Parameter bei der Sinusfunktion

Parameter bei der Sinusfunktion Übung

• Beschreibe die Auswirkung der Parameter im Funktionsterm auf den Graphen im Vergleich zu $\sin(x)$.

  Tipps

  Bei $a \cdot \sin(b \cdot (x - c)) + d$ verschieben $c$ und $d$ die Funktion. Die Parameter $a$ und $b$ führen zu einer Streckung oder Stauchung des Graphen.

  Die beiden Parameter $a$ und $d$ wirken sich in $y$-Richtung aus, während $b$ und $c$ Lage und Verlauf des Graphen in $x$-Richtung beeinflussen.

  Lösung

  Die allgemeine Sinusfunktion $a \cdot \sin(b \cdot (x - c)) + d$ enthält vier Parameter:

  • Parameter $a$ streckt oder staucht den Funktionsgraphen entlang der $y$-Achse. Dabei gilt: Für $\vert a \vert \lt 1$ wird der Graph gestaucht, für $\vert a \vert \gt 1$ gestreckt.
  • Parameter $b$ streckt oder staucht den Graphen entlang der $x$-Achse. Dabei gilt: Für $\vert b \vert \lt 1$ wird der Graph gestreckt, für $\vert b \vert \gt 1$ gestaucht.
  • Parameter $c$ bewirkt eine Verschiebung in $x$-Richtung, also nach rechts oder links.
  • Parameter $d$ bewirkt eine Verschiebung in $y$-Richtung, also nach oben oder unten.

  Betrachten wir die gegebenen Funktionsterme:

  1. $\sin(2x)$: Hier ist $b = 2$. Damit ist der Graph in $x$-Richtung gestaucht, da $2 \gt 1$ ist.
  2. $\sin(x) + 1$: Hier ist $d = 1$. Damit ist der Graph um $+ 1$ in $y$-Richtung, also nach oben, verschoben.
  3. $\sin(x -1)$: Hier ist $c = 1$. Damit ist der Graph um $+ 1$ in $x$-Richtung, also nach rechts, verschoben.
  4. $0,5\sin(x)$: Hier ist $a = 0,5$. Damit ist der Graph in $y$-Richtung gestaucht, da $0,5 \lt 1$ ist.
  5. $\sin(x + 1) = \sin(x - (-1))$: Hier ist $c = -1$. Damit ist der Graph um $- 1$ in $x$-Richtung, also nach links, verschoben.
  6. $\sin(0,5x)$: Hier ist $b = 0,5$. Damit ist der Graph in $x$-Richtung gestreckt, da $0,5 \lt 1$ ist.

• Vervollständige den Text zu Parametern bei der Sinusfunktion.

  Tipps

  Mit Amplitude wird der Ausschlag der Schwingung einer Sinuskurve nach unten und oben bezeichnet.

  Die Periodenlänge gibt an, in welchem Zeitraum eine vollständige Schwingung durchlaufen wird.

  Lösung

  Die vier Parameter bei der allgemeinen Sinusfunktion $a \cdot \sin(b \cdot (x - c)) + d$ haben folgende Bedeutung:

  • Parameter $c$ bewirkt eine Verschiebung in $x$-Richtung, also nach rechts oder links. Zum Beispiel ist bei $\sin(x -1)$der Parameter $c = 1$. Damit ist der Graph um $+ 1$ in $x$-Richtung, also nach rechts, verschoben.
  • Parameter $d$ bewirkt eine Verschiebung in $y$-Richtung, also nach oben oder unten. Zum Beispiel ist bei $\sin(x) + 1$ der Parameter $d = 1$. Damit ist der Graph um $+ 1$ in $y$-Richtung, also nach oben, verschoben.
  • Parameter $a$ streckt oder staucht den Funktionsgraphen entlang der $y$-Achse. Daher bestimmt er den Ausschlag der Sinuskurve, die sogenannte Amplitude. Zum Beispiel ist bei $0,5\sin(x)$ der Parameter $a = 0,5$. Damit ist der Graph in $y$-Richtung gestaucht.
  • Parameter $b$ streckt oder staucht den Graphen entlang der $x$-Achse. Daher ist er maßgeblich für die Dauer einer Schwingung, die sogenannte Periodenlänge. Zum Beispiel ist bei $\sin(0,5x)$ der Parameter $b = 0,5$. Damit ist der Graph in $x$-Richtung gestreckt.

• Entscheide, wodurch sich der Graph der Funktionen vom Graphen von $\text{sin}(x)$ unterscheidet.

  Tipps

  Überlege zunächst, ob eine Verschiebung oder eine Streckung bzw. Stauchung vorliegt.

  Ob der Graph von $a \cdot \sin(b \cdot (x - c)) + d$ gestaucht oder gestreckt ist, erkennst du am Wert der Parameter $a$ und $b$.

  Es gilt:

  • Für $\vert a \vert \gt 1$ und $\vert b \vert \lt 1$ wird der Graph gestreckt.
  • Für $\vert a \vert \lt 1$ und $\vert b \vert \gt 1$ wird der Graph gestaucht.

  Lösung

  Die vier Parameter der allgemeinen Sinusfunktion $a \cdot \sin(b \cdot (x - c)) + d$ wirken sich folgendermaßen auf den Graphen der Funktion aus:

  • Parameter $c$ bewirkt eine Verschiebung in $x$-Richtung, also nach rechts oder links. Das ist hier bei $\sin(x - 5)$ und $\sin(x + 0,7)$ der Fall.
  • Parameter $d$ bewirkt eine Verschiebung in $y$-Richtung, also nach oben oder unten. Das findest du bei $\sin(x) - 5$ und $\sin(x) + \frac{1}{3}$
  • Parameter $a$ streckt oder staucht den Funktionsgraphen entlang der $y$-Achse. Dabei gilt: Für $\vert a \vert \lt 1$ wird der Graph gestaucht, für $\vert a \vert \gt 1$ gestreckt. Eine Streckung finden wir also bei $4 \cdot \sin(x)$ und $1,5 \cdot \sin(x)$ und eine Stauchung bei $\frac{1}{3} \cdot \sin(x)$.
  • Parameter $b$ streckt oder staucht den Graphen entlang der $x$-Achse. Dabei gilt: Für $\vert b \vert \lt 1$ wird der Graph gestreckt, für $\vert b \vert \gt 1$ gestaucht. Eine Streckung finden wir also bei $\sin(0,6 \cdot x)$ und eine Stauchung bei $\sin(3x)$.

• Beschreibe, wie der Graph der gegebenen Funktionen aus dem Graphen von $\text{sin}(x)$ hervorgeht.

  Tipps

  Überlege dir zunächst, welche Verschiebung vorliegt.

  Betrachte dann, ob der Graph gestaucht oder gestreckt ist. Das erkennst du an den Parametern $a$ und $b$ der allgemeinen Sinusfunktion $a \cdot \sin(b \cdot (x - c)) + d$.

  Lösung

  Die allgemeine Sinusfunktion $a \cdot \sin(b \cdot (x - c)) + d$ enthält vier Parameter:

  • Parameter $c$ bewirkt eine Verschiebung in $x$-Richtung, also nach rechts oder links.
  • Parameter $d$ bewirkt eine Verschiebung in $y$-Richtung, also nach oben oder unten.
  • Parameter $a$ streckt oder staucht den Funktionsgraphen entlang der $y$-Achse. Dabei gilt: Für $\vert a \vert \lt 1$ wird der Graph gestaucht, für $\vert a \vert \gt 1$ gestreckt.
  • Parameter $b$ streckt oder staucht den Graphen entlang der $x$-Achse. Dabei gilt: Für $\vert b \vert \lt 1$ wird der Graph gestreckt, für $\vert b \vert \gt 1$ gestaucht.

  Betrachten wir die Beispiele:

  • Bei $2 \cdot \sin(x) - 3$ wird der Graph in $y$-Richtung gestreckt, da $a = 2$ ist. Zudem wird er um $d = -3$ in $y$-Richtung, also nach unten, verschoben.
  • Bei $\sin(3 \cdot (x - 2))$ wird der Graph in $x$-Richtung gestaucht, da $b = 3$ ist. Außerdem wird er um $c = 2$ in $x$-Richtung, also nach rechts, verschoben.
  • Bei $\sin(x + 2) - \frac{4}{3}$ wird der Graph um $c = -2$ in $x$-Richtung, also nach links, und um $d = -\frac{4}{3}$ in $y$-Richtung, also nach unten, verschoben.
  • Bei $\frac{3}{7} \cdot \sin(x + 3)$ wird der Graph in $y$-Richtung gestaucht, da $a = \frac{3}{7}$ ist. Des Weiteren wird er um $c = -3$ in x-Richtung, also nach links, verschoben.

• Gib an, wie sich die Werte der Parameter im Funktionsterm auf den Graphen im Vergleich zu $\text{sin}(x)$ auswirken.

  Tipps

  Die Parameter $a$ und $d$ beeinflussen die Funktion in $y$-Richtung, während $b$ und $c$ in $x$-Richtung wirken.

  Ob der Graph von $a \cdot \sin(b \cdot (x - c)) + d$ gestaucht oder gestreckt ist, erkennst du am Wert der Parameter $a$ und $b$.

  Es gilt:

  • Für $\vert a \vert \gt 1$ und $\vert b \vert \lt 1$ wird der Graph gestreckt.
  • Für $\vert a \vert \lt 1$ und $\vert b \vert \gt 1$ wird der Graph gestaucht.

  Lösung

  Die allgemeine Sinusfunktion $a \cdot \sin(b \cdot (x - c)) + d$ enthält vier Parameter:

  • Parameter $c$ bewirkt eine Verschiebung in $x$-Richtung, also nach rechts oder links.
  • Parameter $d$ bewirkt eine Verschiebung in $y$-Richtung, also nach oben oder unten.
  • Parameter $a$ streckt oder staucht den Funktionsgraphen entlang der $y$-Achse. Dabei gilt: Für $\vert a \vert \lt 1$ wird der Graph gestaucht, für $\vert a \vert \gt 1$ gestreckt.
  • Parameter $b$ streckt oder staucht den Graphen entlang der $x$-Achse. Dabei gilt: Für $\vert b \vert \lt 1$ wird der Graph gestreckt, für $\vert b \vert \gt 1$ gestaucht.

  Hier gilt demnach:

  • Bei $\sin(x - 1)$ ist der Parameter $c = 1$. Daher ist der Graph um $1$ nach rechts, also in $x$-Richtung, verschoben.
  • Bei $2 \cdot \sin(x)$ ist der Parameter $a = 2$. Daher ist der Graph in $y$-Richtung gestreckt.
  • Bei $\sin(x) - 1$ ist der Parameter $d = -1$. Daher ist der Graph um $1$ nach unten, also in $y$-Richtung verschoben.
  • Bei $\sin(0,5 \cdot x)$ ist der Parameter $b = 0,5$. Daher ist der Graph in $x$-Richtung gestreckt.

• Leite aus den Funktionstermen $f_{1}(x)$ und $f_{2}(x)$ die Eigenschaften ihrer Funktionsgraphen ab.

  Tipps

  Um die Parameter bei der allgemeinen Sinusfunktion korrekt ablesen zu können, muss der Funktionsterm die Form $a \cdot \sin(b \cdot (x - c)) + d$ haben.

  Achte dabei besonders auf die Klammer und das Minuszeichen bei $\sin(b \cdot (x - c))$.

  Lösung

  Die allgemeine Sinusfunktion $a \cdot \sin(b \cdot (x - c)) + d$ enthält vier Parameter:

  • Parameter $c$ bewirkt eine Verschiebung in $x$-Richtung, also nach rechts oder links.
  • Parameter $d$ bewirkt eine Verschiebung in $y$-Richtung, also nach oben oder unten.
  • Parameter $a$ streckt oder staucht den Funktionsgraphen entlang der $y$-Achse. Daher bestimmt er den Ausschlag der Sinuskurve, die sogenannte Amplitude.
  • Parameter $b$ streckt oder staucht den Graphen entlang der $x$-Achse. Daher ist er maßgeblich für die Dauer einer Schwingung, die sogenannte Periodenlänge.

  Bertachten wir nun $f_1(x) = 5 \cdot \sin(x - 4) + 2,5 \quad$ und $\quad f_2(x) = \sin(2x - 4)$:

  Wir bringen zunächst den Funktionsterme von $f_2(x)$ in die Form der allgemeinen Sinusfunktion, damit wir die Parameter korrekt ablesen können:

  $f_2(x) = \sin(2x - 4) = \sin(2 \cdot (x - 2))$

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • Der Graph von $f_1(x)$ hat die Amplitude $5$.

  Wir haben $a = 5$ und damit eine Streckung in $y$-Richtung.

  • Beim Graphen von $f_2(x)$ liegen eine Stauchung und eine Verschiebung, beide in $x$-Richtung, vor.

  Wir haben wegen $b = 2$ eine Stauchung in $x$-Richtung und wegen $c = 2$ eine Verschiebung, ebenfalls in $x$-Richtung.

  • Bei $f_2(x)$ entspricht die Periodenlänge genau der Hälfte der Periode von $\sin(x)$.

  Wegen $b = 2$ ist der Graph in $x$-Richtung genau auf die Hälfte gestaucht, damit halbiert sich auch die Periodenlänge.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Beide Graphen sind um $4$ nach rechts verschoben.

  Der Graph von $f_1(x)$ ist wegen $c = 4$ um $4$ nach rechts geschoben, bei $f_2(x)$ ergibt sich nach der Umformung $c = 2$, also eine Verschiebung um $2$ nach rechts.

  • Der Graph von $f_1(x)$ ist um $4$ nach links und $2,5$ nach oben verschoben.

  Der Graph von $f_1(x)$ ist wegen $c = 4$ um $4$ nach rechts, nicht nach links, geschoben. In $y$-Richtung ergibt sich wegen $d = 2,5$ eine Verschiebung um $2,5$ nach oben.

  • Der Graph von $f_2(x)$ ist um $4$ nach unten verschoben.

  Bei $f_2(x)$ gibt es keine Verschiebung in $y$-Richtung. Der Graph ist, wie am umgeformten Term $\sin(2 \cdot (x - 2))$ zu erkennen, um $c = 2$ nach rechts verschoben und um den Faktor $b = 2$ in $x$-Richtung gestaucht.