Figur zu beiden Seiten dieser Achse deckungsgleich sind und durch das Zusammenklappen zur Deckung gebracht werden.
Achsensymmetrische Figuren
Achsensymmetrische Figuren sind zum Beispiel
- ein Rechteck,
- ein Quadrat,
- ein Drachenviereck,
- oder eine Raute.
Kennst du das?
Vielleicht hast du schon einmal einen Schmetterling genau in der Mitte betrachtet. Seine beiden Flügel sehen fast identisch aus und sind zueinander gespiegelt. Das ist ein Beispiel für Achsensymmetrie in der Natur.
Punktsymmetrie und Achsensymmetrie – Unterschied
Damit eine geometrische Figur achsensymmetrisch ist, muss es also mindestens eine Achse geben, an der wir die Funktion knicken bzw. spiegeln können, sodass beide Hälften der Figur genau deckungsgleich übereinander liegen. Im Gegensatz dazu muss es bei einer punktsymmetrischen Figur einen Punkt geben, das sogenannte Symmetriezentrum, an dem wir spiegeln können, sodass die Figur auf sich selbst abgebildet wird. Das entspricht einer Drehung um $180^{\circ}$.
Fehleralarm
Ein häufiger Fehler ist es, zu denken, dass eine punktsymmetrische Figur auch achsensymmetrisch sein muss. Das ist nicht der Fall, die Symmetrieeigenschaften sind unabhängig voneinander.
Eine Figur kann punkt- oder achsensymmetrisch sein. Sie kann auch beide Symmetrien gleichzeitig besitzen oder gar nicht symmetrisch sein. Figuren, die nicht symmetrisch sind, nennt man auch asymmetrisch.
Punkt- und Achsensymmetrie – Beispiele
Wir betrachten einige geometrische Grundfiguren und beschreiben ihre Symmetrien.
- Ein Parallelogramm ist punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt des Parallelogramms. Das Parallelogramm ist aber nicht achsensymmetrisch. Klappst du es zum Beispiel längs einer Achse durch das Symmetriezentrum zusammen, so kommen die beiden Teile dadurch nicht zur Deckung.
- Drehst du das symmetrische Trapez um $180^\circ$ um einen Punkt in seiner Mitte, so ist das gedrehte Trapez nicht mit dem nicht gedrehten Trapez identisch. Das Trapez ist also nicht punktsymmetrisch. Klappst du es aber längs der Mittelsenkrechten seiner parallelen Seiten zusammen, so kommen die beiden Hälften rechts und links dieser Mittelsenkrechten genau zur Deckung. Das Trapez ist also achsensymmetrisch und die Mittelsenkrechte ist die Symmetrieachse.
- Nicht jedes Trapez ist symmetrisch: Das allgemeine Trapez im Bild kannst du nicht so um $180^\circ$ drehen, dass die gedrehte mit der nicht gedrehten Figur identisch ist. Das Trapez ist also nicht punktsymmetrisch. Du findest auch keine Gerade, längs derer du das Trapez so zusammenklappen kannst, dass die Teile zu beiden Seiten der Gerade zur Deckung gebracht werden. Das Trapez ist also nicht achsensymmetrisch.
- Die Raute (oder der Rhombus) ist ein spezielles Parallelogramm und daher punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt der Raute. Die Raute ist zudem auch achsensymmetrisch. Ihre Symmetrieachsen sind die beiden Diagonalen.
Punkt- und Achsensymmetrie – Anwendungen
Im Alltag kommen Punkt- und Achsensymmetrie zum Beispiel bei Verkehrsschildern vor.
- Das Haltestellenschild ist sowohl punktsymmetrisch als auch achsensymmetrisch.
- Die Spielkarte ist nicht achsensymmetrisch, aber sie ist punktsymmetrisch.
- Die Draufsicht des Flugzeugs ist achsensymmetrisch, aber nicht punktsymmetrisch.
- Die Pizza ist weder punktsymmetrisch noch achsensymmetrisch.
Wusstest du schon?
In der Mathematik gelten viele Buchstaben des Alphabets als Beispiele für Symmetrie! Zum Beispiel ist der Buchstabe „A“ achsensymmetrisch und der Buchstabe „S“ punktsymmetrisch. Nimm dir mal ein Blatt Papier und zeichne die Achsen ein – es ist wie ein kleines Rätselspiel!
Punkt- und Achsensymmetrie bei Funktionsgraphen
Auch wenn es in Mathe um Funktionen geht, können Punkt- und Achsensymmetrie eine Rolle spielen. Wir können nämlich den Funktionsgraphen einer Funktion auf Symmetrie überprüfen.
Hierzu gibt es eine Merkregel:
- Gilt $f(x)=f(-x)$, ist der Graph der entsprechenden Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.
- Gilt $f(x)=-f(-x)$ ist der Graph der entsprechenden Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.
Beispiele:
$f(x)=x^{3}+2x$ ist punktsymmetrisch, da gilt:
$-f(-x)=-[(-x)^{3}+2(-x)]=[-x^{3}-2x]=x^{3}+2x=f(x)$
$g(x)=3x^{2}+4$ ist achsensymmetrisch, da gilt: $f(-x)=3(-x)^{2}+4=3x^{2}+4=f(x)$
Ausblick – das lernst du nach Punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch?
Nach diesem Thema kannst du dich auf die Achsenspiegelung im Koordinatensystem freuen! Mit den Themen Symmetrieachsen finden und Punksymmetrische Figuren erweiterst du dein Wissen und vertiefst deine Fähigkeiten.
Punkt- und Achsensymmetrie – Zusammenfassung
- Punktsymmetrie: Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie sich durch eine Drehung von $180^{\circ}$ nicht ändert.
- Achsensymmetrie: Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie mindestens eine gerade Linie hat, an der man sie knicken bzw. spiegeln kann, sodass beide Hälften genau deckungsgleich übereinander liegen.
- Typische mathematische Objekte, die in der Mathematik auf Symmetrie überprüft werden, sind zum Beispiel geometrische Figuren oder Funktionsgraphen.
Häufig gestellte Fragen zur Punkt- und Achsensymmetrie
Transkript Punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch?
Die Bestandteile der Windmühle haben besondere Eigenschaften. Sie weisen mehrere Arten der Symmetrie auf. Dieser Teil der Windmühle ist achsensymmetrisch. Dieser hingegen ist punktsymmetrisch. Doch woher wissen wir, welche Formen punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch sind? Um das zu entscheiden, wiederholen wir noch einmal, was punkt- und achsensymmetrisch überhaupt bedeutet. Punktsymmetrisch bedeutet, dass eine Figur durch Drehung um 180 Grad auf sich selbst abgebildet werden kann. Die Drehung erfolgt dabei um das sogenannte Symmetriezentrum. Das bedeutet: Drehen wir die Figur um 180 Grad um das Symmetriezentrum herum, ist die Figur deckungsgleich mit der ursprünglichen Form. Achsensymmetrisch hingegen bedeutet, dass eine Figur durch Zusammenklappen auf sich selbst abgebildet wird. Das Zusammenklappen erfolgt dabei an der Symmetrieachse. Das bedeutet: Klappen wir die Figur entlang der Symmetrieachse zusammen, sind beide Seiten deckungsgleich. Um ein Gefühl dafür zu bekommen, ob eine Figur punkt- oder achsensymmetrisch ist, schauen wir uns zunächst einige geometrische Grundformen an. Das ist ein Parallelogramm. Ist das Parallelogramm punktsymmetrisch? Das Symmetriezentrum liegt HIER, genau in der Mitte der Figur. Wir drehen es nun um 180 Grad um das Symmetriezentrum und sehen: Das gedrehte Parallelogramm ist deckungsgleich mit dem ursprünglichen Parallelogramm. Somit ist das Parallelogramm punktsymmetrisch. Doch ist es auch achsensymmetrisch? Versuchen wir es an dieser Achse zusammenzuklappen. Wie wir sehen, sind beide Seiten allerdings nicht deckungsgleich. Und egal an welcher anderen Achse wir das versuchen: Die Seiten sind niemals deckungsgleich. Wie sieht es bei diesem Trapez aus? Eine Drehung um 180 Grad führt nicht zu einer Deckungsgleichheit mit dem ursprünglichen Trapez. Somit ist dieses Trapez nicht punktsymmetrisch. Doch gibt es vielleicht eine Symmetrieachse, sodass es achsensymmetrisch ist? Ja, denn hier verläuft eine Symmetrieachse. Klappen wir das Trapez entlang dieser Achse zusammen, sind beide Seiten deckungsgleich. Dieses Trapez ist also achsensymmetrisch. Deshalb nennt man diese Form des Trapezes auch symmetrisches Trapez. Es gibt jedoch mehrere Trapezarten. Dieses Trapez sieht etwas anders aus. Auch hier gibt es kein Symmetriezentrum, um das wir die Figur so drehen können, dass es zu einer Deckungsgleichheit kommt. Somit ist dieses Trapez nicht punktsymmetrisch. Wir können dieses Trapez auch nicht so zusammenklappen, dass beide Seiten deckungsgleich sind. Es ist also nicht achsensymmetrisch. Gilt das auch für die Raute? Schauen wir uns an, ob die Raute – auch Rhombus genannt – punktsymmetrisch ist. Hier liegt das Symmetriezentrum. Wir können die Raute um das Symmetriezentrum drehen und sehen: Die gedrehte Raute ist deckungsgleich mit der ursprünglichen Raute. Sie ist also punktsymmetrisch. Ist sie denn auch achsensymmetrisch? Ja, denn wir können hier eine Symmetrieachse finden... und die Raute daran zusammenklappen. Somit ist die Raute achsensymmetrisch. Das gilt auch für diese Symmetrieachse. Die Raute ist also sowohl punkt- als auch achsensymmetrisch. Auch im Alltag gibt es Formen, die eine Punkt- oder Achsensymmetrie aufweisen. Schauen wir uns dieses Haltestellen-Schild einmal genauer an. Wir sehen darin den Buchstaben H. Durch ihn verläuft hier eine Symmetrieachse und hier! Somit ist das Schild auf achsensymmetrisch. Ist es auch punktsymmetrisch? Wir drehen das Schild um 180 Grad um das Symmetriezentrum und sehen: Das gedrehte und das ursprüngliche Schild sind deckungsgleich. Das Haltestellenschild ist also sowohl punkt- als auch achsensymmetrisch. Diese Spielkarte wirkt so, als sei sie achsensymmetrisch. Klappen wir sie jedoch zusammen, sehen wir: Beide Seiten sind nicht deckungsgleich. Somit ist die Spielkarte nicht achsensymmetrisch. Wir können die Karte allerdings um das hier liegende Symmetriezentrum um 180 Grad drehen. Dann sind die gedrehte und die ursprüngliche Karte deckungsgleich. Die Spielkarte ist also punktsymmetrisch. Auch in einigen Fahrzeugen lässt sich eine Symmetrie feststellen. Die Symmetrieachse verläuft hier einmal exakt durch die Mitte des Flugzeuges und teilt es somit in zwei deckungsgleiche Hälften. Das Flugzeug ist von oben betrachtet also achsensymmetrisch. Eine Drehung führt hier aber nicht zur Deckungsgleichheit und somit auch nicht zur Punktsymmetrie. Bei einigen Figuren muss man allerdings genauer hinsehen. Diese Pizza könnte zum Beispiel so wirken, als sei sie symmetrisch, da sie kreisförmig ist. Eine Drehung um 180 Grad führt allerdings nicht zu einer Deckungsgleichheit zwischen gedrehter und ursprünglichen Pizza. Ein Zusammenklappen führt hier auch nicht zu einer Deckungsgleichheit, sondern zu einer Calzone. Die Pizza ist also weder punkt- noch achsensymmetrisch. Fassen wir das noch einmal zusammen. Punktsymmetrische Figuren können durch eine Drehung um 180 Grad auf sich selbst abgebildet werden, sodass sie deckungsgleich sind. Die Drehung erfolgt dabei um das Symmetriezentrum. Achsensymmetrische Figuren können hingegen durch Zusammenklappen auf sich selbst abgebildet werden. Das Zusammenklappen erfolgt dabei an der Symmetrieachse. Aber Achtung: Manche Figuren weisen beide Symmetriearten auf. Oh, das war ja ein symmetriebegeisterter Blitz.
Punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch? Übung
-
Bestimme die korrekten Aussagen zu Punkt- und Achsensymmetrie.
TippsEine Pizza ist normalerweise nicht symmetrisch.
Jedes Parallelogramm ist punktsymmetrisch.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Jede Figur ist entweder achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch. Es gibt keine Figur, die keine Symmetrie besitzt.“
- Figuren sind nicht zwangsläufig symmetrisch. Eine Pizza ist normalerweise nicht symmetrisch.
- Jedes Parallelogramm ist nach einer solchen Drehung deckungsgleich mit der Ursprungsfigur. Das bedeutet, dass es punktsymmetrisch ist.
„Eine punktsymmetrische Figur kann durch $180^\circ$-Drehung um das Symmetriezentrum auf sich selbst abgebildet werden.“
„Klappt man eine achsensymmetrische Figur an der Symmetrieachse zusammen, sind beide Seiten deckungsgleich.“
- So kannst du Punkt- bzw. Achsensymmetrie beschreiben.
- Ein Rhombus oder auch Raute ist ein besonderes Parallelogramm. Es weist zusätzlich zur Punktsymmetrie Achsensymmetrie auf. Im Bild siehst du die Symmetrieachsen und das Spiegelzentrum.
-
Beschreibe die Symmetrie verschiedener Figuren.
TippsPunktsymmetrie heißt so, weil hier Symmetrie bezüglich eines Punktes (des Symmetriezentrums) besteht.
Faltest du das in der Aufgabe abgebildete Trapez entlang einer Achse, die senkrecht durch die Mitte der Figur verläuft, sind die beiden Teile deckungsgleich.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um $180^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur ist. Die Drehung erfolgt um das Symmetriezentrum.“
- Punktsymmetrie heißt so, weil hier Symmetrie bezüglich eines Punktes (des Symmetriezentrums) besteht.
- Achsensymmetrie heißt so, weil hier die Symmetrie bezüglich einer Achse besteht.
- Drehst du dieses Parallelogramm um $180^{\circ}$ um den Mittelpunkt, ist die Figur deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur. Es gibt allerdings keine Symmetrieachse, an der die Figur gefaltet werden könnte, sodass die beiden Teile deckungsgleich sind.
- Faltest du das in der Aufgabe abgebildete Trapez entlang einer Achse, die senkrecht durch die Mitte der Figur verläuft, sind die beiden Teile deckungsgleich. Es gibt allerdings keinen Punkt, um den die Figur um $180^{\circ}$ gedreht werden könnte, sodass die Figur deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur wäre.
-
Ermittle die Arten der Symmetrie.
TippsÜberlege dir zuerst, ob die Form des Schildes eine bestimmte Art der Symmetrie zulässt. Das Vorfahrt-gewähren-Schild (weißes Dreieck mit rotem Rand) ist ein Dreieck.
LösungÜberlege dir zuerst, ob die Form des Schildes eine bestimmte Art der Symmetrie zulässt. Anschließend kannst du überlegen, ob der Inhalt der Schilder Symmetrieeigenschaften aufweist. Dann erhältst du:
Diese Schilder sind nicht achsen- und punktsymmetrisch:
- Die Form des Stoppschilds weist zwar beide Arten der Symmetrie auf, die Beschriftung jedoch nicht.
- Das Vorgeschriebene-Vorbeifahrt-Schild (weißer Pfeil auf blauem Grund) ist zwar achsensymmetrisch, aber nicht punktsymmetrisch.
- Das Vorfahrt-gewähren-Schild (weißes Dreieck mit rotem Rand) ist aufgrund seiner Form nicht punktsymmetrisch.
- das Absolutes-Halteverbot-Schild (rotes Kreuz mit Rand auf blauem Grund),
- das Vorfahrtstraße-Schild (gelbe Raute mit weißem Rand) und
- das Verbot-der-Einfahrt-Schild (weißes Rechteck auf rotem Grund).
-
Ermittle die Arten der Symmetrie.
TippsDu kannst die Anzahl der Symmetrieachsen bestimmen, indem du die Figuren zeichnest und sie anschließend auf ihre Symmetrieeigenschaften überprüfst.
Dieses Schild ist punktsymmetrisch und hat zwei Symmetrieachsen.
Das Symbol $\infty$ steht für unendlich.
LösungDu kannst die Anzahl der Symmetrieachsen bestimmen, indem du die Figuren zeichnest und sie anschließend auf ihre Symmetrieeigenschaften überprüfst. So erhältst du:
- Die Schneeflocke ist punktsymmetrisch (bei Drehung um $180^{\circ}$ erhältst du dieselbe Figur) und hat sechs Symmetrieachsen (wenn du sie an diesen Achsen faltest, sind die beiden Hälften deckungsgleich).
- Der Stern ist nicht punktsymmetrisch (bei Drehung um $180^{\circ}$ erhältst du nicht dieselbe Figur) und hat sieben Symmetrieachsen (diese verlaufen jeweils durch eine Spitze und die gegenüberliegende Einkerbung).
- Das Fünfeck ist nicht punktsymmetrisch (bei Drehung um $180^{\circ}$ erhältst du nicht dieselbe Figur) und hat fünf Symmetrieachsen (diese verlaufen jeweils durch eine Ecke und die gegenüberliegende Strecke).
- Der Kreis ist punktsymmetrisch (bei Drehung um $180^{\circ}$ erhältst du dieselbe Figur) und hat unendlich ($\infty$) viele Symmetrieachsen (diese verlaufen alle durch den Mittelpunkt des Kreises).
-
Gib die Art der Symmetrie an.
TippsEine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um $180^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur ist. Die Drehung erfolgt um das Symmetriezentrum.
Eine achsensymmetrische Figur kannst du so zusammenklappen, dass die beiden Hälften anschließend deckungsgleich sind.
LösungEine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um $180^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur ist. Die Drehung erfolgt um das Symmetriezentrum.
Eine achsensymmetrische Figur kannst du so zusammenklappen, dass die beiden Hälften anschließend deckungsgleich sind.
Damit kannst du die Objekte richtig zuordnen:
Diese Objekte sind nur punktsymmetrisch:
- der Windmühlenrotor und
- das Parallelogramm.
- der Windmühlenturm,
- das gleichmäßige Trapez,
- das Flugzeug.
- das Verkehrsschild.
- die Pizza und
- das ungleichmäßige Trapez.
-
Prüfe, ob diese Funktionen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind.
TippsDu kannst überprüfen, welche Funktionen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind, indem du die Funktionen zeichnest und anschließend überprüfst, ob sie nach einer Drehung um $180^{\circ}$ um den Koordinatenursprung deckungsgleich mit der ursprünglichen Funktion sind.
LösungDu kannst überprüfen, welche Funktionen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind, indem du die Funktionen zeichnest und anschließend überprüfst, ob sie nach einer Drehung um $180^{\circ}$ um den Koordinatenursprung deckungsgleich mit der ursprünglichen Funktion sind. Dann erhältst du:
- Diese drei Funktionen sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
- Die anderen beiden Funktionen sind nach einer Drehung um $180^{\circ}$ nicht deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur. Damit sind sie nicht punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Sie sind aber achsensymmetrisch in Bezug auf die $y$-Achse.
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ich gehe jetzt zu schule hoffentlich läuft es gut
Cool
Endlich weiss ich was der Unterschied zwischen Achsensymmetrie und Punktsymmetrie ist :D
COOL !
Eis ! ;)