Parameter e bei der Sinusfunktion

Parameter e bei der Sinusfunktion Übung

• Bestimme welchen Einfluss der Parameter $e$ hat.

  Tipps

  Was passiert wenn du dem Sinuswert im Nachhinein noch etwas hinzufügst?

  Welchen Einfluss hat das auf die Amplitude, Lage und Periodendauer?

  Schaue dir noch einmal das Bild der normalen Sinusfunktion an. Was wird beim Graphen anders, wenn du dann noch etwas hinzu addierst.

  Erstelle gegebenfalls eine Wertetabelle, um im Anschluss den Funktionsgraphen zu veranschaulichen.

  Lösung

  Wir betrachten die Gleichung $f(x)=\sin(x)+e$.

  Wenn wir $e=\mathbf{0}$ setzen, erhalten wir die normale Sinusfunktion, mit der Wertetabelle

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 2 \pi & \pi & \frac 3 2\pi & 2 \pi \\ \hline y & 0& 1 & 0 & -1 & 0\\ \end {array} $

  • Wenn wir $e=0$ setzen, vereinfacht sich die Formel $f(x)=\sin(x)+e=\sin(x)+0=\sin(x)$. Es ist die normale Sinusfunktion.

  Wenn wir nun aber $e=\mathbf{2}$ setzen, erhalten wir die Wertetabelle

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 2 \pi & \pi & \frac 3 2 \pi & 2 \pi \\ \hline y & 2 & 3 & 2 & 1 & 2\\ \end {array} $

  Der Funktionsgraph wurde nicht in $x$-Richtung getreckt oder gestaucht, die Periodendauer ist also gleich geblieben.

  Auch wurde der Funktionsgraph nicht in $y$-Richtung gestreckt oder gestaucht, die Amplitude ist also auch gleich geblieben.

  • Der Abstand zwischen dem Maximum und Minimum sowie der Abstand zwischen Maximal- und Minimalstelle ist gleich geblieben. Der Graph wurde also in keine Richtung gestaucht oder gestreckt.

  Der Funktionsgraph wurde aber auf der $y$-Achse nach oben verschoben.

  • Das Maximum und das Minimum sind weiter oben. Der gesamte Graph ist um $2$ nach oben verschoben worden.

  Also gilt: Ist $e$ positiv wird der Graph nach oben verschoben.

• Benenne die richtigen Aussagen über den Parameter $e$.

  Tipps

  Stelle dir die normale Sinusfunktion noch einmal vor.

  Was verändert sich, wenn du zu dem Sinuswert noch etwas hinzuaddierst?

  Setzte in die Formel $f(x)=\sin(x)+e$ verschiedene Werte von $e$ ein. Bilde nun eine Wertetabelle und siehe, was sich im Vergleich zur normalen Sinusfunktion verändert hat.

  Lösung

  Der Parameter $e$ verändert den Funktionsgraphen, indem er ihn auf der y-Achse verschiebt:

  • Ist der Parameter positiv, wird der Graph nach oben verschoben.
  • Ist der Parameter negativ, wird der Graph nach unten verschoben.

  Der Parameter hat keinerlei Einfluss auf die Amplitude und die Periodendauer. Wenn wir $e=0$ setzen, vereinfacht sich die Gleichung zu $f(x)=\sin(x)+0=\sin(x)$. Das ist die Gleichung der normalen Sinusfunktion.

  Die Aussagen 1, 2 und 3 sind also falsch.

  Die Aussagen 4 und 5 sind richtig.

• Bestimme die richtigen Funktionsgleichungen anhand der Wertetabellen.

  Tipps

  Die Wertetabelle einer normalen Sinusfunktion sieht folgendermaßen aus

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 2 \pi & \pi & \frac 3 2\pi & 2 \pi \\ \hline y & 0& 1 & 0 & -1 & 0\\ \end {array} $

  Wo sind die Unterschiede zu den sonst gegebenen Tabellen?

  Die Funktionen werden durch den Parameter $e$ nur verschoben.

  Ist $e$ positiv werden sie nach oben verschoben, ist $e$ negativ werden sie nach unten verschoben.

  Du kannst den Abstand der Maxima zwischen der angegebenen Sinusfunktion und der normalen Sinusfunktion bestimmen und bekommst so unsere Verschiebung $e$.

  Lösung

  Das Maximum der normalen Sinusfunktion ist 1. Wir untersuchen den Abstand der Maxima der angegebenen Sinusfunktion und der normalen Sinusfunktion und bekommen so unsere Verschiebung $e$.

  Für die erste Wertetabelle ist der Abstand zwischen dem gegebenen Maximum und dem Maximum der normalen Sinusfunktion $4-1=3$.

  Die Funktion ist also um $e=3$ verschoben worden. Die Funktionsgleichung lautet damit

  $f(x)=\sin(x)+3$

  Für die zweite Wertetabelle finden wir den Parameter $e$ wieder über den Abstand der Maxima. Er ist $\frac 1 2 -1=-\frac 1 2$. Die Gleichung lautet deshalb

  $f(x)=\sin(x)-\frac 1 2$

  Die Formeln für die anderen Wertetabellen finden wir genauso.

  Für die dritte Wertetabelle erhalten wir

  $f(x)=\sin(x)+\frac 1 4$

  Für die vierte Wertetabelle erhalten wir

  $f(x)=\sin(x)-\frac 1 3$

• Erschließe dir die richtigen Funktionsgleichungen anhand der vorgegebenen Graphen.

  Tipps

  Ist $e$ positiv, wird der Funktionsgraph nach oben verschoben.

  Ist $e$ negativ, wird der Funktionsgraph nach unten verschoben.

  Den Parameter $e$ findest du, indem du den Abstand zwischen dem gegebenen Maximum und dem Maximum der normalen Sinusfunktion bestimmst.

  Lösung

  Das Maximum der normalen Sinusfunktion liegt bei $y=1$. Wir überprüfen den Abstand zwischen dem vorliegenden Maximum und dem Maximum der normalen Sinusfunktion.

  • Erstes Diagramm: Wir sehen, dass das Maximum hier $-1$ ist. Normalerweise ist es 1. Wir berechnen die Verschiebung und damit den Parameter $e$, indem wir die Differenz ausrechnen. Wir rechnen also $e=-1-1=-2$. Jetzt können wir die Gleichung aufstellen

  $f(x)=\sin(x)-2$.

  • Zweites Diagramm: Wir bestimmen den Parameter wieder, indem wir den Abstand berechnen: $e=\frac 3 2 -1=\frac 1 2$. Die Gleichung lautet also

  $f(x)=\sin(x)+\frac 1 2$.

  • Drittes Diagramm: Wir gehen wieder nach dem gleichen Prinzip vor und finden so die Gleichung

  $f(x)=\sin(x)-\frac 3 2$.

  • Viertes Diagramm: Die Gleichung lautet

  $f(x)=\sin(x)+1$.

• Bestimme die Veränderung des Graphen in Abhängigkeit von $e$ im Vergleich zur normalen Sinuskurve.

  Tipps

  Bilde gegebenenfalls eine Wertetabelle und rechne die Werte aus.

  So kannst du sehen, ob die Graphen nach oben oder unten verschoben werden.

  Ob die Graphen nach oben oder unten verschoben werden, liegt nur an den Vorzeichen des Parameters $e$.

  Ist e positiv, so wird der Graph nach oben verschoben.

  Lösung

  Das Vorzeichen des Parameters $e$ in der Funktionsgleichung $f(x)=\sin (x)+e$ gibt an, in welche Richtung der Graph verschoben wird. Ist $e$ positiv, wird er nach oben verschoben; und er wird nach unten verschoben, wenn $e$ negativ ist.

  So sorgen $e=1$, $e=2$ und $e=\frac 1 2$ dafür, dass der Graph nach oben verschoben wird.

  Und $e=-\frac 3 4$, $e=-1$ und $e=-3$ bewirken, dass der Graph nach unten verschoben wird.

• Ermittle die richtigen Parameter für die angegebenen Sinusfunktionen.

  Tipps

  In der Formel $f(x)=a\cdot \sin(x-d)+e$ steht $a$ für die Änderung der Amplitude und $d$ für die Verschiebung auf der $x$-Achse.

  Überprüfe jedes Diagramm, ob überhaupt eine Änderung der Amplitude und eine Verschiebung auf der $x$-Achse vorliegt.

  Ist die Amplitude unverändert, so ist $a=1$

  Liegt keine Verschiebung auf der $x$-Achse vor, ist $d=0$.

  Ob eine Veränderung der Amplitude vorliegt, kannst du sehen, indem du überprüfst, ob die Maxima und Minima größer geworden sind.

  Die normale Sinuskurve schwingt zwischen $y=1$ und $y=-1$. In diesem Fall ist $a=1$. Wenn die Funktion zwischen $y=2$ und $y=-2$ schwingt, dann liegt $a=2$ vor.

  Die Amplituden sind also größer also vorher.

  Nun lautet die Formel also $f(x)=2\cdot \sin(x)$

  Der Parameter $d$ ist für die Verschiebung auf der x-Achse verantwortlich.

  Die normale Sinusfunktion schneidet die x-Achse im Koordinatenursprung und hat die folgenden Nullstelle bei $x=0$ und bei $x=2\pi$.

  Wir können die Funktion zum Beispiel auf der x-Achse nach rechts verschieben um $d=\frac 1 2 \pi$.

  Nun ist die Stelle, die vorher im Koordinatenursprung lag, bei $x=\frac 1 2 \pi$.

  Und die beiden folgenden Nullstellen sind bei $x=1 \frac 1 2 \pi$ und bei $x=2\frac 1 2 \pi$.

  Nun lautet die Formel also $f(x)=\sin(x-\frac 1 2 \pi)$

  Es können auch mehrere Parameter zusammenkommen.

  So können wir die normale Sinusfunktion mit $d=\frac 1 2\pi$ nach rechts verschieben und mit $a=2$ die Amplituden vergrößern.

  Die fertige Formel sieht dann so aus $f(x)=2\cdot \sin(x-\frac 1 2 \pi)$

  Lösung

  Wir überprüfen jeden Parameter einzeln. Ist die Amplitude verändert, ändert sich $a$. Ist der Graph auf der $x$-Achse verschoben, ändert sich $d$. Ist der Graph auf der $y$-Achse verschoben, ändert sich $e$.

  • Erstes Diagramm: Die Amplituden sind doppelt so groß wie bei normalen Sinusfunktionen; also muss $a=2$ sein. Die Funktion ist außerdem nach oben verschoben und zwar um 2; also muss $e=2$ sein. Der Graph ist aber nicht nach rechts oder links verschoben worden. Wir sehen das, da die Maxima und Minima noch die gleichen $x$-Werte haben wie die Maxima und Minima bei einer normalen Sinusfunktion. Mit diesen Parametern können wir die Funktionsgleichung aufstellen

  $f(x)=2\cdot \sin(x-0\pi)+2$.

  • Zweites Diagramm: Die Amplituden sind hier nicht verändert. Der Graph ist aber nicht nur in $y$-Richtung, sondern auch in $x$-Richtung verschoben. Das Maxima 1 liegt bei normalen Sinusfunktionen bei $x=\frac1 2 \pi$. Hier liegt es jedoch bei $x=0$ und ist 0. Der Funktionsgraph ist also um $\frac1 2 \pi$ nach links verschoben worden und um $1$ nach unten. Damit lautet die Gleichung

  $f(x)=1\cdot \sin(x-0{,}5\pi)-1$.

  • Drittes Diagramm: Wir bestimmen wieder die Parameter und bekommen so die Gleichung

  $f(x)=1{,}5\cdot \sin(x-0{,}5\pi)+0{,}5$.

  • Viertes Diagramm: Wir bestimmen wieder die Parameter und bekommen so die Gleichung

  $f(x)=0{,}5\cdot \sin(x+0{,}5\pi)-1{,}5$.