Achsenspiegelung im Koordinatensystem

Achsenspiegelung im Koordinatensystem Übung

• Nenne Merkmale der Achsenspiegelung.

  Tipps

  Die $x$-Koordinate gibt immer den Abstand zur $y$-Achse an. Die $y$-Koordinate gibt immer den Abstand zur $x$-Achse an.

  Das Dreieck $\text{ABC}$ (grün) wurde hier an der $x$-Achse gespiegelt.

  Die Bildpunkte des gespiegelten Dreiecks $A$, $B$, $C$ werden mit den Buchstaben $A'$, $B'$ und $C'$ gekennzeichnet.

  Lösung

  Die Achsenspiegelung weist folgende Merkmale auf:

  1. Die Gerade, an der Figuren gespiegelt werden, nennt man Spiegelachse.
  2. Der gespiegelte Punkt heißt Bildpunkt und wird üblicherweise mit demselben Buchstaben wie der Ursprungspunkt beschriftet, nur zusätzlich mit einem Apostroph versehen. Aus $A$ wird also $A'$.
  3. Der Bildpunkt hat stets den gleichen Abstand von der Spiegelachse wie der Ursprungspunkt.
  4. Beim Spiegeln an der $x$-Achse haben die Bildpunkte die Beträge der Koordinaten des Ursprungspunktes übernommen, nur wird das Vorzeichen der $y$-Koordinate gewechselt. Umgekehrt gilt: Beim Spiegeln an der $y$-Achse wechselt die $x$-Koordinate das Vorzeichen, die Beträge der Koordinaten vom Ursprungspunkt werden aber ebenfalls übernommen.

  $\rightarrow$ Der Abstand zur Spiegelachse wird also bei der Spiegelung an der $x$-Achse von der $y$-Koordinate und bei der Spiegelung an der $y$-Achse von der $x$-Koordinate beschrieben.

• Beschreibe die Vorgehensweise bei einer Achsenspiegelung.

  Tipps

  Bei der Spiegelung einer Figur geht man punktweise vor, d. h. jeder Eckpunkt wird zuerst einzeln gespiegelt.

  Der Bildpunkt hat stets den gleichen Abstand von der Spiegelachse wie der Ursprungspunkt.

  Die Bildpunkte werden zum Schluss zu einer Bildfigur verbunden.

  Lösung

  Achsenspiegelung mit dem Geodreieck

  Zusammenfassung der Vorgehensweise:

  1. Das Geodreieck positioniert man mittig auf der Spiegelachse.
  2. Danach misst man den Abstand zwischen einem gewählten Eckpunkt der Ursprungsfigur und der Spiegelachse und trägt diesen auf der gegenüberliegenden Seite ab. Den gespiegelten Bildpunkt beschriftet man, indem man den Großbuchstaben des Ursprungspunktes mit einem Apostroph ergänzt. Aus $B$ an der Ursprungsfigur wird demnach $B'$ an der Bildfigur.
  3. Alle weiteren Eckpunkte der Ursprungsfigur werden analog gespiegelt.
  4. Abschließend verbindet man die gespiegelten Bildpunkte zu einer Bildfigur.

• Bestimme die Bildpunkte der zu spiegelnden Figuren.

  Tipps

  Liegt ein zu spiegelnder Punkt auf der Spiegelachse, so sind Ursprungspunkt und Bildpunkt identisch.

  Wird ein Punkt an der $y$-Achse gespiegelt, so haben die Bildpunkte dieselben Beträge der Koordinaten des Ursprungspunktes und das Vorzeichen der $x$-Koordinate wechselt.

  Das Dreieck $\text{ABC}$ wurde hier an der $y$-Achse gespiegelt.

  Lösung

  Bei einer Spiegelung an der $x$- oder $y$-Achse werden die Beträge des Ursprungspunktes immer übernommen. Zusätzlich wird eine Koordinate in Abhängigkeit von der jeweiligen Spiegelachse angepasst.

  Einfach erklärt:

  • beim Spiegeln an der $x$-Achse wird die $y$-Koordinate angepasst
  • beim Spiegeln an der $y$-Achse wird die $x$-Koordinate angepasst

  Dies geschieht, indem wir das Vorzeichen der jeweiligen Koordinate wechseln. Die Beträge der Koordinaten stimmen jedoch immer mit denen des Ursprungspunktes überein.

  Zudem gilt immer: Liegt ein zu spiegelnder Punkt auf der Spiegelachse, so sind Ursprungspunkt und Bildpunkt identisch.

  Die Bildpunkte zu den jeweiligen Spiegelungen:

  1. Ursprungsfigur:

  $A(1|0) \quad B(3|0) \quad C(2|3)$ $\quad \quad \quad \ \ $ Bildfigur: $A'(1|0) \quad B'(3|0) \quad C'(2|{-}3)$

  1. Ursprungsfigur:

  $A(1|0) \quad B(3|2) \quad C(2|3)$ $\quad \quad \quad \ \ $ Bildfigur: $A'({-}1|0) \quad B'({-}3|2) \quad C'({-}2|3)$

  1. Ursprungsfigur:

  $A(1|{-}2) \quad B(3|{-}2) \quad C(1|2)$ $\quad \quad$ Bildfigur: $A'(1|2) \quad B'(3|2) \quad C'(1|{-}2)$

  1. Ursprungsfigur:

  $A(2|0) \quad B(3|2) \quad C(0|2)$ $\quad \quad \quad \ \ $ Bildfigur: $A'({-}2|0) \quad B'({-}3|2) \quad C'(0|2)$

• Ermittle die Koordinaten der Ursprungspunkte und deren Bildpunkte zu den jeweiligen Spiegelungen.

  Tipps

  Ursprungspunkt und Bildpunkt müssen stets denselben Abstand zur Spiegelachse haben.

  Wenn wir z. B. den Punkt $P(4|7)$ an der $x$-Achse spiegeln, erhalten wir den Bildpunkt $P'(4|-7)$.

  Lösung

  • Wenn man die Figur $ABCD$ mit

  $\quad$ $A(-6|0)$, $B(-7|-3)$, $C(-3|-9)$ und $D(1|-4)$

  an der $x$-Achse spiegelt, erhält man die Bildfigur $A'B'C'D'$ mit den folgenden Koordinaten:

  $\quad$ $A'(-6|0) \quad B'(-7|3) \quad C'(-3|9) \quad D'(1|4)$

  $\rightarrow$ Die Koordinaten der Bildpunkte haben dieselben Beträge wie die des Ursprungspunktes, jedoch hat sich das Vorzeichen der $y$-Koordinate geändert. Die $y$-Koordinate gibt also hier den Abstand zur Spiegelachse an.

  • Wenn man die Figur $ABCD$ jedoch an der $y$-Achse spiegelt, so erhält man die Figur $A''B''C''D''$ mit den folgenden Koordinaten:

  $\quad$ $A''(6|0) \quad B''(7|-3) \quad C''(3|-9) \quad D''(-1|-4)$

  $\rightarrow$ Die Koordinaten der Bildpunkte haben dieselben Beträge wie die des Ursprungspunktes, jedoch hat sich das Vorzeichen der $x$-Koordinate geändert. Die $x$-Koordinate gibt also hier den Abstand zur Spiegelachse an.

• Bestimme die Koordinaten der Eckpunkte des Vierecks.

  Tipps

  Die erste Koordinate eines Punktes beschreibt den $x$-Wert.

  Die zweite Koordinate eines Punktes beschreibt den $y$-Wert.

  Der Punkt P hat folgende Koordinaten: $P(4|2)$.

  Lösung

  Punkte im Koordinatensystem sind durch ihre Koordinaten eindeutig bestimmt und werden durch ein Zahlenpaar wie folgt angegeben: $P(x|y)$. Dieses Zahlenpaar gibt jeweils den Abstand zur $x$- bzw. $y$-Achse an.

  Beispiel:

  Punkt $P$ hat die Koordinaten $P(2|3)$.

  Um den Punkt zu finden, messen wir vom Ursprung aus 2 Einheiten auf der $x$-Achse und dann 3 Einheiten auf der $y$-Achse ab.

  Allgemein gilt:

  • bei einem positiven $x$-Wert gehen wir nach rechts und bei einem negativen $x$-Wert nach links
  • bei einem positiven $y$-Wert gehen wir nach oben und bei einem negativen $y$-Wert nach unten

  Das Ablesen von Punkten erfolgt auf die umgekehrte Weise.

• Untersuche, welche Koordinaten die Spiegelfigur des Vierecks $\text{ABCD}$ besitzt.

  Tipps

  Liegt ein zu spiegelnder Punkt auf der Spiegelachse, so sind Ursprungspunkt und Bildpunkt identisch.

  Der Ursprungspunkt und der zugehörige Bildpunkt liegen auf einer Lotgeraden auf der Spiegelachse.

  Lösung

  Wenn man die Figur $\text{ABCD}$ mit $A(2|3)$, $B(4|2)$, $C(7|3)$ und $D(7|7)$ an der orangefarbenen Spiegelachse spiegelt, erhält man die Bildfigur $A'B'C'D'$ mit folgenden Koordinaten:

  $A'(3|2) \quad B'(2|4) \quad C'(3|7) \quad D'(7|7)$

  Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diese Punkte zu bestimmen:

  • Geodreieck: Mit dem Geodreieck haben wir die Möglichkeit, die Abstände direkt zu messen und auf der anderen Seite der Spiegelachse abzutragen.

  • Orientierung im Koordinatensystem: Da die Spiegelachse in diesem Fall nicht die $x$- bzw. $y$-Achse ist, können wir nicht wie gewohnt die entsprechende Koordinate anpassen. Diese Spiegelachse hier hat jedoch eine Besonderheit: Durch ihre Lage im Koordinatensystem ist die $x$-Achse eine Spiegelung der $y$-Achse. Das bedeutet, dass die Punkte auf der $x$-Achse die Bildpunkte der Punkte auf der $y$-Achse sind.

  $\rightarrow$ Aus $P_1(0|1)$ wird $P_1'(1|0)$, aus $P_2(0|2)$ wird $P_2'(2|0)$, aus $P_3(0|3)$ wird $P_3'(3|0)$ etc.

  $\rightarrow$ Die Koordinaten der Bildpunkte ergeben sich aus den vertauschten Koordinaten der Ursprungspunkte. Und das gilt hier auch für alle anderen Punkte, die nicht auf der $x$- oder $y$-Achse liegen.

  Bemerkung: Spiegelachsen, bei denen aus ganzzahligen Ursprungspunkten wieder ganzzahlige Bildpunkte entstehen, sind Spezialfälle. Es gibt natürlich auch Spiegelachsen, bei denen ganzzahlige Koordinaten der Ursprungspunkte zu nicht-ganzzahligen Koordinaten der Bildpunkte werden.